Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 5
Текст из файла (страница 5)
2. Н. Буренка !б б !. Дополнительные сведения и з линейной алгебры Т е о р е м а 1 ()Ь Лазар' )) . Для всякого А модуля Е следующие условия экви- валентны: (! ) Е плоский, ( з1) Для всякого конечно представимого А-модуля Р канонический гомоморфизм Нотп(Р,А)вп Е - Ношп(Р,Е) сюрьекгивеи.
(11!) Для всякого конечно представимого А-модуля Р и всякого гомоморфиз- ма и: Р ч Е существуют свободный А-модуль конечного типа Ь и гомоморфизмы ю Р - !. и и: Ь -+ Е, для которых и = ю ч п. (!ч) Существуют направленное упорядоченное множество 3, индуктивная система свободных модулей конечного типа (Ь! )! и ! и изоморфизм Е ка 11т Ь!. (!ч) . (1); это следует из предложения 4 (з!) (с, 12). (! ) ~ (11): это следует из предложения 8, б) (с. 16).
(!1) (1Н ); пусть Р— конечно представимый А-модуль и и: Р— Š— гомомор- физм; согласно (11), существуют элементы и,, ..., пп Е Нотп(Р, А), и,, ..., зопЕ Е, для которых и(х) = Хп((х)зп! при любом х Е Р; если и: Р ь А" — гомоморфизм с компонентами (и ! ) и ип А" ч Š— гомоморфизм (а! ) е+ Х а! юг, то и = ю с п. (1!1) ю (1ч) предполоаеим, что (111) выполняется,ипусть (Ео,Фд ) — индуктив- ная система (относительно направленного множества 1) конечно представимых моду- лей с индуктивным пределом Е (с. 15, предложение 7).
Заменяя, если необходимо, множество 1 лексикографическим произведением 1 Х М с Е( „! = Ео для всякого п, можно предполагать, что 1 не содержит наибольшего элемента. Дпя каждого и Е 1 пусть ܄— свободный А-модуль конечного тилак и: Е ~Ь, п': Ь ~Š— гомомор- физмы, пля которых п„с и - каноническое отображение чзо; Ео — Е; так как мо- дуль Ь свободный конечного типа н в 1 нет наибольшего элемента, существуют индекс д ) и И ГОМОМОрфНЗМ П": Ь„- Ей,дня КОтОрОГО П' = ЧЗЕ с П"; таК КаК Ч!д с П", с ио = = Ч!до Юаи И таК Ках МОдуЛЬ Е а КОНЕЧНО ПрсдетаннМЫй, тО ИЭ ПрсдЛОжЕНня 8, а) (с.
16), следУет, по сУществУет индекс 7 св д, дпЯ котоРого чзтй ч по ч ио = (етб ' задо = ; положим 7 = 7'(и), и пусть и, — гомоморфизм чс и с п'„' из Ьо в Еу(„),имеем: и, ч и = чзу(,1 и. Теперь можно применитьлемму 2, откуда следует (1ч ). С л е д с т в и е, Пусть кольцо А коммугагивио. Для всякого плоского А-модуля Е Амодуль Т(Е), Б(Е), Л(Е), Т "(Е), Б "(Е), А" (Е) з) плоские. Действительно, Е представляет собой индуктивный предел направленной системы (Ь() свободных А-модулей конечного типа, поэтому Т(Е) (соответственно Б(Е) и т.д.) является индуктивным пределом направленной системы свободных А.модулей Т(1.; ) (соответственно Б(Ь! ) и т.д.) и, следовательно, плоским модулем (ср.
Н1, р. 61, ргор. 6, р. 62, !!з. 1, р. 73, ргор. 8, р. 75, !(з 1, р. 83, ргор. 9, р, 86, !!з 1) . !с ! 3 а м е ч а н и е, Рассматривая в ( г1) конечное представление А! — А, — Р - О, полу- ..Ф чаем условие (11 ), также эквивалентное предыдущим: (11 ) Для всякой .'конечной матрицы (г!! )! - ! 7 и ! с элементами из А всякое рещение е = (е!)зп!ЕЕ системы однородных линейных уравнений Х еле! = О, !Е У, зп 1 ' ) Эта теорема независимо показана также В.Е. Говоровым (О плоских модулях Ц Сиб.
