Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Нютелнм группу 1= /с[Х,,..., Х„] структурой В-модуля, положив Т( Р = зР/ЭХ( лля всякого Рп й1Х,,..., Х„[. Показать, что! — нньектнвная оболочка В модуля й. ! 2. КОМПЛЕКСЫ А-МОДУЛЕА В этом параграфе через А обозначается кольцо. Когда мы будем говорить об А-модулях без уточнений, это всегда будет относиться к левым А-модулялс Мы будем называть градуированными модулями градуированные модули типа Е (П, р. 164). Если М вЂ” градуированный А модуль с градуировкой (Мл)лы 2, го налагаем М" = М „и говорим, чго М„(сответственно М") — однородная компонента нижней степени и (соответствснно верхней степени л) модуля М. Если и: М ч[э — градуированный гомоморфизм степени р градуированных А-модулей (П, р. 166), то обозначаем через и„: М„-+ М„,р (соответственно и": М" - М" ") гомоморфиэм, получаемый иэ и; ои называется однородной компонелюй нижней (соответственно верхней) сгеяеии и гомоморфизма и; говорят также, что и — гомоморфиэм нижней степени р или верхиеи степени — р, 1.
Комплексы А-модулей 0 п р с д е л е н н е 1. Диффереициааьный комплекс А-модуяей — это пара (С, е[), образованная градуированным А-модулсм С и градуированным эндоморфизмом е[: С С нижней степени — 1, для которого с[ е 4( = О. Говорят также короче: комплекс А-модулей, или А-комплекс, или комплекс. Часто пишус С вместо (С, с[); зндоморфизм д называют дифференциалом комплекса (С, а() или, злоупотребляя языком, комплекса С. Если С„(соответственно С") — однородная компонента нижней (соответствснно верхней) степени и градуированного А-модуля С, то задание с[ эквивалентно заданию последовательности гомомо рфиэмов оп+! ая С„+, С„- С„, соответственно ал-!» С" ' — + С" -+ С"+' ч.
дпя которой с[я е а(л+! = О при всяком и ю У (соответственно с[" е Й" ' = О при всяком п ю с) . Злоупотребляя языком, будем также называть комплексом задание такой последовательности А-модулей и гомоморфизмов. Отметим мнемоническое правило, согласно которому, если в пнаграммах (!) н (1') двигаться в напрзвленнн стрелок, нижняя степень уменьшается, а верхняя степень увеличивается. Всякий градуированный А-модуль будет молчаливо рассматриватьсл как комплекс, нацеленный нулевым дифференпналом; получаемые таким образом комплексы будут называться комплексами с нулевым дифференциалом. В частности, всякий А-модуль М будет считаться наделенным единственной структурой А-комплекса, 'при которой Ме = М = М.
Комплекс (С, д) называется нулевым, если С вЂ” нулевой модуль. В последующем через О обозначается нулевой комплекс, выбранный раз навсегда. Присоединим к упорядоченному множеству с два элемента, обозначаемые через — и +; полученное множество обозначим через с и наделим его отношением порядка, продолжающим порядок на Е и таким, что — < л (+' для всякого л ш Е; всякое подмножество в Й обладает нижней и верхней гранями. 5 2 Комнлексм А-модулей Пусть С вЂ” комплекс; правой и левой') границами С называются элементы Ьл(С) и Ьа (С) из Е определяемые следующими условиями: Ьа (С)=1п( (нЕЕ, Сн ФО), Ьг(С)=зпр (нЕЕ, Сн ФО) . Говорят, что комплекс С нулевой справа, если Ьа(С) лъ О, ограниченный справа, если Ьа(С) чь —, нулеаой слева, если Ьг (С) ~О ограниченный слева, если Ьг (С) Ф+ говорят, что С ограниченный, если Ь, (С) ~ —, Ь, (С) ~+-.
Длиной' ) комплекса С называют элемент /(С) из Й, определяемый следующим образом: если С нулевой, то У(С) = —; если С ограниченный и ненулевой, то /(С) = = Ь, (С) — Ьа(С); если С неограниченным, то /(С) =+ . ' При соглашениях изТС, 1Ч, р. 13-17, всегда /(С) =Ьг (С) — Ьа(С) .. Например, если й последовательных компонент комплекса С отличны от нуля, в все другие нулевые, то ((С) =й — 1, если й > О, !(С) = —, если й = О. Говорят, что комплекс (С, д) саободный, нроекгивный, плоский, инаекгнаный, если каждый из модулей С„обладает соответствующим свойством, Отметим, что комплекс (С, д) проективный или плоский, если н только если модуль С обладает этим свойст.
вом (П, р. 39, ргор. 3, а также предложение 4, с. 12), но что модуль С может быть свободным, хотя комплекс (С, г/) таковым не является (так как прямой множитель свободного модуля не всегда свободен), а также что комплекс (С, г/) может быть л инъсктивным, хотя модуль С не инъективен (с. 27, упражнение 21) . Пусть (С,с() — комплекс. Положим У,(С, с() = Кег(с(), В(С, с() = 1т(д); это градуированные подмодули в С, называемые соответственно модулем циклов и модулем границ комплекса (С,с/); однородные компоненты модулей г.(С, с() и В(С, с() обозначаются через гн(С, д) = г, "(С, е/), Вн(С,а) = В н(С,е/); имеем: Ун(С,с() = Кег (дя), В„(С, д) = [ш (а(„+,), Ен (С, е/) = Кег (дн), В" (С, с/) = 1ш (с(н ') .
