kudryavtsev1 (947411), страница 84
Текст из файла (страница 84)
п. 36.1) ряд 2 + +2 +"'+ Ы (36.4) и покажем, что, каково бы ни было число г) О, ряд (36.4) сходится равномерно в круге ! г~ <г. Как мы уже видели, ряд (36.4) сходится при любом комплексном г, в частности, при г =- г, т. е. числовой ряд г и 1+г+2, +...+ —, +... сходится. Беря его в качестве рида сравнения (36.22) для ряда (36.4), имеем при !я~ <г. Поэтому наше утверждение о равномерной сходимости ряда (36.4) непосредственно следует из теоремы 4.
Покажем, что ряд (36.4) не сходится равномерно на всей комплексной плоскости. Это следует из невыполнения в данном случае необходимого условия равномерной сходимости ряда (см. следствие теоремы 3). Деиствительио, при любом фиксированном л )пп — = + оо. (36.24) Н Поэтому, если задано е) О, то, каково бы ни было па, в силу (36.24) можно подобрать ва так, чтобы 52В й Яб. Фрнкгтионпльные логледопптехлнпгтп и плды г" т. е. —, не стремится равномерно и нулю на всей комплексной плоскости. 2. Исследуем равномерную сходимость ряда и.=.
1 Прежде всего заметим, что 1 х ып л х -рг(+ „: (1+,хз, ~ )ХТ+ лт (1+лх') ххалее, !+ их'> 2! х()/гп*), поэтому (х! ! 1 ргГ+ ле(! +лх") 2)ггл (1 -1- лт) 2 И так как ряд (36.26) Х+ л=1 л сходится, то по признаку Вейерштрасса в силу неравенств (36.26) и (36.2?) исходный ряд (36.25) равномерно сходится на всей вещественной оси. 3. Рассмотрим ряд е — "' '* з)плх. (36.28) «==1 Очевидно «! Мы воспользовались здесь неравенством 2пб < аз (- аз, иоторос сразу иолучастси из очевидного неравенства (а — 6)«2«0.
) и — л' к' и! п лх ~ ) х ) и — л' х Найдем максимум функции о (х) = и ) х) е — " '** при фиксированном и, трункция ол(х) четная, поэтому достаточно рассмотреть лишь х >0 (почему?). Производная о„(х)=л(! — 2л'х') е-"'«' обращается в ноль в точке х„= .„. Поскольку он(х)~0 для всех х оп(0)=-0 и 1 12л йт сл(х) ==О, то в точке х функция ол(х) имеет максимум к +« (цочев!у?). Поэтому 1 1 ! ! ! Сл(Х) С О„(;)= а Е 2 < — „, т'2«2 1«длт «2 627 86.2 Рпвпвмелппп схпдилпсгь ппследпвитегьппсееа и Рпйов и так как ряд ~ ! сходится, то по признаку Вейерштрасса «=! ряд (36.28) равномерно сходится на всей вещественной оси. Метод, примененный для исследовании равномерной сходимости ряда (36.28) (исследования на экстремум модуля общего члена или его мажоранты методами дифференциального исчисления), является достшочно общим и часто применяется на практике. Эгиы методом можно было бы исследовать и равномернуго сходимость ряда (36.25), однако примененныч выш метод для исследования этого ряда зна чительно быстрее приводит к цели.
4. Рассмотрим ряд ! и+! (36.29) и=! По признаку Лейбница (см. и. 36.6) этот ряд сходится при любом вещественном х и, как было отмечено там же, остаток ряда оценивается первым своим членом ! ! ( и(.))<„,+„„,<„+,. Из этого следует, что гь(Х) —. О при — оо с. х(+ оо, т. е.
ряд (36.29) равномерно сходится на всей вещественной оси. Покажем, что этот ряд во всех точках не сходится абсолютно. Действительно, для любого х существует такое натуральное и„, что х' <н для всех л)~ ег„, поэтому ! ! + и за 2п ДЛЯ ВСЕХ П)~ П„. А так как ряд ~ — расходится, то в силу признака сравнения ряд и гп (36.29) абсолютно не сходится. 3 а м е ч а н и е. Признак Вейерштрасса дает лишь достаточное условие равномерной сходимости ряда, а отнюдь не необходимое. Например, ниже будет доказано, что ряд и е|ппх и=! ! я Зи! равномерно сходится на отрезке( †' , — ( (см.
