Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 3
Текст из файла (страница 3)
С л е д с т в и е 1. Предположим, что диаграмма (4) коммутативна и ее строки точ- ные. Тогда: (г) Если и', г" й Л инъективны, то а инъективно. (й) Если о, т'и Л сюрьективны, то я сюраективно. Утверждение (1) представляет собой следствие утверждения (1) из предложения 2: действительно Кег(1) =О и Кег(Л) =О, следовательно, Кег(й) = О. Утверждение (й) представляет собой следствие утверждения (Д) из предложения 2: действительно, Со1сегЯ О и Сонет(Л) =О, следовательно, Со)сет(Е) =О.
С л е д с т в и е 2, Предположим, что диаграмма (4) коммутативна и ее строки точ- ные. При этих условиях: (1) Если е иньективно и если~ив сюрьективны, то Л инъективно. (Д) Если я сюрьективно и если Л и и ' инъективны, то !' сюрьективно. Для доказательства утверждения (1) рассмотрим диаграмму и(М) -» 1Ч -» Р и'(М') -;, Х' -„; Р', где г' — отображение, полученное ограничением отображения я на и (М), ю и ю' — кано. ннческие вложения; ясНо, что эта диаграмма коммутатнвна и что ее строки точные. Кроме того, в инъекгивно и, по предположению, о сюръективно; имеем, следователь- но, согласно предложению 2 (ш) точную последовательность.
Кег (я) -+ Кег (Л) -! Со1сег (1 '); поскольку я инъективно, а г" сюръективно, получаем, следовательно, что Кег (Л) = О. Для доказательства утверждения (Д) рассмотрим диаграмму М -". 1Ч ' — ! е(Х) М' -~ М'-т!. с'(Х'), где на этот раз Л' — отображение, полученное ограничением отображения Л на о(Х), ! ! а отображения ч! и тч получены соответственно из отображений о и о; эта диаграмма коммутативна, и ее строки точные. Кроме того, ю сюръективно и, по предположению, и' инъективно, следовательно, согласно предложению 2 (ш), имеем точную после- довательность Кег (Л') -+ Со1сег (т) -~ Со1сег (е); поскольку я сюръекгивно и Л ннъективно, получаем, следовательно, по Со1сег(т) = О. С л е д с т в и'е 3 (лемма о пяти гомоморфизмах). Рассмотрим коммутативную диаграмму А-модулей М,-» М, -г Мэ — Ме -' Мз т!~ !!~ !1~ !~ А!~ в которой строки точные. (1) Если гомоморфизмы Уз и /4 иньективны и Т! сюрьективен„то Тэ инъективен.
(Д) Если гомоморфизмы та из 4 сюрьективны и ~э инъективен, торэ сюръективен. В частности, если т' „т т, 3 а и ~т — изоморфизмы, то тем же свойством обладает и Тз. !г а д Яонолнительные сведении изаинеаной ааеебры Для доказательства утверждения (!) положим Мз = Со)сег(и,), Мз = Со1сег(и,') и обозначим через 12.' М, -+ Мз отображение, полученное из Г'2. Из следствия 2 (з) вьпекает, чтотз инъективно.
Применяя следствие 1 П) к диаграмме Мз Мз М4 т~~ .~з~ Л~ где отображения й, и йз получены из из и из, видим, что з'з инъектнвно. Ф Зля доказательства утверждения (П) положим М4 = Кег (ич), М4 = Кег (ич) н обозначим через зч. М4 -+М4 отображение, индуцированное з4. Из следствии 2 (П) вытекает, что гхе сюръектнвно. Применяя следствие 1 (П) к диаграмме М, -'.~ Мз -'1 М4 Мз †'е. Мз †'е. М4, где йз и йз получены из из и из, видим, что! з сюръективно. 3. Плоские модули О п р е д е л е н и е 1. Говорят, что А-модуль Е плоский, если для всякой точной последовательности правых А-модулей н гомоморфизмов М'~М~М" (11) последовательность Е-линейных отображений нег еег М'эхŠ— 4 Мэя Š— + М" эя Е (12) точная.
