Главная » Просмотр файлов » Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра

Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 14

Файл №947363 Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (Бурбаки Н. - Начала математики) 14 страницаБурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363) страница 142013-09-15СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

в) Морфиэмы а: С- Су1(и) и !3; Су!(и)-+С представляют собой юмотолизмы, вюимно обратные с точностью до гомотопии. Утверждение а) эквивалентно формулам: иас! л0»й, оас!л0ап, 33»0=г3»!3, пас!=0»л, й»0=0»й, б»0= — г3'аб, и=бай, и=лап, бао=1с, которые проверцютсц непосредственными вьвысленицми. Утверждение б) тривиально. ДОКажЕМ В); ИМЕЕМ, С ОдНОй СтсрОНЫ, б а О = 1С, С друГОй СТОРОНЫ, ЕСЛИ О: Су!(и)— Су!(и) — градуированное степени 1 А-линейное отображение, при котором о(х, у, х) = (О, х, 0), то немедленно проверпетсп, что 0 а о + о а 0 + о а !3 = ! С у!! 1, откуда следует в) . Предложение 7 можно резюмировать посредством следуюгцей коммутативной диаграммы, в которой строки точные, а вертикальные стрелки — гомотопизмы: 0 — л С вЂ” а Соп (и) — С'( — !) — 0 1» 11 0 — С' — Су! (и) — Соп (и) — 0 ~в С' -'-' С Сл е д от в и е.

Яля всякого морфизма комплексов и: С »С существуют иньекективный морфиэм комплексов й: С вЂ” Сг и гомотопизм б: Сг . С, для которых и=ба й. Л е м м а 3. а) Связывающий юмоморфизм: де + з (и, б): Нл (С ) + Нл (С) относительно точной последовательности (7) равен — Нл(и). б) Связывающий гомоморфизм дл(й, л): Нл(Соп(и))- Нл г(С') относительно точной последовательности (6) равен Н„(б). $2. Комнлекеи А-модулеа 42 Пусть х ЕУ.„(С ); так как х =Ь(х,О) и — 0(х, 0) = (с( х; и(х )) = (О, и(х )) = я(и(х )), то, по определениюгд(з, Ь) отображает класс х' в Н„(С') на класс — и(х') в Н„(С, откуда следует а) . Пусть элемент (у', х) Е Соп„(и) таков, что Р(у', х) 0; тогда ( — д'у', с(х — и(у')) = О. Так кюс (у', х) = з(0, у', х) и 1)(0, у', х) = (у', — д у', с(х — и(у')) = (у', О, 0) = й(Ь (у', х) ), то, по определению, д(й, й) отображает 'класс (у', х) в Н„(Соп(и) ) на класс Ь(у', х) в Н„, (С ), откуда следует б) .

П р е д л о ж е н и е 8. Имеет место неограниченнаа точная последовательность Н,(ч) Нч (е) Но (6) ... -~ Н„(С ') — -~ Н„(С) — Н„(Соп(и)) — -+ Н „с (С ) - ... (8) Действительно, если принять во внимание лемму 3, а), то зто следует из теоремы 1 (с.

35), примененной к точной последовательности (7) . Следствие. Для того чюбьс морфизм и был гомологизмом, необходимо и достаточно, чтобы комплекс Соп(и) имел нулевую гомологию. Замечание. Рассмотримдиаграмму ... — с Н„(С') — "-" Н„(Су! (и)) — с(П Н„(Соп (и)) -" —:ю Н„,(С') — ~ ... — Н„(С') — "(-) Н„(С) — "-' Н„(Соп (и)) — "— Н„,(С')— в которой первая (соответственно вторая) строка представляет собой гомологическую точную последовательность, ассоциированную с точной последовательностью (6) (со- ответственно (7) ) .

Отображения Н„(!)) биективны (предположение 7, в) ), и диаграмма коммутативна, так как: а) и = Ь е й (предложение 7, а) ), следовательно, Н„(и) Н„(б) е Н„(й), б) Н(сд)а Н„(а) ' 'и я=дев (предложение 7, а) н в)), следовательно, Н„(й) = = Н„(а) е Н„(Ь), в) Н„(Ь) = д„(й, й) (лемма 3, б) ) . 7.