мат. ж.— 1965. — Т. б, Ю 2. — С. 300 — 304). — Примеч. лер. ') Т(Е), б(Е), п(Е) обозначают соответственно тензорную, симметрическую внешнюю апгебру мопупя Е. — Примеч. пер. 6 Д Лопаанительные свеаенал излинейнойалгебры можно записать в виде ггЬг + ... + г„Ь„, где Ь,, ..., Ь„Е Е и где г„= (г„;)т и 1 при т ~ 1, ..., п — некоторое рещение в А системы уравнений 1 г» сггг„г = О, /Е3. Гн1 7. Инъекгивные модули О п р е д ел ение 2.
Говорят,что А-модуль Еиньективен,еслидля всякой точной последовательности А.модулей и гомоморфизмов М'- М- М' (19) последовательность Х-линейньгх отображений Нолт„(М", Е) 2'-'нагл) Ногпл (М, Е) папаГъ1~ Ноги„(М', Е) (20) точная. Л е м м а 3. Для того чтобы А-модуль Е бььч иньективен, необходимо и достаточно, чтобы для всякого инаективного А-линейного отображения и: М - М отображение Ногая(и, 1): Нопгл(М, Е)- Ногпл(М', Е) было сюрьективным.
Если Е инъектнвеи и если отображение и: М -+ М инъективно, то последовательность «И Ное«(и,г) 0- М'ч М точная, следовательно, последовательность Нопг(М,Е) — Ного(М',Е) +О также точная и отображение Ного (и, 1) сюръективно. Обратно, рассмотрим точную последовательность (19); положим М,н = о (М), н пусть г: М, -'Мн - каноническое вло- Ф «" р н жение и р: М -«Мг — отображение гп» и(пг). Последовательность М -»М- М, - Оточная; согласно П, р.
36, г)г. 1, последовательность Ноптл(М , Е) †-' — ~ Нопгл(М, Е) ††' Ногль(М', Е) точная. Кроме того, имееьк Нопг(о, 1) = Нопг(р, 1) ь Ного(г',!). Если Е удовлетворяет условию леммы, то отображение Нопг(г', 1) сюръективно, следовательно, образ Нопг(о, 1) совпадает с образом Нопг(р, 1) и последовательность (20) точная. 3 а м е ч а н и е.
Пусть Š— инъектнвный А-модуль, и: М' ~ М и у: М ~ Š— гомоморфизмьг Амодулей. Если Кег и С Кег т", то сушествует гомоморфизм йс М ~ Е, для которого е ь и = Г". Это следует из предьгдугдей леммы, примененной к инъективному гомоморфизму М /Кег и- М,полученномуиз и. П р е д л о ж е н и е 9. Пусть (Е;)гн 1 — семейство А-модулей, Е = ПЕг — их произведение. Для юго чтобы А-модуль Е был иньективен, необходимо и достаточно, чтобы кахсдый из Ег обладал этим свойством. Пусть и: М'- М вЂ” инъектнвный гомоморфизм А-модулей. Зля того чтобы произведение гомоморфизмов П Ногая (М, Ег) -+ П Нопгл(М', Ег) было сюръективгге 1 ГЯ 1 ным, необходимо и достаточно, чтобы таким был каждый из гомоморфизмов Ногпл(М, Е;) -' Нопгл(М', Е;) (П, р.