Так как с(с с( =О, то В(С) С Е(С); два цикла называютсягомологичнымн, если их разность — граница; градуированный фактормодуль Н(С, д) = У(С, Ы) /В(С,с() называется модулем гомологин комплекса (С, Ы); его элементами служат классы гомологии; его однородные компоненты обозначаются через Н„(С, д) =, Н "(С, д) П р и м е р. Если С вЂ” комплекс с нулевым дифференциалом, то г. (С) = С, В(С) = О и Н(С) канонически отождествляется с С. Имеют место точные носледоаагельносги, называемые каноническими: ал (1„) О .
Ен (С) -+ С„-+ В„! (С) - О, (П„) О - В„(С) Ен Нл (С) -+ О, (Ш„) О- В„(С)- С„- С„/В„(С)- О, ал (1Ч„) О. Н„ (С) С„/В„ (С) -+ В„ ! (С)-+ О, где б„и б„получены из с(н. Цутем комбинации ((Чн) и (П„,) получаем точную последовательность (Ч„) О -+ Н„ (С)-+ С„/В„ (С)-+ 2н , (С)-+ Н„ , (С)-+ О, которая записывается также, с заменой л на — л, в виде: (Ч") Π— Н" (С) — С" /В" (С) — Ен+' (С) - Н"+' (С) - О. О и р е д е л е н и е 2. Пусть (С, с() и (С', с(') — два комплекса.
Морйтияыом ) комплекса (С, с/) в (С', с/') называется градуированный А-гомоморфизм степени О граду- ') Слова нраемй н левый употребляются отпосятепьпо оппсепня комплекса С с помощью ляегремм (1) н (!'). ') Не следует смешивать понятие длины комплекса (С, д) с понятием длины модуля С О1, р. 2! ! Алгебра, 1, с.
!10). ) Илп морфитмом степени О (ср. с. Оа) . Е 2. Комнеекеы А-модулей ированного модуля С в С, для которого д'оиыиой, Пля всякого н имеем, следовательно; с(„о и„= ив т д„и д "о и" =и" ' о а'" Имеем: и (У (С)) С У (С') „и (В (С)) С В (С'), и через У(и): Е(С) ~ У(С ), В(и): В(С) о В(С ), Н(и): Н(С> ~ Н(С ) обозначаются гомоморфиэмы, получаемые иэ этих включений; однородные компоненты этих мор- фнзмов обозначаются через Ен (и), Е" (и),... Если о — другой мооФиэм комплекса (С, Ы) в (С', Ы'), то и + о — морфиэм (С,д) в (С',д') и У(и+в)вУ(и)+У(в), В(и+в)=В(и)+В(в), Н (и + в) = Н (и) + Н (в) .
Кроме того, если А — алгебра над коммутативным кольцом й и если Л Е й, то Ли — мор- фнзм (С,д) в (С',д) и У, (Ли) = ЛУ (и), В (Ли) = ЛВ (и), Н (Ли) = ЛН (и) . Если и': (С,4 ) ~ (С, Ы ) — другой морфиэм комплексов, то и' о и — морфизм (С,с() в (С",с(е) н У, (и' о и) = У (и') о У (и), В (и' о и) = В (и') о В (и), Н (и' о и) = Н (и') о Н (и) . Ясно, что бнективный морфизм комплексов является иэоморфнзмом. О п р е деление 3.
Пусть (С,а) н (С,с( ) — два комплекса.Гомологиэмом (или квазииэоморфизмом) комплекса (С, с() в (С', Ы ) называется морфнэм и: (С, а) -' -о (С, Ы'), для которого гомоморфизм Н(и) биективен. Всякий изоморфизм является гомологизмом, всякан композиция гомологизмов— гомологизм. Говорят, что (С, и) — комплекс с нулевой гомологигй, если Н(С) = О, т.е. если од- нозначно определенный морфнзм комплексов 0 ~ С (соответственно С о 0) является гомологизмом. Говорят, что комплекс (С, а) аникличен в нижней степени л (соответст- венно в верхней степени л), если Н„(С) = О (соответственно Н" (С) = 0).
Пусть (С, д) — комплексир Е Е; р.м сдвигом комплекса (С,д) называется комп- лекс (С(р), с~(р)), получаемый следующим образом; С(р). — А-модуль, получаемый сдвигом на р номеров градуировки С (П, р. 163, ехегор1е 3), так что С(р)„=С„, С(р)" =С" в частности, С(р)е = С;. следует отметить также, что С' представлнет собой прямую р сумму своих градуированных подмодулей Ср( — р), р Е У (соответственно С (р), р Е Х) . Положим д(р) = ( — 1) Рд. Имеем: У(С(р) ) = У (С) (р), В(С (р) ) = В (С) (р) н и Н(С(р)) = Н(С) (р).
Например, д представляет собой морфиэм комплексов С в С( — 1) и гомоморфизм Н(Ы): Н(С)-оН(С)(-1) нулевой. Для всякого морфизма комплексов и: (С, д) - (С',е(') и всякого р Е Х и являет- ся также морфизмом (С(Р), д(р)) в (С' (р), д (р)); его обозначают иногда через и(р), причем и (р)н = ин+р, и (р)" ы и" ".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
