kudryavtsev1 (947411), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Разложение в ряд функции 7(х)=е'. Так как )гп)(х) = е', то для любого фиксированного й > 0 прн всехх~( — й, М н всех и=О, 1,... О и" 7(п)(х) с ев Таким образом, условия теоремы 8 выполнены (х, = О), поэтому функция е" раскладывается в ряд Тейлора (37.34) на любом конечном отрезке„а значит„и на воен вещественной оси. Поскольку а данном случае 7")(0) = 1„то это разложение имеет вид ет (37.37) а)и! и=о Напомним, что в п. 36.1 было установлено, что ряд и о абсолютно сходится на всей комплексной плоскости*). Яы видим теперь, что для вещественных г = х его сумма равна е". В случае е) Впрочеть зто следует, согласно теореие Абеля, и из доказанной сейчас нани саодииостн ряда (37.37) на всей вещественной оси.
ЗУБ. разложение елеиенеарныл фуншал е ряд Тейлора существенно комплексных г его сумму по аналогии обозначают е*; таким образом, формула еп е'= ~~)~— (37.38) е" е'==е'+*» (37.39) для любых комплексных г, н гг. 1'(ы знаем, что ряд (37.38) абсолютно сходится, поэтому ряды ~1 ЕП 1 ье =,~ —, и1 и О ы п1и ей е'* = И1! п1= 0 можно почленно перемножить (см. п. 35.6), причем, поскольку получающийся при этом ряд также абсолютно сходится, его члены можно располагать в произвольном порядке. Соберем все члены, содержащие произведения г1гг с одинаковой суммой и+ т, и располо>кнм эти группы членов по возрастанюо и + пн и п+ы и+ы — Л у у е1 Лпа ппЕ (И+ П1 — Й)! п(пп О Е=-О Йе~ (и + и)! ' 1 (и + м — й)1й) а+па О ' а=о п+и — а а г1 У (е1+ее)п+ы, + (+ 1)) пЧлп = О 2.
Разложение в ряд зйх н сЬ х. Заменяя в формуле (37.3?) х иа — х (это означает просто изме. пение обозначения), получим Š— и я ( — !)а Хи и) и-О (37. 40) для комплексных г является определением функции е*. Это определение естеспюнно, во-первых, потому, что в случае вещественного г=х эта функция совпадает с показательной функцией и', а, во-вторых, потому, что функция е' сохраняет ряд характерных свойств функции е'. 1'1окажем, например, что й Зт отененные Ряды Складывая н вычитая равенства (37.37) и (37.4(!), а затем деля их на два, получим 2 ° ~ (2н)! (37.41) е. — е е .
нее+1 айх= — '= 'Ъ 2, ', (2э+ ! 1! (37.42) В правых частях этих формул н силу единстгенпости разложения функций в степенные ряды стоят ряды Тейлора функций сй х и з)! к. Поскольку функции е' определена теперь для всех ксашлексных г, то ва существенно комплексные значения аргумента можно распространить и гиперболические функции зЬ к и с1! х, положив е' — е е е' — е г с!! т=- —, зЬ2= 2 2 Определенные таким образом с)!г и Йг для комплексных а раскладываются в степенные ряды (37.41) и (37,42), сходящиеся на всей комплексной плоскости (под х в них в этом случае понимается комплексное число). 3. Разложение в ряд айп хи созх.
Формулы Эйлера. Если 1(х) = яп х, то )<н>(х) = з(п (х+ и — "1(см. пример 3 п. 10.1), 2/ поэтому !1!н!(х)1~~1 для всех вещественных х. Согласно теореме 8, отсюда следует, что функция з)п к раскладывается в степенной ряд на всей вещественной осп. Вспоминая формулу Тейлора для синуса (см. и. 13.3), получим ряд Тейлора для з|п хи ° ( — !) х + Ф ее+! з)п к= "У~ (2й+ !)! (37.43) Рассуждая аналогично и вспоминая формулу Тейлора для косинуса (см. и. ! 3.3), получим для него ряд Тейлора созх= ( !)и хее н!е (2й)! (37.44) также сходящийся на всей вещественной оси.
В силу теоремы Абеля (см. п. 37.1) ряды, стоящие в правых частях формул (37.43) и (37.44), сходятся также и при любом комплекс- 666 87.6. Роялояеение злеяеньврнык функций н ряо Тейлора ном х; это позволяет распространить синус и косинус на комплексные значения аргумента, положив для любого комплексного г ! )А 2л 4-! 5!и г= л=-о (26+ 1)! сазе= (37.46) л л (2й)! В комплексной области легко установить связь межлу показательной функцией и тригонометрическими. Заменяя в ряде (37.38) г сначала на (г, а затем на — (г, получим йМ и! .йЫ н! я-.*о я=о Замечая теперь, что 1 при и =- 4й„ прн и =4й+1, — 1 при п=4А+2, при и 4й -(- 3, й=О, 1,..., из (37.47) бунам иметн (26)! ло ( +) Сравнивая эти формулы с (37.45) и (37.46), получим М ! — 1л !л — М созг=, ейп= 2 2( (37,48) соз ф+16!и ер =- енг.
Поэтому комплексное число с модулеы г и аргументом ~р г = р(соз ~р+(ейп ~р) Из них непосредственно следует также формула саз г+(5!и г =-е е. (37.49) Конечно, зти формулы, в частности, справедливы и для действительных г. Формулы (37.48) и (37.49) иазывакпся ерарлпрлалпе Зйлерп. Отметим два простых их применения.
