Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 8
Текст из файла (страница 8)
ция, которан обращается в нуль только в 0) . б) Показать, что идеал 1 функций, обращающихся в нуль в окрестности О, ивлнется проективным А-модулем (показать, что существует последовательность (усс) лъ 1, !ли 1, удовлетворяющая 26 8 1. Дополнительные совдепия из линейной алгебры 11 УСЛОВИЯМ: ВНРР(гн) С вЂ”,— 1 И Оги(Х) = 1 ПРИ ХЛ О; ВЫВЕСТИ ОтСЮДа,Чта ВСЯКИЙ ЗПЕМЕНтй 'ь н+2 'л из / записывается в виде А = Х (гий) еи, где ел = Ь Д„, и использовать П, р.
46, ртор. 12. и «Си+1 9. Пусть Р— А.модуль. Показать, что следующие условия эквивалентны: о) Зля того чтобы последовательность М'й М е М" правых А-модулей была точной, необходимоо и достаточно, чтобы последовательность бьща точной. й) Р плоский и М ОА Р Ф О для всякого ненулевого правого А-модуля М. г) Р плоский и канонический гомоморфизм Нотя(М,Х)-» НотХ(М ПА Р, Х ий Р) инъектнвен для любых правых А-модулей М, Х. 3) Р плоский и й$Р Ф Р для всякого максимального правого идеала йз в А. При выполнении этих условий говорят, что Р— строго ллоский А-модуль.
10. а) Показать, что строго плоский модуль является точным (П, р. 28; Алгебра, П, с. 197). б) Х-модуль () точный и плоский, но не строго плоский. в) Пусть (ри) — строго возрастающая последовательность простых чисел, и пусть А — прямое произведение колец П Х/р„Х.
Показатель, что прямая сумма Е абелевых групп Х/рлХ представляет собой точный проективный А-модуль, но не является строго плоским А-модулем (заметить, что Е- идеал в А, для которого Е* = Е) . 11. Пусть О Р' Р -«Р" -«О — точная последовательность А-модулей. Предположим, что модули Р' и Р" плоские и что один из них строго плоский.
Показать, что Р строго плоский. 12. Пусю щ А-«В — гомоморфизм колец, превращюощий В в строго плоский правый А-мопуль, пусть М вЂ” некоторый А-модуль. а) Показать. что щщ того чтобы М был модулем конечного типа (соответственно конечно пред- ставимым), необходимо н достаточно, чтобы этим свойством обладал В-модуль Везя М. б) Предположим, что р(А) содержится в центре кольца В. Показать, что модуль М плоский (соответственно строго плоский, проективный конечного тина) если н только если В-модуль В нй М обладает указанным свойством. !3. Показать, что плоский модуль конечного типа Р нэд целостным кольцом А ироективен (рас- / Р смотреть представление О К -«Ь Р О, где Ь вЂ” свободный модуль конечного типа! выбрать подмодуль конечного типа К' в К, для которого К/К' — периодический модуль, н применитьтеоре- му 1, с.
18) . % 14. а) Пуси О К Ь Е О вЂ” точная последовательность А.модулей, где Ь вЂ” свободный А-модулэл пусть (е и) — базис 1.. показать, что следующие условия эквнвалентнъг и) Š— плоский А модуль. Ф) Лдя всякого хю К если я„— правый идеал, порожденный компонентами х относительно базиса (еа),хы и К. т) Длявсякого хы К существует гомоморфиэм их. Ь К, прн котором их(х) = х. 8) Зля всякой конечной последовательности (х() ! с!ко элементов из к существует такой гомо- морфнзм и: Ь К, что и(хг) =хе прн 1 К! цл.
(Использоватьтеорему1, с. 18). б) Пусть г — радикал кольца А, и пусть О «К-«Ь ŠΠ— точная последовательиость А-моду- лей, в которой Ь свободен. Предположим, что Е плоский и что К содержится в г 1.. Показать, что тогда К = О (в обозначениях из пункта а) заметить что а — идеал конечного типа н что а„= я г). в) Пусть Š— плосний А-модуль конечного типа; предполохтм, что существует двусторонний идеал (» кольца А, содержащийся в его радикале, для которого Е/8Š— свободный А/Ф-модуль Показать, что тогда Š— свободный А-модуль (заметить, что существует свободный А-модуль комеч- иого типа 1., для которого модуль Ь/8Ь нзоморфен Е/8Е и применить б) ). В частности, веяний плоский модуль конечного типа нздлокааьимм кольцом свободен.
15. Пусть А — кольцо, а — элемент нз А. Показать, что следующие свойства эквивалентны; о) а ЕаАа, й) Аа- прямое слагаемое в модуле Аг. т) Аг/Аа — плоский А-модуль а) Пля всякого правого идеала Ф в А имеет аиста равенство 8 т Аа = Фа. 16. Пусть А — кольцо. Показать, что следующие свойства эквивалентны: о) Всякий элемент а е А удовлетворяет эквивалентным свойствам из упражнение 15.
й) ВеаКнй ЛЕВЫЙ ИДЕап КОИЕЧНОГО тИПа ЛВЛЯЕтСЯ ПРЯМЫМ МиажнтЕЛЕМ В Аг. г) Всякий левый А-модуль плоский. 6) Всякий правый А-модуль плоский. 27 б 1. Дополнительные сведения и э линейной алгебры В этом случае говорят, что А — лбсолюшо липское кольца (ср. Ч1П, б 8, ехегс(се 15;Алгебра, ЧП1. сгр, 202, упражнение 15 ' ) ) . 17. Пусть А — абсолютно плоское колацо (упражнение 16). а) Пусть Р— проективный А-модуль.
