kudryavtsev1 (947411), страница 81
Текст из файла (страница 81)
П р и и е р ы. !. Рял -! !и . по — сйп —— 2» и-! ! и=! абсолютно сходится, ибо !и . по ! 1 — ьйп — ~ =--. —, 2» о+1 ~ 2» т ! а ряд ~ — сходится. 2» »=! 2. Ряд ( — 1)и+' 2, и как мы знаем, сходится, однако не абсол!атно, нбо ряд, составленный нз абсолютных величин его членов, т. е. гармонический ряд ° М и и=! расходится.
э яд Числовые ялдм 500 Теорема 13. Если ряд абсолютна сходится, то ан и просто сходится. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ряд (35.42) абсолютно сходится, т. е. ряд (35.43) сходится; тогда в силу необходимости выполнения условия Коши для сходимости ряда (см. теорему 4), для любого в) О существует такое и, что если п > па, то в+в ~ )и„) 'е для любого целого р > О. ) ыя ) в+в Отсюда и из неравенства ~ ~~„', ил~ < ~ )и„( следует, что в=в в=и ! л+в ~ч", и„(е для любого ив пв и любого р=-1, 2...,.
А это и ф=, означает в силу достаточности выполнения условия Коши для сходнмости ряда, что ряд (35.42) сходится. Теорема доказана. Обозначим теперь через и (35.44) ряд, составленный из тех же членов, что и ряд (35.42), но взятых, вообще говоря, в другом порядке. Теорема 14. Если ряд (35.42) абсолютно сходится, то ряд (35.44) такж абсолютно ходится и имеет ту же сульиу.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ряд (35.42) абсолютно сходится, т. е. сходится ряд (35.43), и пусть ~ (и„(= з. Обозначим частичные суммы ряда (35.43) через л„, тогда (см. п. 35.4) я„(з, а=1, 2, .... (35.45) Какова бы ни была частичная сумма з„", ряда ~)и 1 (35.46) найдется номер п = п(т), такой, что все члены ряда (35.46), входящие в сумму з, имеют в ряде (35.43) номера, не превышающие п, поэтому где п=п(т), т=1, 2, дб.б. Абгоя!отио гходяо!иегя ряды зз! Следовательно (см. (35.45)), зт ~(з, л!=и), 2, ... Отсюда и следует сходнмость ряда (35.45), т.
е. абсол!отная сходимость ряда (35.44). Пока>кем теперь, что если ~ и„=з, и ! то н сумма ряда (35.44) также равна з. Обозначим частичные суммы ряда (35.42) зп. Пусть фиксировано а) О. Тогда в силу сходимостн ряда (35.43) существует такой номер ле, что (35.47) ~и„) п.— о=по+ ! следовательно, выполняется и неравенство )з — з„) =-~ 'у' и„1 '~'„! ип 1< — ° Р5 48) !и.—.* +1 ~ п=п +! е Выберем, далее, номер и!е так, чтобы частичная сумма зд ряда (35А4) содержала в качестве слагаемых все члены ряда (35.42), входящие в сумму з, (иначе говоря, номер л! таков, что все члены ряда (35.42) с номерами, не превышающими пю имеют в ряде (35,44) номера„не превышающие и ).
Пусть !и~~и!е. Положим Я* =Я* — 8 пе Из (35.47) следует, что ~з ~< '~~ ~и,~~— (35.49) и и+! Используя (35А8) и (35.49), получим при и!)~т — — ( „+а**И < ~з — „е!+~а*" !( — + — = . Это и означает, что Х иы=' т ! Теорема доказана, э" ЗБ.
Числовые ради Теорема 15. Если ряд (35.42) абсолютно сходится и с — какое- либо число, то ряд си„ а:= ! также абсолюпто сходится. Это следует из критерия Коши сходимости рядов и равенства анр (гид (=-~с~ ~ ~ма/. е=п а а Теорема 16. Если ряды ла и„и о„ абсолютно сходятся, тогда их сулла ~~~~ (и„+ о„) и=-! также абсолюпто сходи ся, Это следует из критерия Коши сходимости рядов и неравенства Х 1иа+ок| < Х!ие!+ Х ~оа~. Теорема 17. Если ряды ,~» и„и ~ч„", о„ (35.50) и=" ! абсолютно сходятся, то ряд, полученный из всевозл!ожных напорных произведений и„о членов этих рядов, расположенных в произвольном порядке, также абсолютно сходится.