Конус инъек)нвного морфизма; новое определение связываюпюго гомоморфизма Рассмотрим теперь точную последовательность комплексов 0-'С'- С- С"- О. (9) Определим градуированное А-линейное отображение степени 0 ек Соп(и)-+С, полагая р(у', х) = о(х). Имеем тогда коммутативиую диаграмму А-модулей с точными ставками 0 — С' -~ Су! (и) -"- Сап(и) — 0 6~ (10) 0 — С' — "ч С ' С" — 0. П р е дл о ж си и е 9. Отображения Ь и(е — гомологизмы комплексов. Для Ь зто следует из предложения 7, в) .

Имеем: ~р о 1)(у', х) = (е(-с('у', с(х — и(у')) = о(дх — и(у')) = в(с(х) = с("с(х) = с(е(се(у', х), следовательно, р — морфизм комплексов. С другой стороны, отображение р сюръек- тивно и его ядро отождествляется с комплексом (К, дк), где К = С ( — 1) в С', с)к(у', х') = ( — ду, с1'х' — у'); 5 2, Камал«к«о» А-модул«а.

если д, (у',х')=О,то у'=дх', следовательно. (у',х')=дк(-х',О); отсюда следует, что Н(К) = 0 и ч« — гомологизм согласно следствию 1 на с. 36. Э а м е ч а н и е. Гомологизм 8 представляет собой гомотопизм, но р, вообще говоря, не является гомотопнзмом (см. с. 48, упражнение 8) . С л е д с т в и е. 2Гиаграмма градуированных А-модулей н<»1,а ( о" (" ) н<«1 Н(С) ню)1 Н(С ') ( — 1) нй~ 'ч, »»'«(», и Н(С») коммугагивна, и отображение Н(у) биекгивно. В коммутатнвной диаграмме (10) имеем: Н(1с ) о Э(й, х) = Э(и, о) о Н(р) (с.

36, предложение 2) и Э(й, 7т) = Н(Ь) (с. 41, лемма 3, б) ), следовательно, Э(и, о) о Н(р) = Н(6); с другой стороны, Н(и) Н(6) = НОр) Н(з) = Н(р) Н(л) Н9), согласно замеча- ннюнас. 42.Гаккаи Н(Р) биективно,то это дает,что Н(о) =Н(р) о Н(н). Имеем, следовательно, что Э(и, о) = Н(Ь) о Н(о«) ', и это дает новое определение связывающего гомоморфизма Э(и, и) .

Отметим, с другой стороны, что если отождест- вить Н(Соп (и) ) с Н(С") посредством Н( р), то дредылущее следствие означает, что точ- ная последовательность (8) огождествллегса с гомслогической ючной последователь- ностью относительно (9) . 8. Характеристики Эйлера-Пуанкаре В этом пункте мы рассматриваем множество гг классов А-модулей, которое аддигивно и точное слева, т.е. удовлетворяет следующим двум условиям: (А) Если М и Х вЂ” два модуля типа (ь, го М е 1»1 — модуль типа Ы. (С) Если 0 — М' - М - М о - 0 — точная последовательность А модулей и если М и М" типа 'Е,го М'типа Ж. Говорят, по множество й устойчивое, если оно удовлетворяет следующим условиям, которые влекут за собой (А) и (О): (Е) (" 3 устойчиво относительно расширений".) Если 0- М' -+М -»М" -+ 0 точная последовательность А-модулей и если М' и М" типа оЕ, то М типа (ь . (8) (о «Е устойчиво относительно ядер и коядер".) Для всякого гомоморфизма /' А-модулей типа «Е А-модулн Кег«и Со1сег~ имеют тил В.

Обозначим через К(Ж) группу Гротенднка множества Ж н через [М[~ или [М] элемент в К( «Е), определяемый А-модулем М (У1П, 3 6, и'2) . Пусть Π— коммутативная группа н у — гомоморфизмК( й') в С. П р и м е р ы. 1. Если А — поле, то можно взять в качестве Ж множество классов векторных пространств конечной размерности и в качестве р — изоморфизм К( Ж) на Х, при котором ~р([М[) = йщ(М). 2. Можно взять в качестве 1э' множество классов модулей конечной длины н в качестве ~р: К( ««) -+ 2 — гомоморфизм, при котором ~р([М1) = 1опйо М.

Говорят, что градуированный А-модуль М имеет тнп [«, если ̄— модуль типа 6 для всякого и (для этого необходимо, если М ограниченный, и достаточно, если оЕ устойчиво, чтобы модуль М был типа Ж ) . О п р е д е л е н и е 8. Пусть М вЂ” ограниченный гралунрованный А-молуль тина гр и (М„) — его градунровка Элемент Е ( — 1) "р ( [М„[) группы О называется р характе.

