kudryavtsev1 (947411), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Теорема 6. Если функция 1 аналп>пическая в п>счке хе, т. е. предел>аиилш в окрестноапи эпюй глотки рядом (37.16) с радиусом сходимости Я) О, гпо 1>и> 1 (37.19) т. е. 1(х) = †, ' (х — к„)", '\>и )ги> (хе! и — 0 (37.20) Д о к а з а тел ь от в о.
Дифференпнруя и раз обе части равенства (37.16), получ>гм (см. теорему б) ди>(х)= п(п — 1) ... 2 (.а„+(п+ 1)п ... 2а,+>(х — х„)-1- + (и+ 2) (и+ 1) ... Зал+э (х — х„)'+ .... Отсюда прн х = х и получается формула (37Л9). Заметим, что из доказанной теоремы следует еще раз свойство единственности разложения фупкпии в степенной ряд (правда, па этот раз в силу сделанных ограничений только в вещесгвенной облаем>, ср. с и. 37.2). ад4. Разложение ф!Лнкяие и степенные ряди 37.4. Разложение функций в степенные ряды.
Различные способы записи остаточно~о члена формулы Тейлора Определение 4. )7рспсь функ!1!тя 1 определена в некотпорой окрестпностпи точки х„и имееп! в ввплй гпсяске производные всех порядков. Тогда ряд «г В (37. 2! ) называется рядом Тейлора 4рнкиии / в точке л;. 1(ак мы знаем, всякая аналитическая в точке х„функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности этой ~очки.
Оказывается, что обратное, вообще говори, неверно: сулцеству от функции, бесконечно дифференцируемые, но и! аналитические, и, значит, не представимые своим рядом Тейлора. Примером такой функции является функция ! 1(х) — е "' длЯ х+ О, 0 для х=О. (37.22) ! )'(х) =- „— „е ! ! а Г(х) = —,— „е '*+,—, и вооб!де ! Р'!(х)=Рине "*, где Р ( — ) — многочлен некоторой степснн относительно — (и — по- 1 "И х рядковый номер а не степень мпогочлена), т.
е. 7!я!(х) есть линейная комбинация ела!вел!ых вида ! ! ° — е "', т=0,1,2, лы (37.23) Это легко проверяется по индукции. При хФО эта функция имеет производные всех порядков, которые легко вычисляготс: а 37, Степенные ряди Сделав замену переменного ! = „ †„ найдем, применив правило Лопиталя, предел модуля ныражения (37.23) при х — «О: т 1пп! — е *к!= 1!го — =О. к-ко ! Х ! ~-к+ ЕЕ Отсюда следует, что и предел выражения (37.23) при х-«О так- же равен нулю и что 11п1 )<п>(х) = !нп Р„! — 1 е * =0 к-ко К-ко ~к) (37.24) при любом и = О, 1, 2, ..., Из формулы (37.24) при и = О и и = 1 следует, что функция / непрерывна в точке х = 0 и! пп !'(х) = О, поэтому (см. лемму 2 п. 1!.2) О У'(0) существует и !'(О) = О.
По индукции легко убедиться подобным же образом, что )~п>(0)=-0, п=О, 1, 2, .... Таким образом, все члены ряда Тейлора функции (37.22) в точке х„=- 0 равны нулю, поэтому его сумма прн всех х также равна нулю и, следовательно, не совпадает с самой функцией й Заметим еще, что, согласно теореме 6 п. 37.3, функция (37.22) не может быть разложена ни в какой степенной ряд (так как если бы это было возможно, то он оказался бы рядом Тейлора), а это и означает, что она не является аналитической. Возникаег вопрос: когда ряд Тейлора (3?.2!) функции 7(х) на указанном интервале сходится к !(х)7 Чтобы исследовать этот вопрос, напишем формулу Тейлора для функции 7 (см. п.
! 3.1): 1(х) = ~ ' (х — хо)е+г„(х), !Рв("1 е=-о М (37.25) 4 )~ (л'О! з„(х)=.~ ' (х — хо)е, е=.о перепишем формулу (37.25) н виде 7(х) =з„(х)+г„(х), где з„(х) — и-я частичная сумма ряда Тейлора, (37.26) которая справедлива при любом и = 1, 2, .... В этой формуле т„(х) обозначает остаточный член формулы Тейлора. Полагая 37.4.
Разложение функций е степенные ряди Отек)да видно, что, для того чтобы функння ! равнялась сумме своего ряда Тейлора на рассматриваемом интервале, необходимо и достаточно, чтобы для всех х нз зтого интервала ! пп г„(х) = О. н-е (37.27) е (Х) — ~ (» !)о е)н+1) (!) й! л! . (37.28) ))н+) ) (еа! го(х) = (х — х,)"+', )я+ !)! (3?.29) где ) — хо!(! х — хо!. На+1) , (х) " ' !" +'( — ")! (! — О) ( — х)+, (З?.ЗО) а! гдео<О<!. формула (3?.28) называется оспшточным членом формулы Тейлора в интегральной форл)е, формула (37.29) — в форл)е Лигранжа, а (37.30) — вформе Коши.
