kudryavtsev1 (947411), страница 89
Текст из файла (страница 89)
последовательность (Вн(х)» прн фиксиро ванном х ~( — 1, 1) ограничена. Наконец, (х)1 ~1 — 0~~~ 1 — 0 [~! Из установленных свойств А„(х), В„(х) и С„(к) следует, что 1!пт гн(х) =О, 1х! ч, 1. н нчч Таким обратом, (1-1- х) = 1+ ~~) 1 1"'(ге "+ 1) а! ч — 1 для л1гГого к~( — 1; 1). Зад..ча 1ч Т(оказать, что: 11 а точке г = 1 при гк > — 1 биномиальный ряд схолагся, а при а с -1 расхоагг1сяг 21 а точке же х = — ! при сг > О бииомиальиый рял абсолютно сходится в при а с 0 расходится.
При атом каждый раа, когда бииомиальиый ряд 137ЛЗ) сходится, его сумма равна (1 + х! " Е 87. Ггеяенные ряды 37.6. Разложение в степенные ряды и суммирование степенных рядов методом почленного дифференцирования и интегрирования = 1 — 1+!е — +( 1)и(я 1+! (37.54) в пределах от О до х, ) х~ < 1 (что законно, ибо ряд(37.54) равномер- но сходится на отрезке с концами в точках О и х при 1х~ ч,. 1), по- лучим известную уже формулу (37.51): х д! хе хе я хе+! 1п(1+х)=- ! =х — — + — †...( — 1) + ..
,) 1+х 2 3 н+! о Дифференцируя илн интегрируя заданный степенной ряд, вногла удается получить ряд, сумма которого уже известна; зто позволяет вычислить и сумму исходного степенного ряда. Примеры. 1. Найдем разложение функции агсзшх в ряд. Замечая, что (агсз1п х)' = ~/1 — х' разложим (агсз!их)' в ряд по формуле разложения бинома (см. п. 37.5): (агсз(п х)' =., = 1+ ~~ н х'".
(37.55) 1 ы~ (2н — !!и 1,г! — хе 2н а! и=! Радиус сходимости получившегося ряда равен единице (см. там же). Интегрируя ряд (37.55) от О до х, ~ х~ ( 1, получим ! 1!!! нее+1 агсз)п х =- ! .) $/1 — хя (2н)ц 2а+ 1 н-! Искомое разложение найдено. 2. Найдем сумму ряда 5(х) =- ~~'., пх". и 1 (37.56) Дифференцируя или интегрируя известные разложения в ряд Тейлора, можно получать разложения новых функций в степенные ряды. Так, например, интегрируя формулу геометрической прогрессии ат.б Разложение в степенные ряды Б61 Радиус сходимости этого ряда равен единице.
В этом легко убедиться, например, по признаку Даламбера: ~ (и + 1) хп+ ~ — = ~лихо" — '. (х) п=! Интегрируя этот ряд почленно от О до х, ) х) (1, получим к с(1 хнаЂ З(0 „х 1 — х о п=п Продифференцируем получившееся тождество: о(х) д х ! х дх 1 — х. (1 — х)Я' Отсюда имеем Б(х) = ', )х) <1. (1 — х)' 3. Найдем сумму рида хп 5(х)= )'„— ",. (37.57) Радиус скодимости этого ряда равен единице; в этом легко убедиться, например, тем же способом, что н в случае ряда (37.56). Продифференцировав ряд (37.57) почленно: хп — 1 Я'(х) = ~)'— и=! и пспользовав разложение логарифма (см. п. 37.5), получим хЗ' (х) = ~ — = — 1и (1 — х), ) х ) ~ 1, Ан 5'(х) =— 1п (1 — х) х Следовательно, ряд (37.56) абсолютно сходится при ) х)я"! и рас- ходится при)х) ) 1.
Из (37.56) следует, что р ВВ. Кратные рлдн Замечал, что З(0) = О, окончательно получим 8( ) =- ~ '"" " 1. о Таким образом, здесь ответ выражается не в элементарных функциях. Упражнения. 3, Реяло!пять я стсясяяоя ряд (ягся!пх)!. 4, Найти сумму ряда ~~~~ ~«я х". «=! В ЗЗ. КРАТНЫЕ РЯБЫ 38.1. Кратные числовые ряды (38.2) «, ы=! Сумма вида ~ее« ~ и$у !=!, 1=! (38.3) называелия частичной сумлюй ряда (38.2). Введем понятие предела совокупности чисел х „с двумя инлексами т =- 1, 2,..., п = 1, 2,... (такие совокупности называю!си последовательностями с цвумя инлексами). Определение 1.
Если дана некоторая совокупность чисел (вооби1е говоря, комплексных) и„...„, занумерованных я индексами и„! = 1, 2, ..., я, каждый из котпорых независимо от других пробегает натуральный ряд чисел и, = 1, 2,..., то выражение и„, ...„ (38.1) «,,..., «! = ! называется и-кратныл! рядом, а числа и„, „— его пленил!и. Естественно возникает вопрос о том, как определить сходимость ряда (38.1), как определить его сумму, в каких случаях эта сумма не будет зависеть от того или иного порядка слагаемых. Для простоты записи мы ограничимся случаем й = 2, т.
е. случаем двукршпных рядов (их называ!от также двое!ными рядами). Все результаты легко переносятся и на случай я-кратных рядов любой кратности й =- 2, 3,.... Определение 2. Пусть дан ряд со и «. гад Кратные ппелавые рлоы 663 Определение 3. Госорят, что последовательность с двумя индексами х„„, т, п=-1, 2, ..., сходится к числу А, и т! шут 1нпх п=А. если для любого 6.>О существует такое Л', что ~А — хыи1(е для всех т>Л' и и> Л'. Определение 4.