П р е д л о ж е н и е 3. Для того чтобы А-модуль Ебыл плоским, необходимоидостаточно, чтобы для всякого инъективного гомоморфизма и: М' — М правых А-модулей отображение и э 11 М' эь Е -+ М э4 Е было инъективным. Если модуль Е плоский и отображение и: М' - М инъективно, то последовательность и ие ! О - М' -4 М точная, следовательно, последовательность О -+ М'эя Š— М эн Е также точная, н отображение и э 1 инъективно. Обратно, рассмотрим точную последовательность (11); положим; М" ,= о(М), и пусть !': М" ,-+ М" — каноническое вложение и ,и р р: М - М," — отображение т ° о(т). Последовательность М'-'М - М - О точная; ие! ре ! согласно Н, р.
58, ргор. 5, последовательность М' эя Š— + Мэн Š— 4 М," эя Е точная. Кроме того, о = ! р, следовательно, и э 1 = (1'э 1) (р э 1); если Е удовлетворяет условию нэ формулировки предложения, то отображение !' э 1 инъектнвно, следовательно, Кег (о э 1) = Кег (р э 1) = 1пг (и э 1), и последовательность (12) точная. Предложение 4. (!) Если (Ег)гэ! — семейство А-модулей, Е = э Е! — их ! н! прямая сумма. Для того чтобы А-модуль Е был плоским, необходимо и достаточно чтобы каждый иэ модулей Е! обладал этим свойством.
(П) Пусть 1 — направленноепо возрастаниюпредупорядоченноемножество, (Е,Уя )— индуктивная система А-модулей относительно 1, Е = 1лп Š— ее индуктивный предел. Если каждый из А-модулей Ео гигоский, то Š— плоский модуль, Ф !. Лополниггльние гав!гнил из линейной алгебры Пусть М' - М - М" — точная последовательность правых А-модулей. (1) Для того чтобы последовательность е (М" ея Е!) -+ е (М ех Е!) ге! .
гЕ! .+ е (м" ея е,) была точной, необходимо и достаточно, чтобы каждая 'нз последо. гн! вательностей М'эх Ег- М эн Ег- М" эя Е! была точной (И,р.13,ргор.7); этодоказывает утверждение (1), поскольку е (М эя Е!) канонически отождествляется с М ея Е (И, р. 61, ргор, 7) . (и) По предположению, каждая нз последовательностей М'э„Ег- Мэ„Ег-+М 'эн Е! точная, следовательно, такова жеипоследовательностьМ эд Е- Мех Е-+ М" эя Е, поскольку переход к индуктивному пределу коммутнрует с тензорным произведением (И, р. 93, ргор.
7) и сохраняет точность (П, р. 91, ргор. 3) . П р н м е р ы. 1. Ясно, что А, является плоским А-модулем; нзпредложення 4 (!) следует, что всякий свободный А-модуль н, более обшо, всякий проектнвный А-модуль является плоским (см. также И, р. 63, сот. 6) . *Обратно, всякий конечно представимый плоский А-модуль проективен (п. 5)., 2. Согласно предложению 4 (И), всякий А-модуль, представляюшнй собой индуктивный предел направленной индуктивной системы свободных А-модулей, является плес. кнм. Мы докажем обратное в л. 6.
3. Если кольцо А полупросто, то всякий А-модуль проективен (ЧИ1, 1 5, и' 1, ргор.1), следовательно, плоский. 4. * Если А — артнново локальное кольцо (не обязательно коммутативное), то А-модуль является плоским если и только если он свободен (АС, И, й 3, п' 2, сот. 2 йе 1а ргор.
5; Коммутатнвная алгебра, И, с. 119, следствие 2 предложения 5) ., 5. Если А — целостное кольцо, то его поле частных К является плоским А-модулем (И, р. 118, ргор. 27), 6. "В АС, Ии И! (Коммутативная алгебра, И и 1И), мы изучим два важных примера плоских А.модулей, когда А — коммутатнвное кольцо: кольца частных Б ' А н, когда А — нетерово, отделимое пополнение кольца А относительно У-аднческой топологии., 7.
Пусть элементами А таков, что отображение ах. хь ах кольца А в себя ннъективно ("а не является левым делителем О") . Если Š— плоский А-модуль, то гомотетня ан ннъектнвна, посколькУ отождествлЯетсЯ с отобРажением ах э 1; Аа эй Е -+ Аа эх Е, В частности, если А — целостное кольцо, то всякий плоский А-модуль не имеет кручения. Обратно, если А — кольцо главных идеалов, то всякий А модуль беэ кручения плоский: действительно, если А-модуль Е не имеет кручения, то всякий подмодуль конечного типа в Е свободен (ЧИ, й 4, п'4, сот. 2 аи тЬ. 4; Алгебра, ЧИ, с, 54, следствие 2 теоремы 2), н Е представляет собой воэрастаюшее направленное объединение плоских подмодулей, следовательно, является плоским (предложенне 4 (И) ) . 8.
