Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 9
Текст из файла (страница 9)
т) А-модупь В инъективея. Если этн условии вьюоншпстся, то отобразюние / ' р осуществняет нзоморбюзм кольна Е иа копьцо, протнвопаножное В. в) Пусть (9 — множество левых идеалов а в А, дня которых *юЬ а (0) при пюбомненуне- вам левом идеале Ь . Обозначим через з(А) множество знемеитов е из А, ддя которых существует такой идеал ам 6, что е а =О. Показать, поз(А)-двусторонний идеен в А. г) Показать, что спедующие условия аквиваяентны: а) з(А) О. Р) Капща Е без радикана. т) Канадо В абсопютно пиоское.
Если эти условия выполняются, то удовяетворяются зквиваяеппзые свайссва из б) . (Пусть з(1) — множество зпементов х из 1, ддя которых существует такой идеал ею 6, что ах =О. Иазопьзуя упрюанение 23, доказать, что р '(з(1)) совпадает с радикалом т капьца Е, отку- да импхикнщя Ф) а). Показать далее, что из а) вытекает равенство т = Кег(р) = О, аэтовнечет эа собой азраведпнвоагь д) и 7) (принимая во внимание упрюанение 23), а также усповия а из б) . Показать, наконец, что иэ 7) спедует а) .) д) Если А нетерово сиена, то идеал т(А) нняьпатентен (доказать сначана, что всякий зяемент е из з(А) ииньпотентен, рассматрнваи левые аннупяторы его степеней е, затем исюзпьзовать из ЧП1, и 1 9,ехетс!се8,Ь)).
1 25. Предпопожм, что кольцо А нетерово слева и не содержит нипьпотентных двусторонних идеалов. а) Доказать, что кольцо В, определенное в упражнении 24, иолуирасто (" теорема Ролди"; ис- пользовать упражнение 23, е),и упражнение 24, г) и д)). Если, кроме того (0) — первичный дву- сзоронний идеал в А (ЧП1, 8 8, ехетс!се 19; Аяшбра, ЧП1, с.
236, упражнение б')), показать, по В простое. б) Отождесщим А с подкоящомв В. Доказать сведующие свойства: (!) Всякий зяемент нз А, регулярный слева, обратим в В (сяедоватепьно, регунярен в А) . (й) Всякий эпемент Ь из В может быть записан в виде з"'и, где т ю А, а ю А и з ретуняриый. Иногда говорят, что В -левое полное кольцо честимх кольца А. Явя доказатеньства утверждения (й) свести его к спучюо катца В простое Показать что тогда идеал (0) в А первичный. Пусть е — идеен из 6, е — элемент из а, дпя которого правый идеап аВ максимален среди идеалов е'В (е' ю я ), х — элемент из В, дня которого ахл л. доказать, что В(! -хл) Сей, откуда (В(! — ах) ю а ) (В(1 — ха) ю а ) (0); вывести отсюда, что е регунярен. Законнитц взяв в качестве а мно~кество элементов а ю А, дая которых аЬ юА.) в) Предпонозмм, что всякий неиуневой эпемент в А регупяреи.
Показшь, что  — тело, представ- пюощее собой левое тело частных дпя А (ср. 1, р. 155, ехегс!се 15). $ 26. а) Показать, что спедующие условия зквиваяентны: а) Конщо А нетерова справа и А-модунь Аз ииъективен. ае) А иетерово сиена и А-модуяь А,! инъекзивеи. 5) Кокщо А шмоикьектиеио (ЧП1. 1 2, ехегс!се 11). (доказать, что а) влечет т = т' дня всякого правого идеала Ф. Показать затем, что радикал т(А) ннпьпотентен, н вывести отсюда, используя упражнение 23, что А артииово справа. Доказать затем, что сопряженный модуль простого нева!о модуля «шляется простым. Вывести отсюда. что А нетерова слева и, наконец, что А самоинъективно.) б) Показать, чта кольцо А самаииъективио в том и танька том случае, если всякий инъективный А-модуяь проектнвен и всякий проективный А-модунь ипьективен.
