Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В принципе диаграмма не является математическим обьектом, а только рисунком, лрециазиаченным для облегчения чтения. На практике диаграммы часто используют как краткие обозначения, позволяющие избежать подробного наименования рассматриваемых множеств и отображений; так, говорят: "рассмотрим цнаграмму (1)" вместо того, чтобы сказать: "пусть В, С, О, ńР— пять множеств... и в — отображение С в Е"; см., например, формулировку предломиння 1 в л. 2.
Рассмотрим, например, следующую диаграмму: В г С вЂ” г-»О — ' Е ь~ »~ г~ »1 В' —,+ С' —, ГУ вЂ” —; Й' р е' ' ь' (2) Всякому пути, составленному из некоторого числа отрезков диаграммы, проходимому в направлении, указанном стрелками, ставится в соответствие отображение множества, изображаемого началом первого отрезка, в множество, изображаемое концом последнего отрезка, представляющее собой композицию отображений, изображаемь|х различными проходимыми отрезками. Принимается соглашение, что для всякой Пусть, например, В, С, О, Е, Р— пять множеств, и пусть | — отображение Е в Р, я— отображение В в С, й — отображение 0 в Е, и — отображение В в 0 и о — отображение С в Е.
Для простого описания ситуации такого рода часто используются диаграммы; так, рассматриваемая ситуация описывается следующей диаграммой (Е, 11, р. 8; Теория множеств, 11, с. 9 1): а 1. дополнительные сведения нэ линейной ел геары вершины диаграммы, например, С, имеется путь, сводящийся к С, и ему ставится в соответствие тождественное отображение 1с. В диаграмме (2), например, имеются три пути, выходящие иэ В и оканчивающиеся в )3'; соответствующие отображения — зто б я " 7", я' о с ~ и я .,Т' Ь. Говорят, что диаграмма коммугативна, если для всякой пары путей эгей диаграммы, имеющих одинаковые начало и конец, два соответствующих отображения равны; в частности, если у некоторого пути его конец совпадмт с его началом, соответствующее отображение должно быть тождественным.
Для того чтобы диаграмма (2) была коммутативной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения э'оЬ =сог, я'о с бое„й'о а=вой; (3) иначе говоря, необходимо и достаточно, чтобы три квадратных диаграммы, вьщеленных из диаграммы (2), были коммутативны. Действительно, из соотношений (3) вытекает, что Н о я о э = г' о с о э, так как Но я = е' о с, и что е' о с о 7' я' о ~' о Ь, так как с о У = Т о Ь; следовательно, три пути, выходящих из В и оканчивающихся в 0', дают одно и то же отображение. Так же проверяется, что четыре пути, выходящих из В и заканчивающихся в Е ' (соответственно три пути, выходящих из С и заканчивающихся в Е '), дают одно и то же отображение, Соотношения (3) означают, что два пути, выходящих из В (соответственно С, Р) и оканчивающихся в С (соответственно 0', Е') дают одно и то же отображение. Все другие пары вершин диаграммы (2) могут быть соединены самое большее одним путем, и диаграмма (2), следовательно, коммугативна.
В дальнейшем мы будем предоставлять читателю формулировку и проверку аналогичных результатов для других типов диаграмм. 2. Змеевидная диаграмма П р е дл о же н не 1. Рассмотрим коммутативную диаграмму А-модулей М вЂ” "- Х вЂ” ". Р М' —. Ы' —; Р' . к е Предположим, что обе строки диаграммы (4) точные. Тогда: (!) Если отображение Ь иньективно, то 1ш(е) П 1тл(и') = 1ш(и ' о 7) = 1ш(я о и) . (5) (д) Если отобрахение Т сюръективно, то Кег(а) + 1ш(и) = Кег(и' он) = Кег(Ь о о).