В случае, когда в формуле (37.49) г =- ер — вещественное число, л~ы получим Е З7. Степенные рады можно записать в виде г = ге"р. Полагая здесь г= — 1, получим е!и — связь между числами е, и и В Легко находятся с помощью формул Эйлера модуль и аргумент числа е', где г=х+зу. Действительно (см. (37.39)), Е'=Ее+!у=Е'Е!г=Е'(СОЯ У+!Я!и У), т. е.
1е'!=е", Агпе'=у. Синус и косинус в комплексной области обладают многими свойствами, которыми они обладают н в вещественной области, однако. далеко не всеми. Упражпепее 2. Используя формулы Эйлера, доказать, что прь любом копплекспоы г соз ( — г) = соз г, з !и ( — г) = — з !о г, ь!пз г+ созе г = 1, соз (г + 2пл) = соз г, з(п (г+ 2пп) = з !и г.
Покажем, например, что абсолютные величины синуса н косинуса могут превь1шать единицу. Заменяя в рядах (37.45) и (37.46) г на гг, получим аа+! '%'Ч гз я!п(г=( 7 соя!г= (2Й+ 11! (2Ф!! Сравнивая получившиеся ряды с рядами (37.41) и (37.42) (при х = г), получим яЬ г = 1'я!п(г, сЬ г = соя !г. В частности, прн вещественном г = у !я!п(у)=-)яЬу! и !соя(у! =с)!у, откуда и видно, что на мнимой оси функции я(п г и соя г пе ограничены по абсолютной величине. 4.
разложение в ряд функции !п(1+ х). Форзгула Тейлора для !п (1 + х) имеет вид (см. п. 13.3) гз хз ,и ! и (1+ х) = х — — + — — ... + ( — 1)"+' — + г„(х). 2 3 п! Запишем остаточный член гп(х) в форме Х!агранжа. Замечая, что !1п(1+х))!"! 1=( — 1)" " +,, 87.б. Ривлввхение элементарных ~ункяий в Рлд Теллера получим х"+' р„(х)=( — 1)" ц „,, 0<0<1. Если 0<х<1, то О< — '<1, 1+8х и потому !р„(х) ~ <— 1 л+1 и, в частности, (3?.50) 1!ш р„(х) = О. Если же — 1<'х(О, то нелесообразно записать остаточный ЧЛЕН «л(Х) В ФОРМЕ КОШ1П р (х)=( — 1)" — хл+' (! 8)л 0+8.)"+' В этом случае 0<.1 — 8 1 — 8 1+8.= 1 — 8!.! ! ! 1 с 1+ах ! — 8!х! 1 — !х1 поэтому !Рл(х)! < ~— 1 — 8!" 1 !х !л+' <— ! х!"+' 1+ах! ' !!+ох! откуда при — 1к 'х<,0 также получаем (37.50). Таким образом, 1 1(1 ! ) ~з~л ( 1)л+1 х' (37.51) для всех х~( — 1; 1!. При х = — 1 ряд, стоящий в правой части равенства (37,51), отличается от гармонического ряда лишь множителем — 1 и потому расходится.
Расходится он также н при всех х, таких, что ~ х! . 1, Е ад Стеленные рлдн ибо в этом сл) чае и-й член ряда (37.51) не строхнпся к нулю, более того (см. п. 12.2), йш ! — ~=-+ 5. Разложение в ряд бинома (1+ х)". Формула Тейлора для биномиальной фупкшш имеет внд (см и. 13.3) (1+х)и=1+ах+ — х'+ ... -(- а(и — 1! и (и — 1! ... (и — леь1) х" + гл(х) (37.52~ Рассмотрим соответству1ощий ряд (называемый бинохшальным рядом с показателем и): у а (а — !) ... (а — л + 1) ел л! л ! (37.53'~ и (и — 1! ... (а — л+ 1! л1 Замечая, что "+~ . 1и — л 1пп — = 1! т ~ — х ~ = ! х (, л-, ил л-, л+ 1 получаем, что ряд (37.53) абсолютно, а значит, и просто сходится при ~ х)< 1 и расходится при ~х!.>! (см. теорему Лбеля во.
37.1) Исследуем теперь, чему равна сумма ряда (37.53) при )х!(!. Замечая, что 1(1 + х) ~ ы! = а (а — 1) ... (а — и -!- 1) (1 -1- х) ~", запишем остаточный член г„(х) формулы (37.52) в форме Коши: и (а — 11 ... (а — л) (1+ Ох! 1 )н л+~ л! Если а — неотрицательное целое, то ряд (37.53) содержит лиш! конечное число членов, отличных от нуля, и, следовательно, схо дится при всех х. Рассмотрим теперь случай, когда и не является неотрицательньв целым. В этом случае в ряде (37.53) все члены отличны от нуля прв х чь О.
Для исследования абсолютной сходнмости ряда (37.53) исполь зуем признак Даламбера. Иначе говоря, применим признак Делам. бера к ряду с и-м членом: 876. Раалоагелае члеявнгггрньл функций в ряд Тейлора (О зависит от л и от и). Положим А„(к) = А к". а! В (х)=с!к(1+ Ох), С (х)— 'ч1 + ах/ Тогда гч (х) = А„(х) В„(х) Сн (х). Очевидно, А„(х) является обшим членом бипомиального ряд; с показа!едем и — 1 и, следователыго, в силу доказанной выше схо димости бииомиального ряда при ! х! ч" 1 )нп А„(к) =О, 1х1<" 1, Далее, из того, что ! — 1х1~! +Ох(1+1х), следует, что зиа. чепци 1Вн(х)! заклгочены между величинами 1стк!(1- [ х1) и ! сцх)(1+1х1) ие зависящими от О, г, е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