рисгикой модуля М н обозначается через х„(М) нлн просто х(М) . Это определение применяется, в частности, когда М вЂ” градуированный модуль, на котором определен некоторый комплекс А-модулей. П р и м е р ы. 3. Если М ограниченный типа Ы, то тем же свойством обладает М(р) длявсякого р Е2 и х(М(Р)) =( — 1) Х(М). 4. Пусть 0 -+ М' -» М -+ М" -+ Π— точная последовательность градуированных А-модулей и градуированных гомоморфнзмов степени О.

Если М, М и М ' ограниченные 1 2. Комилексы А-модулей типа а', то Х(М) ='Х(М') +Х(М"). Если М и М" — ограниченные типа Ж, то таков же М'; если Ж устойчиво и если два нз трех модулей ограниченные типа аг, то тем же свойством обладает и третий модуль. 5. Пусть и: С' -' С вЂ” морфизм ограниченных комплексов типа '8, Тогда Соп(л)— ограниченный комплекс типа Ж и Х(Соп(и)) = Х(С) — Х(С ). б. Можно взять в качестве С саму группу К(Ж) и в качестве р — тождественное отображение; отметим, что в этом случае элемент Ха(М) = Е ( — 1)" 1М»»1 из К( Е») обозначается через Х® (М) .

3 а м е ч а й и е. Многочленом Пуанкаре ограниченного градуированного модуля М типа Ж относительно д называетса элемент Ры(г) = В чг( [Мк ! ) г" е С и с (г, г '1. Имеем: Рм(1)= Р(М) л Рм( — 1)=Х(М) Л е м м а 4. Пусть С вЂ” ограниченный комплекс гила Е. Если Н(С) =О, тоХ(С) =О.

Это следует из ЧП1, й 6, и' 1, сот. де! а ргор. 1. П р е д л о же н и е 10. Пусть С и С' — дваограниченных комллекса типаЮ. Если сугиествуеггомологизм и: С'- С, то Х(С)=Х(С'). Действительно, Соп(и) — ограниченный комплекс типа Ж и Х(Соп(и)) = Х(С) — Х(С ); с другой стороны, Н(Сон(и)) = О согласно следствию на с. 42, следовательно, Х(Сон (и)) = О (лемма 4) . Предло жение 11. Пусть С вЂ” ограниченный комплекс типа !л. а) Если Ф устойчиво, то Н(С) — модуль типа Ж.

б) Если Н(С) типа Ж, то тем же свойством обладают В(С) и Х(с) и Х(Н(С)) = Х(С). а) Если о устойчиво, то для всякого л модуль 2к(с) имеет тип У как ядро гомоморфизма д„: Ск-~ск г и Н„(С) типа Е как коядро гомоморфизмаС„ьг-'Х„. С другой стороны, Н„(С) = О, когда С„= О. б) Предположим, что Н(С) типа Ж. Канонические точные последовательности о к„(с) с„ в„ ,(с) о, о в„(с) к„(с) н„(с) о показывают инцукцией по л, начиная с правой гранины С, что с„(с) и В„(С) имеют тип '~» для всякого л.

Имеем тогда: Х(С) = Х(с(С)) + Х(В(С) ( — 1)) = Х(г(С)) — Х(В(С)) = Х(н(С)). С л е д с т в и е. Если Ж устойчиво и С вЂ” ограниченный комплеггс гила»в', то градуированный модуль Н(С) ограниченный, имеет тил Ж и Х(Н(С)) = Х(С) . П р е дл о же ни е 12. Пусть О ->С вЂ” С- С"- Π— точная последовательность гсомлаексов. а) Если Н(С), Н(С') и Н(С") ограниченные типа Е, то Х(Н(С)) = Х(Н(С')) + Х(Н(С")). б) Если Ы' устойчиво и если два иэ трех градуированных модулей Н(С), Н(С') и Н(С ) ограниченные типы го, то тем же свойством обладает и третий. Часть а) следует из леммы 4, примененной к комплексу с нулевой гомологией, определяемому гомологической точной последовательностью, соответствующей данной точной последовательности.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
3,59 Mb
Тип материала
Предмет
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Бурбаки Н
Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6559
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее