Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 14
Текст из файла (страница 14)
в) Морфиэмы а: С- Су1(и) и !3; Су!(и)-+С представляют собой юмотолизмы, вюимно обратные с точностью до гомотопии. Утверждение а) эквивалентно формулам: иас! л0»й, оас!л0ап, 33»0=г3»!3, пас!=0»л, й»0=0»й, б»0= — г3'аб, и=бай, и=лап, бао=1с, которые проверцютсц непосредственными вьвысленицми. Утверждение б) тривиально. ДОКажЕМ В); ИМЕЕМ, С ОдНОй СтсрОНЫ, б а О = 1С, С друГОй СТОРОНЫ, ЕСЛИ О: Су!(и)— Су!(и) — градуированное степени 1 А-линейное отображение, при котором о(х, у, х) = (О, х, 0), то немедленно проверпетсп, что 0 а о + о а 0 + о а !3 = ! С у!! 1, откуда следует в) . Предложение 7 можно резюмировать посредством следуюгцей коммутативной диаграммы, в которой строки точные, а вертикальные стрелки — гомотопизмы: 0 — л С вЂ” а Соп (и) — С'( — !) — 0 1» 11 0 — С' — Су! (и) — Соп (и) — 0 ~в С' -'-' С Сл е д от в и е.
Яля всякого морфизма комплексов и: С »С существуют иньекективный морфиэм комплексов й: С вЂ” Сг и гомотопизм б: Сг . С, для которых и=ба й. Л е м м а 3. а) Связывающий юмоморфизм: де + з (и, б): Нл (С ) + Нл (С) относительно точной последовательности (7) равен — Нл(и). б) Связывающий гомоморфизм дл(й, л): Нл(Соп(и))- Нл г(С') относительно точной последовательности (6) равен Н„(б). $2. Комнлекеи А-модулеа 42 Пусть х ЕУ.„(С ); так как х =Ь(х,О) и — 0(х, 0) = (с( х; и(х )) = (О, и(х )) = я(и(х )), то, по определениюгд(з, Ь) отображает класс х' в Н„(С') на класс — и(х') в Н„(С, откуда следует а) . Пусть элемент (у', х) Е Соп„(и) таков, что Р(у', х) 0; тогда ( — д'у', с(х — и(у')) = О. Так кюс (у', х) = з(0, у', х) и 1)(0, у', х) = (у', — д у', с(х — и(у')) = (у', О, 0) = й(Ь (у', х) ), то, по определению, д(й, й) отображает 'класс (у', х) в Н„(Соп(и) ) на класс Ь(у', х) в Н„, (С ), откуда следует б) .
П р е д л о ж е н и е 8. Имеет место неограниченнаа точная последовательность Н,(ч) Нч (е) Но (6) ... -~ Н„(С ') — -~ Н„(С) — Н„(Соп(и)) — -+ Н „с (С ) - ... (8) Действительно, если принять во внимание лемму 3, а), то зто следует из теоремы 1 (с.
35), примененной к точной последовательности (7) . Следствие. Для того чюбьс морфизм и был гомологизмом, необходимо и достаточно, чтобы комплекс Соп(и) имел нулевую гомологию. Замечание. Рассмотримдиаграмму ... — с Н„(С') — "-" Н„(Су! (и)) — с(П Н„(Соп (и)) -" —:ю Н„,(С') — ~ ... — Н„(С') — "(-) Н„(С) — "-' Н„(Соп (и)) — "— Н„,(С')— в которой первая (соответственно вторая) строка представляет собой гомологическую точную последовательность, ассоциированную с точной последовательностью (6) (со- ответственно (7) ) .
Отображения Н„(!)) биективны (предположение 7, в) ), и диаграмма коммутативна, так как: а) и = Ь е й (предложение 7, а) ), следовательно, Н„(и) Н„(б) е Н„(й), б) Н(сд)а Н„(а) ' 'и я=дев (предложение 7, а) н в)), следовательно, Н„(й) = = Н„(а) е Н„(Ь), в) Н„(Ь) = д„(й, й) (лемма 3, б) ) . 7.