Если сума!а этого ряда равна л, а сула!ы рядов (35.50) равны соответственно з' и з", т. е. ~ и„=э', ~ о„=э", (35.51) До к аз а тел ь с т во. Составим следующу!о таблицу попарных произведений членов рядов (35.50). ЗБ.б. Лбоолвтно лходлжиоол рлдн Таблиил и и,о, и~он и2 ! и2о2 илол и,о, ил,о и,ол Составим из всех элементов этой таблипы какой-либо ряд (35.52) и покажем, что он абсолютно сходится. В силу абсолютной сходимости рядов (35.50) суммы зл = ~ !и„~ н зл"'= ~.', !и„( л=1 л=| конечны.
Рассмотрим частичные суммы з„ряда, составленного нз абсолютных величин ряда (36.52), т. е. ряда ) ил,ол, (+ ! ил,ол,~+ -. + ) Ил ол ~+ ... (35.53) Имеем У„=-~ ил,пл,)+~и пол,~+ ... +)ило пл,! < <(~и,, ~-1-(им~+...+!ил„~)(~они~+~или~+... +(ц„„!) <злзлл.
Таким образом, частичные суммы з ряда (35.53) ограничены в совокупности, и, значит, ряд (35.53) сходится, т. е. ряд (35.52) абсолютно сходится. Для доказательства формулы (35.51) воспользуемся тем, что сумма ряда (35.62) в силу теоремы 14 не зависит от порядка его членов, и расположим их наиболее удобным для нас способом. Именно занумеруем произведения илом в порядке, показанном на нижесле- й 55. Чиелляые ряды дующей таблице, где на месте каждого произведения табл.
6 указан его порядковый номер: В результате получим ряд и1и,+и,а,+или,+или,+... (35.54) Обозначая через а, и з„частичные суммы рядов (35.50), для частичных сумм з„., п=1, 2, ..., ряда (35.54), очевидно„получим (35 55) Злл = Злая. Но 11 гп з„' = з', 1пп з„" = з", Иго з„. = з, л л -л Л поэтому, переходя к пределу в равенстве (35.55) при л-л. сю, получим равенство (35.51). Теорема доказана. Теоремы этого пункта показывают, что свойства абсолютно сходшпнхся рядов во многом похожи на свойства конечных сумм: величина суммы такого ряда не зависит от порядка слагаемых, абсол1атно сходящиеся ряды можно перемножать почленно и т.
п. В следующем пункте будет доказано, что для сходящихся рядов„ не сходящихся абсолютно„эти свойства не имеют места. 3 а м е ч а н и е. В заключение этого пункта подчеркнем, что, когда члены ряда комплексные или вещественные, но меняющие знак, вопрос о сходимости этого ряда нельзя решить только с помощью определения порядка убывания и-го члена. Например, и-а члены рядов Вл+1 1 — "Д я „е.4 и л 1 л=! имеют одинаковый порядок при л-л оо, однако первый ряд расходится, а второй сходится, дб.б. Абгоямтно гяодягиаегя рядо! заз Более того, нетрудно привести пример двух рядов ~~'"„и„и л ! ~ ов, и-е члены которых эквивалентны: в ! и„о„, п=1, 2, ..., из которых один сходится, а другой расходится. В качестве таких рядов можно взять, например, ряд с и-и членом !!в ( — Вл+' н ряд с и-м членом ( — Вл+' О л (и + 1) )и (л + 1) С одной стороны, здесь !гв и н (э2ю" ибо 1)в+! ! (в+1) !и(л+1) ( — !)"+' л — 1+ ( 1)в+! (л + !) )и (и + 1) ов и ов и потому 1(п! — ' = 1.
в-я и Ив С другой стороны, ряд ~ ил есть ряд вида (35,33), поэтов=! му он сходится. Ряд же,Ко„расходится. В самом деле, если бы в=! он сходился, то сходился бы и ряд ! ( и ~в) ~~! +! 1 ( ° г. е. ряд (35.26), который, как мы видели„расходится. Было бы ошибкой, однако, считать, что метод выделения главной части годится лишь в случае вещественных рядов, члены которых име!от один и тот же знак. Метод выделения главной час~и может с успехом применяться для выяснения сходимости любых рядов. ф дд.
Чыелоеые рлдн Суть этого метода в рассматриваемом случае основана на следующем замечании: пусть дан ряд ~ ил. Если представить его члены в виде л=! и„=- Пл + «а„, ГДЕ РЯД ~ !Ьл СХОДИТСЯ, тО РЯД 5'„ил СХОДнтСЯ И РаСХО- л-1 л ! дится одновременно с рядом ~ ол (почему?). В силу этого для исслел 1 дования сходимости ряда ~ и„целесообразно попытаться предстал 1 1(! вить его члены в виде и„= ол + ш„, так чтобы ю„= О ~ — ) прн а .» Е Тогда поскольку ряд ~' гы„сходится (и даже абсолютно), то сходил 1 мость данно!о ряда сводится к исследованию сходимости ряда ~ 1„. л=! Э!от прием, конечно, целесообразен в том случае, если получившийся ряд 5' ол проще поддается исследованию на сходимость, чем л 1 данный ряд (ср.