Доказательство. Из ) (х) — ! (х,) = ~ '7 "(!) й! = — ) !' (!) а (х — !), интегрируя по частям, получим к Пх) — 1(хо) = — Г(!)(х — !) '„,+ 1 !" (!) (х — !) и! = е, =!' (хо)(х — х„)+ ) !'(!)(х — !) й!. ее Если зто имеет место, то нз формулы (37.2б) следует, что г„(х) является также и суммой п-го остатка ряда Тейлора (37.2!). Теорема 7. Пусть функция 7 определена и непрерывна вместе со всеми своими производными до порядка п + 1 включительно на инп)ервеи)е (х„— ?), хо+ й), А~О. Тогда остаточный член го(к) ег формулы 7'ейлора (37,25) для всех х ~ (х, — lг, хо + й) можно записать в следующих трек видах: а М.
Степенные ряды або Пусть для некоторого >и (а уже доказано, что Е(х) — Е(х,)=- т — 1 1,> 1 ' ( — х.)"+ >г)! (Е)(х — Е) -' Е. (37.31) А=! к' Проинтегрируем по частям последний член ец>е раз: — ~~. (Е)( — ).-' ЕЕ= — -'- ~~ (Е) Е(.— Е)= (т 1),, кя>,! кк к, к + Е(як+1> (Е)(Х Е)и~ !ЕЕ Е>к'> (!) (к — !)Я' 1» 1 !' т! к, т>, к, к Е>т>(. ) (х — хе + — ( Е>т+1>(Е) (х — Е)'"е(Е.
т! т1,! к это выра>кение в (37.31), получим Е(х) — Е(х,)= (х — х,)" + — ~ Е!т+1> (Е) (х — Е)н'>ЕЕ, И т! к, Подставляя Е(н+1> Ц) ! Е(Я+1> (й) ! (к !)и+1 к — — ~ (х — Е)я ЕЕЕ =— п> .) а! ~ я ! ! к кк а Е!я+1> (кя) (х — х,)"+', (я+!1! где Ь лежит па интервале с концами в точках х, и х, г, е, ) й — х,! ( ~х — хе!. Формула (37.29) доказана.
т. е. получим ту же формулу с заменой и иа и+ (. Таким образом, формула (37.31) доказана по индукции для всех и:.. и. При и = и она превра>цается н формулу (37.28). Применим теперь обоб>ценную интегральную теорему о среднем к интегралу (37.28), вынося за знак интеграла «среднее значение» производной Е>я '> (см. теорему 1 и упражнение 1 в п. 28.2): л «„(х) — — Г Е1'+ ! > (Е) (х — ЕУ' !ЕЕ = я!,1 к„ 87.4. Разлом ение Функций и стеленвие Глаы вз! Если же применить интегральнуго теорему о среднем к интегралу (37.28), вынося за знак интеграла есреднее зпачеииеь всей подынтегральной функпии (см. п. 28.2), то получим н-~! ! г„(х) = — ) )<лж!!(!)(х — !)" !(1= ' (х — й)" (х — хь), (37,32) и! п! где $, как и нып:е, лежит на интервале с копнами в точках х„ и х, т.
е. с! =- хь+ О (х — х„), 0 с ' О < 1. Ото!ода х — $ = х — хь — О(х — хь) = (х — хь)(! — О). Подставляя это выра>кение в (37.32), получим формулу (37.30). Теорема доказана. Укажем теперь одно достаточное условие разложимости функции в степенной ряд. Теорема 8. Прсась 4днк!!ия / и все ее производные о раничены в совок!!пноспп! на иньчервале (хь — 1!, х, + 7!), кп. е. суи(ес!ивуекп !лакая посл!оянная Л4)0, кого 1)! !(х)1 « 84 (37.33) для всех х ( (х, — Ь, хь + й) и всех и = О, 1, 2, .... Тогда на инп!ервале (хь — Ь, х, + й) !1!унк!!ия Г раскладываегпся в ряд Тейлора, пи е.
Г'(х) =. ~~ ! (хь) (х — х„у, 1х — х„1с" й. (37.34) и 0 Д о к а з а т ел ь с т в о. Прежде всего заметим, что„каково бы ни было число а, 11!и — = О. и" (37.35) л-+со и! Действительно, пусть п„такое, что 1а! ! яо Тогда при всех п)~пь 1'1 — ( —,~ Л ч и поэтому а последнее вь!ражеипе стреми!ся к пулго при и — ~ оо, Равенство (37.35) доказано. Е 87. Степенные ряды Для того чтобы доказать формулу (37.34)„достаточно убедиться (см. (37.27)), что 1) гп «„(х) = О, (37.36) где «„(х) — остаточный член в формуле Тейлора функции Возьмем «в(х) в форме Лагранжа (см. (37.29)). Из неравенства (37.33) следует, что )Гп+') (й) ~ !к — ке)"+) 1«„(х)~=- . (х — хо)и+'~ (М ', 1х — хв1.
й. (и+!)! ~ (и+ !)! Поскольку в силу (37.35) И !'-" 1"" =О и (п+ !)! то прп ) х — хе)ч, 7) выполняется условие (37.36). Теорема доказана. 37.5. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора Прежде всего найдем разложение в ряд некоторых основных элементарных функций. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