Показать, что вслкнй подмодуяь конечного типа в Р ьюляетсп прямым множителем в Р (свести к случаю, когда Р свободный конечного типа). б) Показать, что вовкин проективный ыодуль представлиет собой прпмую сумму моиогенных ладмодулей, нэоморфных монотонным идеалам в А. (Испольэовать теорему Калланского (П, р. 183, ехегс!се 2) для сведения к случаю, когда Р обладает счетным семейством порождающих, затем использовать а) .) в) Показать, чта всякий идеал в А, порожденный счетным семейством порождюощих, проективен. т) Дать пример абсолютно плоского колща А н непраективного А-модуля конечного типа.
8 18. Пусть М вЂ” А-модуль. Показать, что следующие условия эквнвеленгны: а) М конечного типа (соответственна конечно представим) . й) Дпя всякой индуктивной,системы А-модулей (Х;, и/1) относительно направленного предупорядаченного мнояисгва! канонический гомоморфизм бт Натя(М, ХГ) Ноля(М, бт Х() ннъектнИ1 г' Е! вен (соответственно бис ктивен) . т) Для всякога семейства (Р/). ! правых А-модулей канонический гомоморфизм 1/ы) ( П Р/)еАМ П (Р/еАМ) /еЗ /е) (П, р. 61] сюрьективен (соответственно биективен) . З) Дла всЯкого множества 1 каноанческий гомомоРфизм А,г е, М М сЮРьективен (соответ- 1 отвеина биектнвен) .
19, Пусть А н  — два кольцц тк А~ — гомоморфизм, М вЂ” В-модуль Нацелим В еАМ и Ногая(В, М) структурами левого В-модули, вигучаемыми соответственно из структур левого и пра- вота В-модуля иа В. Говорят, что М лроеигиееи относительно А, нли е-лроехтиеея, если канони- ческая сюръекцня Воя М-ьМ обладает В-линейным сечением; говорят, чта М ииьекгиееи ог- яоаггельио А,нли р ииьекгиееи, сати каноническое вложеиье М Ногая(В. М) обладает В-линейной ретрькнией. а) Если М проективеи (соатветсгвенно ннъективен) как А-модульн о-проективен (соответствен- но с-ннтективен), то М вЂ” проективный (соответственно ннъектнвный) В-модуль.
б) Для всякого А-модуля Х В-модуяь В ед Х (соответственно Нагл А(В, Х) ) е-проектявен (соответственна е-ннъективеи) . в) Прецполазщм, чта о(А) содержится в центре В. Пусть Х вЂ” А-модульь Р— е.прсективный В-модуль. Показать, что В-модуль Р еА Х (саответстаенно правый В-модуль Наля (Р, Х)) е-проел. тизен (соответственно с-ииъективен) . 20. Пусть А — колщо главных идеалов, л — ненулевой элемент в А, В А/Ал. Показать, что В-мопуль Вг инъективен.
21. Показать, что следующие условна эквивалентны: а) Кольцо А нетерово. р) Всякий индуктивный предел инъективных А-модулей яалнется инъективным А-модулем т) Всякая прямая сумма ннъектнвных А-модулей явлнетсн инъективным А-модулем. (Дпя доказательства имплнкации г) о) рассмотреть возрастающую последовательность (е„) П левых нДеалов в А, Я= О Я„и 1я — ннъективнаа оболочка А-модУла */ Я„. Естествеил лэ! и ный гомомоРфизм Я в е 1л луецстьвллет собой огРаничение иекотоРого гомомоуфизма/: А е 1сх рассмотреть /'(!)). 22.
Пусть А — кольцо главных идеалов, К вЂ” его попе частных, я — одзи из экстремальных элемен- тов в А. Показать, чта л-прнмарная компонента А модула К/А лрсцстьвлнет собой инъективную оболочку А-модуля А/т"А для всякого л л 1, % 23. Пусть 1 — инъензивный А-модуль, Š— кольцо Елдд(1), г — множества всех элементов и из Е, лля которых 1 — ннъективнья оболочка подмодуля Кег(и) . а) Показ ть, что г — двусторонний идеал н что кольца Е/т абсолютно плоское ()пражне- яие 16) . (Пусть и — элемент из Е, Х вЂ” подмодуль в 1, для которого Х ю Кег(и) = 0 и максималь- ный относительно этого свойства; показать, чта существует элемент е ц Е, для которого еи(х) = х при любом хи Х н вывести отюсда, чта и си — и ы г, б) показать, что г — рапикал кольца е (включение (е) с г следует из а); показть,что для всякого и ы Г отображение! — и биектнвно) .
в) Предположим, что ! — прямая сумма конечного семейства неразложимых инъективных мо- дулей. Показать, что кольцо Е/ г полупрасто. ') Здесьтакие копьиа называются регулярными. — Примеч лер. 1 Е Лополиитазьиые свейеиил нелинейной алгебрм 9 24, Пусть 1: А -«1 — инъективнав оболочка А-модупь Аз. Папожм Е Водя()) и В = Еобд(1), так что В предстзвнпет собой бикоммутаят А-модуия 1(ЧШ, 8 3, де(.
1; Алгебра, ЧП1, с. 122, опре- деление 4), Рассмат!юваем А как подкопьцо в В. Обозначим через /: В -«1и р: Е 1отображеиня, о преданна мыс формулами /(Ь) К!(!)) и р(и) и(«(1)) дпя ЬЕВ, иЮЕ. а) Попивать, что р — сюрьекцияи / — виожеиие. б) Показать, что спедуюшяе условия эквнвзяентны: а) Отображение р биективна. й) Отображение / Рмекзивно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
