Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 4
Текст из файла (страница 4)
свободен. Говорят, что представление (13) модуля Е конечное, если свободные модули 1о н Ьь имеют конечные базисы. Ясно, что если представление (13) конечное, то таково же и представление (14) . Говорят, что Š— конечно' представимый А-модуль, если он допускает конечное представление. П р е дл о же н не 5. (т) Всякий модуль, допускающий конечноенредсгавление, является модулем конечного тина (Н) Если кольцо А негерово слева, го всякий А-модуль конечного тина допускает конечное представление. (ш) Всякий нроентивный модуль конечного гинадонускаег конечное представление. Утверждение Г1) тривиально следует из определений.
Предположим, что А иетерово слева и Š— модуль конечного типа. Тогда существует сюръектнвный гомоморфизм и: 1„-ь Е, где Ьо — свободный А-модуль, обладающий конечным базисом; ядро К гомоморфизма и имеет конечный тнп, следовательно, сушествуе1 сюръективный гомоморфизм и: Ь, - К, где 1., — свободный модуль с конечным базисом, и точная последои' н вательиость Ьь -ь Ьо -ь Е 0 служит конечным представлением для Е, что даст утверждение (П).
Наконец, предположим, что Š— проектпвный модуль конечного типа; он является тогда прямым слагаемым некоторого свободного модуля конечпого типа Ьо (П, р. 40, сот. 1); ядро К сюръективного гомоморфиэма Го Е изоморфно тогда некоторому фактормодулю модуля Ьо,. следовательно, имеет конечный тип, и доказательство заканчивается как и выше. ! Ь 2!ополнигельные сведения излинейной алгебры П р е д л о ж е н и е 6. Пусть А — кольцо, Š— конечно представимый А-модуль.
Юля всякой точной послес)овагельносгц 1 О -+ Р -ь 6 -+ Е .+ О, где 6 — модуль конечного типа, модуль Р имеет конечный гиж ° е Пусть Ьг -+ Ьо -+ Е -+Π— некоторое конечное представление; если (ег) — базис модуля Ьо, то для всякого 1 существует такой элемент яг Е 6, что р(яг) = э (ег) следовательно, гомоморфнзм и: Ьо -ь 6, при котором и(ег) = яг, таков, что е = р ь гс Так как г ь г = О, то и(г(Ь,)) С Кегр, н так как модуль Кегр изоморфен Р, то мы видим, что существует гомоморфизм о: Ьг - Р, для которого диаграмма Ь,~ 1. ~ ŠΠŠ— О р коммутатнвна.
Так как гомоморфиэм / инъективен, а е сюръективен, то можно применить предложение 2 (с. 9), т.е. имеется точная последовательность в Кег 1в - Со!сего -ь Со1сег и -+ Со!сег 1в. Она показывает, что модуль Со)сего иэоморфеи модулю 6/и (Ьо) . который, по предположению, конечного типа. Кроме того, имеем точную последовательность О -+ о (1.г ) -+ Р -+ Со1сег о -+ О, н так как о(Ьг) и Со)сего имеют конечнмй тип, то из нее заключаем, что тем же свойством обладает и Р (П, р. 17, сот.
5) . П р е д л о ж е н и е 7. Пусть М вЂ” А-модуль. Существует направленное по возрастанию упорядоченное мпоягесгво 1 и индуктивная система относительно 1 «онечно представимых модулей (М„, сей ), для которой модуль М иэоморфеп 1йл М . Если М обладает системой порождающих иэ и элементов, то можно предполагать, что тем же свойством обладают и М . Рассмотрим представление А, А, М+О; пусть ! — множество таких пар а = (К', 1.'), где К' (соответственно Ь') — конечное подмножество в К (соответственно в Ь), что и индуцирует отображение ии подмодук' ск) .
г,' сь) ля А, модуля А в подмодуль А, модуля Ае; для а Е 1 пусть М вЂ” коядро и„ т.' и о,„; Ае -+̄— каноническое отображение, так что получаем коммутатнвную диаграмму с точными строками: А,'"' ° А,см -" М вЂ” и О .1 '4, '1 Аг' -' А'; -' М,— О, где г„и /н — канонические вложения, а/' индуцировано отображением/и при переходе к фактормодулям. Упорядочим множество 1 посредством отношения: а = (К', 1:) < 1) = (К", Ь"), если К' с К", Ь' С Ь"; длЯ а <)) пУсть дйи.' Ми -+ Мб — гомомоРфизм, полУчаемый пРи пеРеходе к фактоРмодУ- ь' лям из вложения А, в А, . Тотчас проверяется, что упорядоченное множество!направленное, что (М, рйи) — индуктивная система А.модулей н что (ри) — индуктивная система А-гомоморфизмов.
При переходе к индуктивному пределу получаем 1Ь 1 1. Лополии тельние сведении нелинейной алгебра! коммутативную диаграмму А ни -" А,'"' -'-ч М вЂ” ! О 4 1пп А," — !!па А," — !цп М„- О (15) строки этой диаграммы точные (П, р. 91, ргор. 3); так как с и!' биектнвны, то и р би- ективно, что доказывает предложение. Пусть  — другое кольцо, г — В-модуль, С вЂ” (А, В)-бимодуль; тогда определен (П, р. 75) канонический гомоморфизм: Носок (Е,С)ев Р-+Ногпл (Е, Сев Е). (17) П р едл о жение 8, а) Если А-модуль Е конечного типа (соответственно конечно представимый), то канонический гомоморфизм (16) инъективен (соответственно биективен). б) 17редполохим, что В-модуль Р плоский; если А-модуль Е конечного типа (соответственно конечно представимый), то канонический гомоморфизм (17) инъективен (соответственно биективен).