9 27. Предположм, что кольцо А нетерова слева. а) Пусть 1 — неразиозюмый инъективный А-модунк Показать, что множество аниупяторнмх идеалов ненулевых подмодувей е 1 обладает нэнбопмпнм знементом В (1), который предстевпяет собой вереи чиый двусторонний идеап (ЧП1, 1 8, ехепзсе 19; Алгебра, Ч П1, с. 236, уп)жжение б ' ) ) . б) Показать, что дня всякого пе)пичного двустороннето идеала р в А существует неразпазюмый ииъективный А-модупь 1, дня которого В (1) = р (рассмотреть нераэяожнмый прямой множитеиь инъективной обоночкн модула А/р ), ' ) Здесь вместо термина "первичный" нспохьюван термин "простой"; однако в русской лите ратуре последний термин обычно применяетсп лишь к ндеапам в каммутативных копьцах.— Примеч. иер.
5 1. Лалолиигевьные сведении из линейной алгебры в) Предполоним, что каладо А коммутазивное. Показать, что всякий ыеразложимый ныъективный А-модуль 1 представляет собой ипьектпвную оболочку модуля А/В (П. Вьвеспв отполз, чво отображеяме 1 г й (П определяет Спекцию множества у классов неразложнмых ииъективных А-молулей на множество простых идеалов в А. Обратная биекция сопоставляет идеалу р инъектнвнув оболочку модуля А/р . г) Показать, что для того чтобы отобрвлюпме 1 м В (1) множества У ыа множество первичных двусторонних илевлов кольца А было биекзмвным, достаточно чтобы А удавлетворяг 1 сыедующему успоаяв (Н): (н) Для всякого левого ицеала е в А существуют такие элементы х,,..., ха в А/ и, что Алп(А/Е) = Г) Апп(хг).
д) Показать„что усэюэме (Н) удовлствораетсл в следуапцих пвучалхв а) Все левые мвюалы в А лвллвтсл двусторонними. й) А аргипаво. т) Пеитр 2 кольца А является нетеровым кольцом м А — 2-модуль коыечпопэ типа. е) Пусть й — поле, (г' — адцнтивный моыонд рациональных чисел М О, А — кольцо нормирования в поля частных моноидмой алгебры й( ) построенное в Коммутативной алгебре, с. 448, при. мер б, а — ненулевой элемент из А, 1 — инъективпаи оболочка модуля А/Ал. Показать, чта А модуль 1 иеразложим, но не содержит никакого подмодулп, изоморфного А/р с простым р (зпчетмп, что множество идеалов в А лимейно упорядочено н что А содержит только даа простмх идеала) . 28.
Пусп А — нйтерово кольцо, М вЂ” А-модуль, 1 — ннъективиаа оболочка модуля М, предстэввгющая собой прямую сумму некоторого семейства (1,„) пц) неразложимых полмадулей. Обозначим через Авв (М) множество первнчньвх двустарощщх идеалов й((1а) лля а ц 1 (упрюпнение 27); если р ц Авв (М), то говорят, что идеал р есссииироеии с М. а) Авв (М) Ф ф, если М ф О; если М конечного типа то множество Авв(М) конечное. б) Показать, что первичный двусторонний вщеал р ассоциировано М в том нтолько том случае, если М содержит такой подмодуль Н, чвп Апп(Н') р для всякого ненулевого подмодуля Х' в Н.