Если для любого е >О существует такое Л' что!х„п))е для ссехт>~й и и> Лги, то пишут, что Иго„„= оо. пн п Лналогично определяются бесконечные пределы: !пп х „=+со и Игп х „= — оо. /ю п пп и, Определение 8. Если существует конечный предел частичных сумм 5 „ряда ('38.2) и Ип! 5 и=5, (38.4) поп ь~ ы.п ! Если конечного предела (38.4) не существует, то ряд (38.4) наэиваепгся расходящимся. Если Игп 5 „=со, илн Игп 5 и=+оо, или Игп 5 = — оо, (38,8) пои и то, соответственно, будем писать и „= , ~ и „= пчи ! п!,п ! п!.
п ! На кратные ряды переносится ряд свойств обычных (однократных) рядов. Например: пю 5 называется суммой ряда (38.2), а ряд (38.2) называется сходящимся. В этом слугае будем писать ф ВВ. Крпглие рлят 1. Если .'5', и„„=Б, где Б — число или один из символов т.«! со, +со, — оо, то '~'; Хит«=ХБл! длЯ любого числа Х. т,л 1 2. Если ряды ~ч'„! и „= Б и ~~.", и,„л = Б сходятся, то т, л=1 т. л=! (ит„+и,л„) =-Б +Б . Эти утверждения легко доказь!ваются аналогично случаю однократных рядов (зто предоставляется проделать читателю).
Докажем теперь несколько теорем о кратных рядах. Теорема 1. Если ряд (38.2) сходится, то Игп и „=О. Это сразу следует нз равенства итл = Бтл Бл~ — 1« Бтп — ! + Бт — 1, л — 1 и условия (38.4). Теорема 2. Если все члены ряда (38.2) неотрииательны! ит„~О, т. а=1, 2, ..., (38.6) то всегда существует конечный или бесконечный предел его частичных сумм Б „, причем 11и! Б„„= зпр Б „. т, л т.«=1,2.... Д о к а з а т е л ь с т в о. Если выполняется условие (38.6) и т' .от, п') а, то Бл'л' ~ Бтл Далее, если Б = зпр Бтл и Б'(Б, то в силу определет, «=1, 2..., ния верхней грани суп!сствут!от такие номера те и пе, что Б )Б'.
Положим )у=!пах(те, па), тогда при т>Ф и п лЛ' Бтл ~ Бнн ~ Бти пи и так как Б „( Б, 1пп Б „= Б, т. е. выполняется условие (38.7). ит-и~ Теорема доказана. «! При атем гм алесь считаем, что О ° оо=о ° +о«=о.— оо=о. Звд. Кратные числовые ряди ~~'„, и „, (38.8) Аналогично доказанной теоремы о повторных пределах (см. теорему 1 п.
19.1) доказывается следующая теорема. Теорема 3 Если сходится двойной ряд (38.2) и сходятся ряды ~~".! и „для всех и= 1, 2, ..., то повторный ряд ~ ~'„', и, я!=. ! и=! и=! ™я также сходится и его сумма равна сумме данного ряда (38.2). Определение 6. Ряд (38.2) называется абсолютно сходяи(имея, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т, е. ряд ( сс „ ). и.
н.=! (38.9) Теорема 4. Если ряд (38.2) абсолютно сходится, то сходится и любой ряд (однокраспный двукратный или повторный), полученный перестановкой членов данного ряда (в частноспт, си~дится и сам заданный ряд). При атом сумма любого такого ряда совпадает с суммой исходного ряда (38.2). До к а з а тел ь с т в о. Расположим члены ряда (38.2) в бесконечную прямоугольную матрицу, поместив в т-ю ее строчку члены ряда с данным фиксированным первым номером т, расположенные по возрастанию второго индекса п: им итз исз -- !!сп-. им изз изз ..сси". и„, ииз и„з ...
и„„... С л е д с т в и е. В предположениях теорелсы ряд (38.2) сходится тогда и !полька пюгда, когда его часпсичные сумлсы ограничены. Доказательство следствия очевидно. Из двукратного ряда ((38.2) можно формально образовать два так называемых повторных ряда. Для этого следует сначала произвести суммирование по одному индексу, зафиксировав другой, а затем произвести суммирование по оставшемуся индексу: Занумеруем теперь элементы этол таблицы согласно следуюшей схеме: Член ряда (38.2), получивший при такой нумерации номер lг, обозначим и„.
Рассмотрим ряд Х и» »=! (38, 10) и покажем, что он абсолютно сходится, т. е., что сходится ряд Х !и»!. (38.11) »=! Обозначим частичные суммы ряда (38.9) через 5„„его сумму— через 5*, а частичные суммы ряда (38.1!] — через 5». Прежде всего заметим, что для любой суммы 5' иайдутси такие номера т и и, что все члень. ряда (38.11), входящие в су»»х»у 5;,, войдут и в сумму 5" „„тогда Отсюда и следует (см.
п. 38.4) сходимость ряда (38.! 1). Из абсолютной сходимости ряда (38.10) следует, что и любой другой однократный ряд, составленный из членов ряда (38.2), также сходится и его сумма равна сумме ряда (38.10) (см. п. 35.6). Пусть и =5. »=! Покажем теперь, что любой двойной ряд и „ (38.12) т. ».—.! полученный некоторой перенумерацией двойными индексами членов данного ряда (38.2), сходится и что его сумма также равна 5. Обозначим частичные суммы ряда (38.12) через 5'„, а частичные зад Кратные пиелпеые ряды суммы ряда (38.10) через 8„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