Пусть  — кольцо и р: А ~  — гомоморфизм. Если Š— плоский А-модуль, то В-модуль Е!в) = В эх Е плоский. Пусть, действительно, и: Н' -+ Х вЂ” ннъектнвный гомоморфиэм правых В-модулей; тогда ив в 1в канонически отождествляется с гомоморфнзмом и эх 1я. Н' эя Е -ьН эя Е, который ннъектнвен, если Е плоский. 9. Предположим, что А = К [Х, У], где К вЂ” поле.
Тогда максимальный идеал ш, порожденный Х н У, является А.модулем без кручения, но не плоским. Рассмотрим, действительно, кольцо В = А/(Х), которое нзоморфно К(Х), следовательно, целостное. В-модуль Ш1в1 нзоморфен модулю ш/Уш = (Х, !) /(ХУ, У ), в котором класс У периодический. Следовательно, ш<в) не является плоским В-модулем, поэтому н Ш не плоский. 10. Предположим, что кольцо А коммутатнвное. Пусть  — алгебра А [Х!,..., Хп] /(Р), где Р— ненулевой многочлен. Для всякого простого идеала й в А обозначим через й(й) поле частных целостного кольца А/й, через Е(й) — алгебру й(Ф) [Х! - . Хе] н через Р(й) — образ Р в Е(й) при каноническом отображения.
Можно доказать, что для того чтобы алгебра В была плоским А-модулем, достаточно, чтобы Р(й) Ф О для всякого простого идеала й в А. Если А целостное, то это условие н необходнмое. * На геометрическом языке мы рассматриваем проекцию л; Брес(В) -+ Брес(А). Для всякого р Е Брес(А) слой я ' (р) отождествляется с подмногообразнем ЧЭ аф- 1 1.,11онолннгельные сведения из линейной алгебры финного пРостРанства АЬ <р) = БРес (Е( Р) ), опРеделЯемым многочленом Р(Р ), и множество Р тех простых идеалов р, для которых это подмногообраэие совпадет со всем пространством (т.е. для которых Р( р) = 0), представляет собой замкнутое подмножество в Брес (А) . Предыдущее условие означает, что это замкнутое подмножество пусто, иначе говоря, что для всякого р подмногообразия Чр является гиперповерхностью в А~херт. ° 11.
Пусть Б и Х вЂ” два комплексных аналитических пространства и г: Х ~ Б — некоторый морфизм. Говорят, что т' плоский в,точке х из Х, если кольцо бх „, рассматриваемое как йзз у(„>модуль посредством гомоморфнэмат *: бз у(„> -ьОх „, является плоским. Множество точек Х, в которых морфизм ) плоский, открыто в Х, и ограничение Г на зто открытое множество является открытым отображением. Если Х п Б— связные аналитические многообразия конечной размерности, то морфнэм г плоский (во всякой точке из Х) в том н только том случае, если Г(Х) — открытое множество в Б и все слон т ~ (т) для т Е Г(Х) имеют одну и ту же размерность., 4.
Конечно представимые модули Представлением (или представлением длины 1) А-модуля Е называется точная последовательность А-модулей Ь~ + 1.о ь Е -ь О, (13) в которой Ьо и Ь1 свободны. Всякий А-модуль Е допускает представление. действительно, известно (П, р. 27, ргор. 20), что существует сюръективный гомоморфнзм и: Ьо - Е, где Ьо — свободный модуль; если К вЂ” ядро и, то существует также сюръективный гомоморфизм о: Ь1 -ьК, где Ьь — свободный модуль.
Если рассма~ривать и как гомоморфизм Ь, в 1.о, то поо н следовательность Ьь -ь Ьо Е -+ 0 является точной по определению, откуда следует наше утверждение. Если р: А .  — гомоморфизм колец, то представление (13) модуля Е дает представление модуля Еев) '= Воя Е: (14) Ввя Ь! -ьВвл Ьо >Ввь Е-ьО, ввиду П, р. 58, ргор. 5 и того факта, что В вя Ь вЂ” свободный В-модуль, когда 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