(6) Докажем (1) . Ясно, что 1ш(и' о 7) = 1ш(г о и) С 1ш(е) Г~ [ш(и ), Обратно, пусть у' Е 1т(я) Г1 1т(и') . Имеется элемент у Е 1ч, для которого у' = =Ь(у). Так как о о и = О, то О = о (у) = о(я(у))= Ь(о(у)),откуда и(у) =О,так как Ь инъективно. Так как (и, о) — точная последовательность, то имеется элемент х о: М, для которого у = и(х) „откуда у =я(и(х)) .
Докажем(й).Таккак сои"-О и и и =О, тоясно,что Кег(я) + 1т(и) С Кег(и' о е) = Кег(И о и) . Обратно, пусть у Е Кег(и о а) . Тогда е(у) Е Кег(о'), н имеется элемент х' Е М', для которого и (х ) = ~(у), так как последовательность (и, и) точная. Так как У сюръективно, тоимеетсяэлементх ЕМ,длякоторогоУ(х)=х,откудав(у)=и (э (х)) = . К(и(х) ); отсюда заключаем, что у — и(х) Е Кег(я), чем доказательство заканчивается. Л е м м а 1.
Рассмотрим коммутативную диаграмму А-модулей: М вЂ” ч-ь 1ч (7) 5 Л Лояолныгельяые сведения яэ линейной елгеаяъс М' — ' Х' л~ е~ Со)сег ()') —.е Со1сег (д) (9) коммугативны, где 1 и у обозначают канонические вложения, р и д — канонические сюръекиии Действительно, если х Е Кег(1), тот(х) = О ид(и(х)) = и Щх)) = О, следовательно, и(х) Е Кег(д), что немедленно дает существование и единственность гомоморфизма и, . Точно так же, имеем: и'(г"(М)) =я(и(М)) Ся(Х), следовательно, при переходе к фактормодулям и дает гомоморфизм иг: Сойег(1) -е Со1сег(д), единственный, для которого диаграмма (9) коммутативна.
Будем теперь исходить из коммутативной диаграммы А-модулей (4); ввиду леммы 1 ей соответствует коммугативная диаграмма Кег (г") -» Кег (д)-"-ь Кег (Ь) М г-е. Х вЂ” "ч Р (10) М' — ч Х' —,ч Р Со1сег ((') —. Со1сег (д) —. Со)гег (й), где 1, у, я — канонические вложения, р, д, г — канонические сюръеквди, им иъ (соответственно ог, от) — гомоморфизмы, полученные из и, и (соответственно о, о ) с помощью леммы 1.
П р е д л о ж е н и е 2. Предположим, что в коммугативной диаграмме (4) строки (и, о) и (и', о') точные. Тогда: (1) о~ е и, = О; если и' инъекгивно, го последовательность (и„о|) точная, (Б) оъ е иъ = О; если о сюръекгивно, то последовательность (иъ, от) точная. (ш) Предположим, что и инъективно и о сюръективно. Тогда существует и притом единственный гомоморфиэм д; Кег(й) -+ Сонет(г), обладающий следующим свойством: если элементы т Е Кег(й), у Е Ас и х' Е я(' удовлетворяют соотношениям о(у) = 1с(т) и и (х') =я(у), то д(т) =р(х'). Кроме того, последовательность Кег(г) — Кег(д) — 1-+ Кег(й) — ~ Сохсг(г) — ~ Сохег(Х) — е СоКег(Ь) точная. Существуют и притом единственные гомоморфиэмы и~.
Кег(1) -+Кег(д) и и, = = Сонет(Я вЂ” Сохег(д), для которых диаграммы Кег(г')ас Кег(д) с~ З~ (8) М вЂ” — 'Х 5 у. ууонолннгельные сведения не лннейной влеебрм гв ь1 Кег (у ) — ь Кег (д) у~ М " уй Кег(Ь) --1 Р 1 1 -л$ — — --1 '- - Сойег (у ) -„-- Сонет (д) —,- Сонет (й) Докажем (т) . Так как иь и н, получены из ограничений отображений и и и на Кег(У) и Кег(й) соответственно, то с, ь и, = О.