Докажем, например, б) (доказательство утверждения а) аналогично). Считаем А, В, г, С фиксированнымии длявсякого А-модуля Е положим Т(Е) = Ноп!А(Е, С)ив Р, Т'(Е) = Носов(Е, С ев Р) и обозначим через ин гомоморфизм (17); для всякого гомоморфнзма А-модулей тл Е-~ Е'положимТ(о) = Носп(о, 1о) е 1т н Т (6) = Ноги(о, 1о е 1т). Пусть ч !ч Ь, ~ Ьо ~ Е ! Π— представление Е; предполагаем, что свободный модуль Ьо (соответ.
ственно свободные модули Ьо и Ь,) конечного типа. Диаграмма 0 Т(Е) — ! Т(1. ) — ! Т(1.,) "Е~ О ~ Т(Е):ч Т(Ьо):ч Т(1- ) (18) коммутатнвна, и ее вторая строка точная (Н, р. 36, 1(т. 1); кроме того, последова- тельность 0 - Носил(Е,С) . Но!па(Ьо,С) - Нопс(Ьс,С) точная (П, р.
36, !!т. 1), и так как Р плоский, то первая строка в (18) — тоже точная последовательность (е. 12, определение 1) . Известно, что гомоморфизм иь биектнвен ! (соответственно аь, и ис, биективны) (П, р. 75, ргор.2). Если предполагать только, что и! биективеи, то из (18) следует, что гомоморфизм и! ч Т(и!) = Т'(н!) и ин ииъектнвен и, таким образом, ив также инъективен. Если предполагать, что и! и и!, ! ! 5. Гомомерфнзмм коне все представнммх модулей Пусть Š— А-модуль.
Если 1 — направленное предупорядоченное множество и (Сс, итс)— индуктивная система А-модулей относительно 1, то канонические отображения Сс-+ !йпСс индуцируют гомоморфизмы Но!па (Е, Сс) . Но!па (Е,!пи С;), что дает канонический гомоморфизм 1пп Ноп!А (Е, С!) ~ Ногль (Е,!ип Сг).
(16) !' н ! с н! 17 й Е Донолннтельные сведения аз лннейной алгебры оба биективны. то из следствия 2 (11) (с. 11) заключаем, что гомоморфизм ив сюръек. тивеи, и так как мы только что видели, что их инъективен, то он биективсн. С л е д с т в и е. Всякий конечно представимый плоский модуль проективен.
1(ействительно, пусть Š— конечно представимый плоский А-модуль. Применяя б) к случаю В = А, С =,Ад, Е = Е,видим,что каноническийгомоморфизм Ногая(Е,А)ея Е -«Нощь(Е,Е) сюръективен. Это влечет, что Е проективен (П, р. 77, гетагг)пе 1). Согласно предыдущему следствию и предложению 5, классы конечно представимых плоских модулей и конечно порожденных проективных модулей совпадают. Зато существуют конечно порожденные плоские модули, не являющиеся конечно представимыми и, следовательно, не являющиеся проективными (ср. с.
27, упражнение 17, см. тем не менее, с. 26, упражнения 13 и 14) . 6. Структура плоских модулей Л е м м а 2. Пусть 1 — направленное по возрастанию упорядоченное множество, (Еа, ~ге ) — индуктивная система множеств относительно 1, Š— ее индуктивный нре дел и ~ра: Е - Е, а Е 1, — канонические отображгния Пусть 7": 1 1 — отображение, при котором 7'(а) ) а для а Е 1, и пусть заданы для казгдого о Е 1 множество 1.
и отображения и: Еа - Еа и и„: Ьа -«ЕГ(а), удовлетворяющие усаовию: и о иа а = ч«у(а) а. Пусть 1 — упорядоченное множество, которое получается, если 1 наделить отношениемг "а <1), когда о = 1) или Г(п) <Р*'. Если а))~ ) и п<(),то пусть Фба. Еб — такое отображение, что Фб = 1д при и = Р и т)г = ий о рг у( ) н и при 7'(и) < 11 Если и Е 1, то пусть ага: Еа -«Е — отображение у~у( ) о иа. Тогдаунорядоченное множество 1 направленное, (Е, Фа ) — индукзивная система относительно 1, (Да) — индуктивная система отобршкений и отображение чг: 11т Е - Е, опреап 3 деляемое системой ((й ), биективно.
Ясно,что) направленное. Если а,))Е 1 и а< 1),то (гй о фга = ~ру(г) о иг о иа о нгдг( ) о иа = = 4С(й) ' 'рт(й) Р 'Фй г(а) ' иа = ФГ(а) а иа = чу аналогично, если п,(), 7 Б 1 и о < () < у, то фтйоФйа = итн~Ртг(г)оидоийоугйг(а)оиа ит ' Фт, Г(а) ' «т(б),б ФА г(а) иа ит гтт, Г(а) иа Фта2Ькажем последнее утверждение: для всякого п Е 1 имеем: «га иа Ф3'(а) иа иа 'РГ(а) ФГ(а) а Фа следовательно, ю (Еа) = ра(и (Еа)) с ч)а (Е ), и Ф сюрьективно. Пусть и Е 1, в пусть элементы х.уЕ Еа таковы, что тга(х) = Чг (у), те.чгу( )(иа(х)) =(оу( )(иа(у)); существует индекс () Е 1, б~ Г(п), для которого Ч«б,г(а)(иа(х)) Угй, Г(а)(иа(У))* следовательно, ой~(х) = ий(чгй у( )(иа(х))) = иа(рй у(~)(и,(у))) = чуб (у) и чу иньективно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