Конус инъек)нвного морфизма; новое определение связываюпюго гомоморфизма Рассмотрим теперь точную последовательность комплексов 0-'С'- С- С"- О. (9) Определим градуированное А-линейное отображение степени 0 ек Соп(и)-+С, полагая р(у', х) = о(х). Имеем тогда коммутативиую диаграмму А-модулей с точными ставками 0 — С' -~ Су! (и) -"- Сап(и) — 0 6~ (10) 0 — С' — "ч С ' С" — 0. П р е дл о ж си и е 9. Отображения Ь и(е — гомологизмы комплексов. Для Ь зто следует из предложения 7, в) .
Имеем: ~р о 1)(у', х) = (е(-с('у', с(х — и(у')) = о(дх — и(у')) = в(с(х) = с("с(х) = с(е(се(у', х), следовательно, р — морфизм комплексов. С другой стороны, отображение р сюръек- тивно и его ядро отождествляется с комплексом (К, дк), где К = С ( — 1) в С', с)к(у', х') = ( — ду, с1'х' — у'); 5 2, Камал«к«о» А-модул«а.
если д, (у',х')=О,то у'=дх', следовательно. (у',х')=дк(-х',О); отсюда следует, что Н(К) = 0 и ч« — гомологизм согласно следствию 1 на с. 36. Э а м е ч а н и е. Гомологизм 8 представляет собой гомотопизм, но р, вообще говоря, не является гомотопнзмом (см. с. 48, упражнение 8) . С л е д с т в и е. 2Гиаграмма градуированных А-модулей н<»1,а ( о" (" ) н<«1 Н(С) ню)1 Н(С ') ( — 1) нй~ 'ч, »»'«(», и Н(С») коммугагивна, и отображение Н(у) биекгивно. В коммутатнвной диаграмме (10) имеем: Н(1с ) о Э(й, х) = Э(и, о) о Н(р) (с.
36, предложение 2) и Э(й, 7т) = Н(Ь) (с. 41, лемма 3, б) ), следовательно, Э(и, о) о Н(р) = Н(6); с другой стороны, Н(и) Н(6) = НОр) Н(з) = Н(р) Н(л) Н9), согласно замеча- ннюнас. 42.Гаккаи Н(Р) биективно,то это дает,что Н(о) =Н(р) о Н(н). Имеем, следовательно, что Э(и, о) = Н(Ь) о Н(о«) ', и это дает новое определение связывающего гомоморфизма Э(и, и) .
Отметим, с другой стороны, что если отождест- вить Н(Соп (и) ) с Н(С") посредством Н( р), то дредылущее следствие означает, что точ- ная последовательность (8) огождествллегса с гомслогической ючной последователь- ностью относительно (9) . 8. Характеристики Эйлера-Пуанкаре В этом пункте мы рассматриваем множество гг классов А-модулей, которое аддигивно и точное слева, т.е. удовлетворяет следующим двум условиям: (А) Если М и Х вЂ” два модуля типа (ь, го М е 1»1 — модуль типа Ы. (С) Если 0 — М' - М - М о - 0 — точная последовательность А модулей и если М и М" типа 'Е,го М'типа Ж. Говорят, по множество й устойчивое, если оно удовлетворяет следующим условиям, которые влекут за собой (А) и (О): (Е) (" 3 устойчиво относительно расширений".) Если 0- М' -+М -»М" -+ 0 точная последовательность А-модулей и если М' и М" типа оЕ, то М типа (ь . (8) (о «Е устойчиво относительно ядер и коядер".) Для всякого гомоморфизма /' А-модулей типа «Е А-модулн Кег«и Со1сег~ имеют тил В.
Обозначим через К(Ж) группу Гротенднка множества Ж н через [М[~ или [М] элемент в К( «Е), определяемый А-модулем М (У1П, 3 6, и'2) . Пусть Π— коммутативная группа н у — гомоморфизмК( й') в С. П р и м е р ы. 1. Если А — поле, то можно взять в качестве Ж множество классов векторных пространств конечной размерности и в качестве р — изоморфизм К( Ж) на Х, при котором ~р([М[) = йщ(М). 2. Можно взять в качестве 1э' множество классов модулей конечной длины н в качестве ~р: К( ««) -+ 2 — гомоморфизм, при котором ~р([М1) = 1опйо М.