с аналогичным исследованием сходимости интегралов в п. 34.4). ( — ))л л« + !л« л Например, для ряда с общим членом ил = л«)лл ( — !)л (и л я=з, 3, ..., беря о»== —, а и1„= —, получаем, что ряд (лл л» ~ы и сходится, ибо ряд из главных частей ~2 ол сходится по л 2 л 2 признаку Лейбница, а для «остатков» имеем и1„= О ( —,), л2 откуда следует абсолютная сходимость ряда ~ и1„.
л 2 35.7. Сходящиеся ряды, не сходящиеся абсолютно Признак Дирихле. Если ряд сходится, но не абсолютно, то, как ниже будет показано, уже нельзя утверждать, что, переставив его члены в другом порядке, получим сходящийся к той же сумме ряд. Парадокс в конце и. 35.5 и объясняется этим обстоятельством: получившийся там ряд (35.41) отличается порядком членов ЗД7 Сходни!неся ряды, не сходящиеся обсояюгно. Приенок Дирихяе з07 от данного сходящегося, ио не абсолютно, ряда (35.38), и потому нельзя было утверждать, что его сумма тайже равна 8.
Более того, получившееся противоречие показывает, что это заведомо не так. Итак, сумма ряда зависит от порядка слагаемых, т. е. коммутативный закон сложения не имеет места для неабсолютно сходящихся рядов. Если в данном ряде сгруппировать каким-либо образом его члены, не нарушая пх порядка, и сложить, то последовательность частичных сумм получившегося ряда будет являться подпоследовательностью частичных сумм исходного ряда.
Поэтому если исходный ряд сходится,то будет сходиться и вновь полученный, причем суммы обоих рядов будут одинаковы. Однако если данный ряд расходится, то второй ряд может сходиться. Например, ряд 1 — 1+ 1 — 1+ 1 — 1+... расходится. Объединив же попарно его члены (1 — 1) + (1 — 1) + (1 — 1 )+ ..., получим сходящийся ряд. Таким образом, вообще для рядов неверен и ассоциативный закон сложения. Рассмотрим некоторые свойства сходящихся, но не абсолютно, рядов с вещественными членами.
Пусть дан ряд д.' и„. (35.56) Обозначим через и',, и'„,, и'„, ... его неотрицательные члены: и+)~0, а через — и„— и„..., — и,е ... его отрицательные члены: и„)0, взятые в том же порядке, в каком они расположены в ряде (35.56). Рассмотрим ряды (35.57) (35.58) и,, и=- ~ Один из них, вообще говоря, может превратиться в конечнук> сумму. Лемма 1. Если ряд (35.56) сходится, но не абсолютно, то оба ряда (35.57) и (35.58) расходятся. До к а з а тел ь с т в о. Пусть ряд (35.56) сходится, т. е. !пп з„== з, (35.59) и-+ где з„— его частичные суммы, и пусть один из рядов (35.67) или (35.58) сходится, например, ряд (35.67).
Обозначим его частичн>яе д Ы. Члвловыв ряды суммы через зя„и = 1, 2, ..., а частичные суммы ряда (35.58)— через эя, /г = — 1, 2,.... В силу предположенной сходимости ряда (35.57 1пп з' =-з'я + (35.60) Возможны два случая, либо ряд (35.58) сходится, либо он расходится. Если он сходится и Итз,, =э, (35.61) то в силу того, что члены рядов (35.57) и (35.58) неотрицательны, з' < з', и == 1, 2, . „ (35.62) э,,<э, й=1, 2,....
Всякая частичная сумма з„ряда (35.56) может быть записана в ваде в„=з' — зв, п=-1, 2, ..., (35.63) где и и А зависят, конечно, от и. Если обозначить через э„частичную сумму ряда ~~'., )и„), (35.64) то в силу формулы (35.63) э„=з' +зв, поэтому, согласно (35.62), зя<а +з т. е. частичные суммы ряда (35.64) ограничены, и, значит, ряд (35.64) сходится. Следовательно, ряд (35.56) абсолютно сходится, что противоречит условию леммы. Рассмотрим вторую возможность, т. е. случай, когда ряд (35.57) сходится, а ряд (35.58) расходится; тогда (почему)) !пп в = + оо. (35.65) В этом случае ряд (35.58) заведомо не превращается в конечную сумму, причем при л- оо и А — ~оо. Всилуже условия (35.60) последовательность (зя) сходится к конечному пределу, поэтому„переходя в формуле (35.63) к пределу при п-я-оо, в силу (35.59) и (35.65) получим в левой части равенства число в, а в правой — символ — оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