1О, ргор. 5); это доказывает предложение, так как П Ногпл (М, Ег ) канонически отождествляется с Ногпл (М, Е) . Г~ 1 П р е д л о ж е н и е 1О. Пусть Š— А-модуль. Дая того чтобы Е был иньективен, необходимо и достаточно, чтобы для всякого идеала а кольца А и всякого А-гомоморфизма з: а » Е существовал такой элемент е ~ Е, что Х (а) = ае для всякого а Е а . Предположим, что Е инъективен; пусть а — идеал в А, ); а ~Š— А-гомоморфизм, н обозначим через г: а — А каноническое вложение. Тогда отображение Нопгл(г, 1): Ногая(А, Е)- Ногпл( а, Е) 20 Ь 1.,йонолнн тельные сведения из линейной алгебры сюръективно (определение 2); если гомоморфизм я Е Нота(А, Е) таков, что Т'= В ь 1 то 7(а) = я(а) = ая(1) для всякого а е а Обратно, предположим, что сформулированное условие выполняется, пусть М вЂ” Азмодуль, Х вЂ” подмодуль в М, и; Х- Š— А-гомоморфизм, и докажем, что сущест.
вует А-гомоморфиам и: М -ь Е, продолжающий и (см, лемму 3) . Пусть У вЂ” множество пар (Р, о), где Р— подмодуль в М, содержащий 1ч, и о — гомоморфизм нз Р в Е, продолжающий и. Множество У, упорядоченное по отношению продолжения гомоморфизмов, индуктивно: если (Р;, о; ) — линейно упорядоченное семейство элементов нз У, то положим 0 = О Р;, и пусть ик 0-+ Š— единственное отображение, индуцирующее о, иа Р для всякого У; тогда ((),ю) е Уи (О,ю) мажорирует (Рм 01) для всякого Т. Пусть теперь (Р, о) — некоторый максимальный элемент в У (Е, И1, р.
20, тл. 2; Теория множеств, Ш, с. 177, теорема 2); достаточно доказать, что Р = М. Пусть х Е М, и пусть а — идеал, состоящий из всех таких элементов а Е А, что ах Е Р; положим 7'(а) = и(ах) для не а; получаем тем самым А-гомоморфиэм 7": а ~ е. Пусть теперь е — элемент нз Е, для которого 1'(а ) = ае при всяком а Е а . Положим Р' = Р + Ах, и пусть о': Р'- Š— единственный А-гомоморфизм, при котором о ( р + ах) = н ( р) + а е дл я р Е Р, а Е А; тогда (Р', о ' ) принадлежит У и мажо рирует (У, р ), следовательно, Р = Р, т,е. хЕ Р, что завершает доказательство. С л е д с т в и е 1.
Если кольцо А нетерово слева, то прямая сумма иньективных А-модулей является иньективным модулем. Пусть (Ег);цг — семейство ннъективных А-модулей, Š— их прямая сумма, а — идеал в А и и: а — Š— А-гомоморфизм. Так как А нетерово, а имеет конечный тип и, следовательно, каноническое отображение р: е Нотя(а, Е;) -' Ношя( а, Е) !и 1 биективно; пусть (и~) — прообраз и при р.
Так как каждый модуль Е~ ннъектнвен и семейство (и~) обладает конечным носителем, то существует элемент (е1)гп 1 в Е, для которого и1(а) = ае~ для всякого аЕ а и всякого 1Е 1, таким образом, и(а ) = а ((е1) ) для всякого а е а, и Е инъективен. 3 а м е ч а н и е.
Если всякая прямая сумма инъективных А-модулей является инъективным А-модулем, то кольцо А нетерово слева. Предположим, что колько А целостное ') . Говорят, что А-модуль Е делимый, если гомотетия аи сюръективна дпя всякого ненулевого элемента а из А. Сл е дств н е 2.Предположим, что кольцо А целостное. а) Всякий иньективный А-модуль делим. б) Всякий делимый А-модуль беэ кручения (П, р. 11з) иньективен. в) Если А — кольцо главных идеалоВ, то всякий делимый А-ьюдуль иньективен. Если а Е А — ненулевой элемент, то гомотетня ая ннъективна; с другой стороны, рля всякого А-модуля Е гомотетия ав канонически отождествляется с отображением Нот(ая, 1): Нота(А, Е)-ь Ноша(А, Е), следовательно, Е делим, если и только если отображение Нот(ая, 1) сюръективно для всякого ненулевого элемента а Е А. Утверждение а) следует, таким образом, нэ опреде- ления 2 (с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