Говорят, что градуированный А-модуль М имеет тнп [«, если ̄— модуль типа 6 для всякого и (для этого необходимо, если М ограниченный, и достаточно, если оЕ устойчиво, чтобы модуль М был типа Ж ) . О п р е д е л е н и е 8. Пусть М вЂ” ограниченный гралунрованный А-молуль тина гр и (М„) — его градунровка Элемент Е ( — 1) "р ( [М„[) группы О называется р характе.
рисгикой модуля М н обозначается через х„(М) нлн просто х(М) . Это определение применяется, в частности, когда М вЂ” градуированный модуль, на котором определен некоторый комплекс А-модулей. П р и м е р ы. 3. Если М ограниченный типа Ы, то тем же свойством обладает М(р) длявсякого р Е2 и х(М(Р)) =( — 1) Х(М). 4. Пусть 0 -+ М' -» М -+ М" -+ Π— точная последовательность градуированных А-модулей и градуированных гомоморфнзмов степени О.
Если М, М и М ' ограниченные 1 2. Комилексы А-модулей типа а', то Х(М) ='Х(М') +Х(М"). Если М и М" — ограниченные типа Ж, то таков же М'; если Ж устойчиво и если два нз трех модулей ограниченные типа аг, то тем же свойством обладает и третий модуль. 5. Пусть и: С' -' С вЂ” морфизм ограниченных комплексов типа '8, Тогда Соп(л)— ограниченный комплекс типа Ж и Х(Соп(и)) = Х(С) — Х(С ). б. Можно взять в качестве С саму группу К(Ж) и в качестве р — тождественное отображение; отметим, что в этом случае элемент Ха(М) = Е ( — 1)" 1М»»1 из К( Е») обозначается через Х® (М) .
3 а м е ч а й и е. Многочленом Пуанкаре ограниченного градуированного модуля М типа Ж относительно д называетса элемент Ры(г) = В чг( [Мк ! ) г" е С и с (г, г '1. Имеем: Рм(1)= Р(М) л Рм( — 1)=Х(М) Л е м м а 4. Пусть С вЂ” ограниченный комплекс гила Е. Если Н(С) =О, тоХ(С) =О.
Это следует из ЧП1, й 6, и' 1, сот. де! а ргор. 1. П р е д л о же н и е 10. Пусть С и С' — дваограниченных комллекса типаЮ. Если сугиествуеггомологизм и: С'- С, то Х(С)=Х(С'). Действительно, Соп(и) — ограниченный комплекс типа Ж и Х(Соп(и)) = Х(С) — Х(С ); с другой стороны, Н(Сон(и)) = О согласно следствию на с. 42, следовательно, Х(Сон (и)) = О (лемма 4) . Предло жение 11. Пусть С вЂ” ограниченный комплекс типа !л. а) Если Ф устойчиво, то Н(С) — модуль типа Ж.
б) Если Н(С) типа Ж, то тем же свойством обладают В(С) и Х(с) и Х(Н(С)) = Х(С). а) Если о устойчиво, то для всякого л модуль 2к(с) имеет тип У как ядро гомоморфизма д„: Ск-~ск г и Н„(С) типа Е как коядро гомоморфизмаС„ьг-'Х„. С другой стороны, Н„(С) = О, когда С„= О. б) Предположим, что Н(С) типа Ж. Канонические точные последовательности о к„(с) с„ в„ ,(с) о, о в„(с) к„(с) н„(с) о показывают инцукцией по л, начиная с правой гранины С, что с„(с) и В„(С) имеют тип '~» для всякого л.
Имеем тогда: Х(С) = Х(с(С)) + Х(В(С) ( — 1)) = Х(г(С)) — Х(В(С)) = Х(н(С)). С л е д с т в и е. Если Ж устойчиво и С вЂ” ограниченный комплеггс гила»в', то градуированный модуль Н(С) ограниченный, имеет тил Ж и Х(Н(С)) = Х(С) . П р е дл о же ни е 12. Пусть О ->С вЂ” С- С"- Π— точная последовательность гсомлаексов. а) Если Н(С), Н(С') и Н(С") ограниченные типа Е, то Х(Н(С)) = Х(Н(С')) + Х(Н(С")). б) Если Ы' устойчиво и если два иэ трех градуированных модулей Н(С), Н(С') и Н(С ) ограниченные типы го, то тем же свойством обладает и третий. Часть а) следует из леммы 4, примененной к комплексу с нулевой гомологией, определяемому гомологической точной последовательностью, соответствующей данной точной последовательности.