Если А коммттлтивно, то р ассоцмировано с М в том только том случае, если М содержит подмодуль, изоморфным А/р. в) Пусть М' — подмодуль в М. Показать, что Авв(М') с Авв(М) с Авв(М') о Ав(М/М'). г) Положим 1р 2 )„и (2(р) =( 2' !ч ) О М. Показать, что /) Я(р) =О и в!Па) Р ела э ц пав(ы) г) 0 (р) Ф О для всякоголодмножества Ев Авв (М), отличного от Авв (М). Для всякого р ц Авв (М) эпе имеем Ав(М/О(р)) =(р) . д) Пгсть е — элемент из центра А. Показать, что дла того чтобы гомотетил относительно л была ннъективна в М, необходимо и достаточно, чтобы е не принадлежал никакому иэ вссопмированных с М первичных идеалов.
° 29. Прелполапим, что кольцо А коммутативно к нетсрово. Пусть е — идеал в А. а) Пусть Н вЂ” А-модуль, в катаром всякий элемент из Н аннулируется некоторой степеньв а . По. казать, что для янъекпвностн Н достаточно, чтобы для всякого целого н в 1, всякого А-модуля М конечного типа, еииулируемага идеалом аи, н всякого подмодуля М' в М естественный гомоморфизм Нопвд(М, Н) Наел(М', Н) был свръективен. (Испольэоватьтотфакт,чтодлявспкогондевла Фкольца А существует целое число й и О, при котором г О Пи с г и (АС, 1П, й 3, и' 1, сог. 2; Коммутатнвная алгебра, 1П, с. 244, следсгэре 2).
б) Пусть М вЂ” имъсктивный А-модуль. Длл л и 1 обозначим через Ни подмодуль в М, образованНЫй ЭЛЕМЕНтаМИ аыиУЛНРУЕМЫМН ИДЕаЛОМ П"; ПОЛОЖИМ Н = О Ни. ПОКаэатЬ, Чта Н вЂ” МНЪЕКтНВНЫй А-модуль. в) Показать, чта всякий элемент инъективпой оболочки модула А/П аннулируется некоторой степенью идеала П . ° 30. Предположим, чта кольцо А локальное, коммутативное н нетерово; обозначим через ю его макснмачьный идеал, й = А/йь Пусть 1 — А.модуль, в квиором всякий элемент аннуляруется степенью ж. Для всякого А-молуля М обозначим через Т(М) А-модуль Новд(М, 1) и через свв: М -~ -~ (Т (Т (М) ) — гомоморфмзм, определяемый по формуле (сы(ю))(и) и(ю) дла юцМ, ицТ(М). Показать, что следующие свойства эквивалентны; а) Для всякого А модула М конечной длины А-модуль Т(М) имеет комечную длину и гомомсрфизм сы: М Т(Т(М)) биективен.
Р) Длл всякого А модуля М конечной длины 1опй Т(М) = 1опй М. т) Аеводуль! ннъективен и А-модули/с п Т(й) изаморфны. в) А.модуль! изоморфен инъективной оболочке А-модуля /с. Когда этн условия удовлетворвотса, говорят иногда, что 1 — дуалиэирувщий модуль длл калым А. (Показать, что свойство г) эквивалентно кюадому нз трех других; чтобы увидеть, что г) следует ыз а) или р), использовать упражнение 29) . й 2.
Комплексы А-модулей 3!. В прелположеннях предыдущего упражнения пусть  — коммутатнвное н нетсрово локальное кольцо, н пусть гл А  — гомоморфнзм колец, превращающий В в А-мопуль конечного типа. Если ! — луалнзнрующнй модуль лля А, то показать, что В-молуль Ноюл (В, 1) нуелнзнрующнй пля В. В частности, пля всякого идеала 4 кольца А полмолуль в 1, образованный элементами, аннулнруемыми нпеалом 4, препставляет собой луалнзнрующнй модуль лля А/а .
32. а) Сохраняем предполозсения упрюхнення 30; преллоложнм, кроме того, что А солержнт поле й,, нац которым й является векторным пространством конечной размерности. Показать, что А мопуль ! = Вш Ноша (А/шл, йе) ЛУалнзнрующнй пня А. л б) Пусть й — поле характернстнкн нуль,  — кольцо формальных ранов й[[Т,... Т„[ [.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