пример после те- 2 ' 2! оремы 5). Однако, каков бы ни был числовой ряд ~' асп из нее ! й ЗВ. Функ!!ионов!и!!е последовательности и План ! в!и лх! л Зл рант!став ~ — ~ (оы п=1,2„...„— (х.( —" следует, что !в!л лх! 1 щах ~ ~ = — <аы и, следовательно, ряд ~ а„расходит[а -'"~ Х а (х) Ь„(х), о=1 (36.30) в котором гйунк!(аи а„(х) и Ьн(х), и = 1, 2,..., определены на мноясеапве Е и и!оковы, чгпо 1) последовательность (а„(х)) монотонно 1!бывает и равнол!ерно стрелиипся к нулю на л!ножеси!ве Е; 2) последовательность часишчных сумм В (х), и = 1, 2,..., ряда ~~~, б„(х) ограничена на л!новхесиеве Е.
Тогда ряд (36.30) равномерно сходится на иножеси!се Е. До к а з а т е л ь с т во. В силу условия 2 теоремы существует такое В О, что!Вн(х)! (В для всех х~Е и всех и = 1, 2, „и поэтом ! для всех хс Е, всех п = 2,3...„и всех целых р ) О. Из условия же 1 теоремы следует, что для любого фиксированного е > О существует такой номер и„что 0 < а„(х) ( — для всех х1- Е н всех и > п,. Теперь, применяя неравенство Абели (см, и. 35.7), получим, ! о+р ~ аь (х) Ьн (х) ~ 2Ва„(х) ч е в!и лх ся.
Поэтому в случае и„(х)= — '- не су!цествует сходящегося числового ряда (36.22). Докажел! теперь достаточный признак равномерной сходимости, примениыыы в отличие от признака Вейерштрасса н к нс абсолютно сходящимся рядам. Теорема 5 (призиак Дирихле). 77ус!иь дан ряд 86.8 Глпдсглл рплпояернл сходящихся радон чь«а!п ох и л=! Согласно этому признаку, этот ряд равномерно сходится на любом отрезке, не содержащем точек вида 2лт, ги = О, ~1, р2, ..., 1 Лействительно, последователыюсть ал лл —, и = 1, 2, ..., в данном случае является числовой последовательностью, она монотонно убывает и стремится к нулю (а значит, и равномерно стремится к нулю), а сумма ! л )'„э|п йх < 1 а-! а|ив 2 (см. п.
35.7), т. е. ограничены на указанном отрезке. У п р а ж н е н и е 3. !!сследоаать сходимость, абсол!отну!о сходнмость и рааномерну|о сходимость рядов ' иллх Х л (1 — х) х", Х, "," ° мм ла л о л=-! 36.3. Свойства равномерно сходящихся рядов и последовательностей Мы видели, что сумма сходящегося ряда непрерывных функций, вообще говоря, не является непрерывной функцией.
Ннжеследукицая теорема дает достаточные условия непрерывности суммы ряда. Теорема 6. Если функции и„(х), и = 1, 2, ..., непрерывны на лгножесггме Ес" Ел"' и рлд ~и (х) «! Здесь, как н везде, где ие оговорено что.либо другое, мы рассматриааем комплекснозпачные функции ил(х). О понятии непрерывности для таких фуакпнй см.
и п. 23.2. для всех х( Е, всех п > и, и всех целых р>0. Это и доказывает равномерную сходимость ряда (36.30). Теорема доказана. В качестве примера применения признака Дирихле рассмотрим ряд тб Функциональные «ос«еда«и~ел«ности и рады равномерно сходится на Е, оио его сулима пюкже непрерывна на Е. До н аз а тел ь с т во. Выберем какую-либо точку х ~ Е и лака>кем, что функция з (х) непрерывна в этой точке. Зафиксируем какое-либо ен О. Пусть зо(х) = ~ ии(х), х ~ Е. «=1 Согласно условию теоремы, з„(х) — +з(х) на Е, поэтому существует такой номер и„, что !з(х)-з,(х)! ч..- (36.31) для всех х ~ Е и ясех п Э.пв и, в честности, для п* и,. Функция з„(х) как сумма конечного числа непрерывных на Е функций ид(х), а = 1, 2, ...„п„непрерывна в точке х,~ Е.