Имеем: Кег (о, ) = Кег (я) О Кег (н) = Кег (я) О 1т (и) = 1ш (у) О 1пз (и) . Но, согласно предложению 1 Н),имеем Кег(о,) = 1ш(у ь иь) = 1ш(и~), если и' инъек- тнвно. Докажем (П) . Так как из и нз получаются из и и н путем перехода к фактормоду- лям, ясно, что нз и, =О. Предположим, что и сюръективно; так как р и еу сюръектив- ны, то, ввиду предложения 1 (П), имеем: Кег (пг ) = еу (Кег (сз ь а)) = а (Кег (с ') + 1ш (я)) = = еу (Кег (п')) = д (1пз (и')) = 1пз (а ь и') = 1пз (и, р) = 1ш (и,) . Докажем, наконец, (ш) . Если г Е Кег(Уе), то имеется элемент у Е Х, для которо- го о(у) = Ус(г), поскольку н сюръективно; кроме гого, и (й(у)) =й(я(г)) = О,и, следовательно, имеется единственный элемент х' Е М, для которого и (х') ня(у), по- скольку и инъектнвно.
Покажем, что элемент р(х ) е Сойег(У) не зависит от элемен- та у е х, для которого о (у) = й(г) . действительно, если у, е х — второй такой эле- мент, что н (у~ ) = Ус(г ), то у ~ =у+ и (х), где х Е М; покажем, что если х, Е М и и (х1) = =я(у,), то х,' ох +у (х); действительно, и (х +у(х)) = и (х ) + и (у(х)) нг (у) + + г(и(х)) = г(у + и(х)) = я(у,). Наконец, отсюда заключаем, что р(х1) = р(х') + + р(У(х)) р(х').
Следовательно, можно положить сУ(г) = р(х ), и этим определено огображеннесУ: Кег(й) - Сонет(У). Если теперь г,, гз — элементы из Кег(й),ЛыЛз Е А иг нЛ,г, +Л,г,,то находим элементы у, и у, из М, для которых о (у, ) = Ус(г,) и о (уз) = й (гз), н выбираем в ка- честве у Е 1Ч элемент Л,у, + Лзуз ', тогда непосредственно видно, что а' (г) Л, сУ (г, ) + Л, гУ (г, ), следовательно, Ы вЂ” гомдморфизм. Предположим, что г = о, (г) для некоторого г Е Кег(я): тогда выбираем в качест- ве у е н элемент у (г) . так как я (у(г) ) = О, то отсюда заключаем, что су(г) = О, следо- вательно, сУ ь и, = О. Обратно, предположим, что гУ(г) = О. В предыдуших обозначениях имеем, следовательно, что х =У(х), где х Е М.
В этом случае я(у) =и (У (х) ) =я(и(х)), откуда я (у — и(х) ) = О. Элементу — и(х) имеет, следовательно,вид у(п) для и Е Кет(й), н получаем; ус (г) = с (у) = и (и (х) + у (и)) = и (у' (п)) = ус (н, (п) ); так как ус инъективно, то г = о ю (и), и это доказывает, что последовательность (ь) гоч- ная в члене Кег (Уе) . Наконец, имеем (все в тех же обозначениях): из (сУ (г)) = из (и (х )) — а (и (х )) = Фу (й (у)) =.О, следовательно, и, ь И = О. Обратно, предположим, что элемент ю = р(х') из Со)сег (У) таков, что из (ю) = из (р (х )) = О (гце х Е М ). з Х.
2!онолннтеаьные сееаеннл нелинейной алгебры Таким образом, а(и (х )) = О и, следовательно, и (х ) =б(у) для некоторого у Е Х; так как о (и (х')) = О, то и (Ь(у)) = О, следовательно, Л(и(у)) = О, иначе говоря, о (у) = Л (з ) для некоторого з С Кег (Л), и, по определению, ю = Н (г); это доказывает, что последовательность (*) точная в члене Со1сег (г) . Мы виделн в (1), что она точная в члене Кег(Е), и в (й), что она точная в члене Со1сег(Е); это завершаетдоказательст- во утверждения (ш) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