Поэтому существует 6=61 — ~~0, такое„что для всех гочек х~Е, удовлетво. ~з/ ряющих условию р(х„хн) ч'б, [з«з(х) з«в (хо)[С 3 (36.32) Теперь, замечая, что з( ) — з(хн)- [ ( ) — з«,(х)]+ [з«,(х) — з«,(хи)]+ + [з„(хо) — з (х„)] что и доказывает непрерывность функции з(х) в точке х,. Теорема доказана, (рис. 116), пз неравенств (36.31) и (36.32) получим прн р(х, хн) <. 6 н х~Е !з (х) — з(хо) [( [ з (х) — з, (х) [+ [ з„(х) — з„(х,)[+ [ з„(хо) — з (х„) [ее е и (-;+«+-=е 3 63! 86.8.
Свойство ровчомврно скодтци«св авдо« Утвержден!по теоремы можно придать впд ' ил(х) = И!г! в(х) =. з(хв) = Х ил(хв). я' к«л ! ««, л=-! И так как каждая функция ил(х), а =-!, 2„..., непрерывна в точке хо~ Е, то и„(х„)= 1пп сс„(х), поэтому Ип! ~~'., ил (х) = ~~'., !пп ил(х). «к к ! и=! ««« м ЛХ)+Е ! ббх! 6«(х! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1 Рис, !!6 Таким образом, в условиях теоремы 6 предел суммы ряда равен сумме пределов, т.
е., как говорят, законен почвенный переход к прес)елу в рассматриваемом ряде. Сформулируем теорему 6 для последовательностей. Теорема 6'. Если 4унссс(ии Р„, и = 1, 2, ..., непрерывны на в!ножесспве Е~Е" и 1л . / на Е, то (непрерывна на Е. Это означает, что для любой точки хв~Е Ига Ип! 1«(х) = ! пп Игп )„(х), л «кв к я, л т.
е. пределы по п и по х можно переставлять. Действительно, в силу теоремы 6' Игп Игп)л(х)= Игп)(х)=~(х,) «««л «« «- «« Игп )л(хв) =. Игп Игп 1„(х). л о«««« р Зб. Фдннцпонпллные последоептельностп и ряды Задача 1В (теорема Днвн). Пусть функцвн)п, и = 1, 2,..., непрерывны и, монотонно убывая (нлн монотонно возрастая), отрез!ятся на ограннченном замкнутом множестве Е ~ Е" к фувкпнв Докааать, что, для того чтобы функпня 1 была непрерывноб, необходимо н достаточно, чтобы последовательность (Гп) сходилась на множестве Е равнол!ерво. Перефразнровать этот результат для рядов. Х „(.) п=! равномерно сходится на (а, Ы, тогда ряд аа к ~ч'., ) и„ (1) с(1, п=! а также равномерно сходипгся на (ак Ы, и если з(х) = ..",„и„(х), а=! (36.33) (36.34) (36.35) то к ) з (х) Их = ~.' ~ и„(1) с(1, а < х ( Ь.
(36.36) а к=! а Если эту формулу переписа!ь в виде к ( аа к и„Я~ дГ=,У', ~ и„(1) т(1, а п=.! и !а то видно, что опа означает законность в условиях теоремы 6 тик!ленного интегрираггания ряда. Д о к а з а тел ь с т в о. В силу равномерной сходимости ряда (36.33), согласно теореме 6, функция з(х) (см. (36.35)) непрерывна на отрезке (а, Ы и потому интегрируема на любом отрезке (а, х), а < х чс Ь. Пакажеь1, что ряд (36.34) равномерно на отрезке (а, Ы сходится к функции к ) з(1) сМ.
а (36.37) Теперь рассмотрим вопросы почленного интегрирования и дифференцирования рядов. Поскольку производная и дифференциал определялись только в вещественной области, то, начиная отсюда, до конца этого параграфа, будем считать, что все рассматриваемые функции определены на вещественных промежутках и принимают вещестненпые значения, Теорема 7.
Преть ч!унк!(ии и„(х), п=), 2, ..., непрерывны на отрезке (а, Ы и ряд ззз Яб.8. Сводлсгвп равномерно сходящихся рядов Пусть з„(х)= ~ и„(х) и г„(х)=-а(х) — аа(х). Тогда для любого хс(а, Ь) имеем ! к и к к "г )' Сла — Х) яма =: ) а~а — )[Х «.р)) а!= а Лл-Л а а а к к к ) з (7) Л вЂ” ) зи (7) йГ < ) ~ з (() — з„(() ~ й( = ~а а а к к =.— ~1ги(Г) ) сУ -, зпр1г„(1) ~ ~ й < а ы "1 ъ <:(х — а)впряги(У)~ <(гл — а)зпр~г„(хИ. (36.38) ~а, л1 Га, м Последовательность вор~ си(х) ~, и = — 1, 2, ..., является числовой Еа, ь1 последовательностью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
