Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Показать, что рял ехр(х) Е х /г! юа сходится для х ц Вг и опредещмт изоморфюм ащцппеной группы В" на группу К ' (г ) . б) Прещюложпм, что х — конечное поле из д элементов. Пусть л — целое число > 1, ин — под- гРУппа элементов х из Д ', дла катоРых х" - "1. Показать, что гРУппы ип и Д '/(К') "конечны Я что Сагб Я'/Д'" )/Сыб (ие) = 11 "("). (Пусть Ж вЂ” множество классов конечных 2 модулей, ек К (Я) П' — гомоморфизм, при кото- ром а((О]) Сегб(О) длв О е9, (г) (г) (г) (г) ° С вЂ” комплекс Ймадулей, в котором Ср 0 прирчг О, 1,С, =С, = Не(г),с/, (х) =х пля хц К*(г). Показать,что х(Н(С(» ) не зависит атг; затем использовать а).) ° 21.
Предположим, что кольцо А представляет собой коммутатнвную алгебру над некоторым коммутатнвным кольцом /г, А.модуль П1,(А) хдифферанцнроввний кольца А тогда отожлеств. ляется с модулем, солрюхенным А-модулю йл/Ю что опРеделЯет на й.г,р, структуру левого лл(йа(А)).модуля (ср.
П1, р. 1б5). Показать формулу: Р (Х л ЛХ ) 1 1 = Е (-1) Х1((Х л...лХ(л„.,лХр) 1 ьг)+ 1 О + Е (-1) ((Х1, Х/) Л Хг Л... Л Агг Л ., Л Х1 Л... Л Хр) 1 аг, О<1</<р 53 5 3. Резользеиты где Роа П~~ „, Хр,..., Хра П»(А) н знак над бУквой обозначает, чтоонадопжнабытьопУщена. (Свестн к случмо р = 1.) 22.
Сохраняются соглашения нз предыдущего упражнения; если М вЂ” А.модуль, тр — связность нампхо п»(А), то обозначим через ит /с-эндоморфнзм (1мох) в модуля м. а) Пусть М„М, — два А-модуля, наделенные связностлмн 'л, рты показать, что определяется связность на М, о М, (соответственно М, о,, М„соотвегственно Нощл(М„М,)), если положить: в (т, + т, ) = ' р (т, ) + ' р (т, ) ляя т, и м „, т, и м, (соответственно р )с (т, е т, ) = ' т' )с Ои, ) о От, +т, О 'РХ(тр) ЛЛЯ Ха 0»(А), т, а М,, т, а М„еаатаЕтСтВЕННО ИХ(и) о*ту ' и — и' 'СХ дла Ха П»(А), иа Нат,р,(М„М,)). б) Пусть М вЂ” А-модуль, тр: М М аА ПАр» — свазностьна М, Если Х, У и П»(А), то обозначим через К(Х, У) А эндоморфнзм модуля М, при котором К(Х, У) (рп) =( К(т), Х АУ > дая всякого та М.
Показать формулу; к(Х, у) =(три, еу 1 — зу(х,у) (нспользовать упражнения 21), в) Предположим, что А-модуль М лроективеи, так что гамоморфнзм крнввзвьр К отождествляется с некоторым элементом нз Епбл (М) оА ПА(». Если наделить Епал(М) свазвостью чг, определенной в а), то показать, что И ' К = О. й 3.
РЕЗОПЬВЕНТЫ Сохраняются соглашения из предыдущего параграфа. 1. Продолжение морфизмов комплексов Л е м м а 1, Рассмотрим диаграмму А-модулей и гомоморфизмов: М' -*. М -ир М" г~ ~» у~ Х' —, Х вЂ” о- Х", р е в которой то а и(Зов, ао а =О, Кег(3=1ш)3 и уия" о а+(3о )с и где модуль М проективен. Существует Агомоморфизм lс': М'. Х, д»)я которогоу' =й а'+(3' о й'. Действительна, положим я Р"' — йо а; имеем: (3 о в = )3 о з' — р о (с о а = 3 о а — (3 о й о а' и я о а о а' и О Эта влечет за собой, что 1ш(а) СКег (й) = 1гл(Ц' ) . Так как М' проективен, то сушест. вует, следовательно, и-гомоморфизм й: М ' » Х', длл которого (3' о й ' = т, откуда сле дует утверждение леммы.
Л е м м а 2. Если в коммутативной диаграмме А-модулсй и гомоморфизмов М' -"- М -' М" Х вЂ” о Х» Х выполняются соотношения а о а' = О, Кег()-' 1шй' и если модуль М' проскрипел, ю су- ществует А-гомоморфизм и': М ' -о Х', для которого (3' о и' = и о а'. Достаточно положить )с '- и", 7с ж — и, 3'= О, 3' = О и и ' = lс' в лемме 1. Л е м м а 1 Ь(з. Рассмотрим диаграмму А-модулей и гомоморфизмов М' — р М р М" Х'-; Х вЂ” Х", В' В в которой 3' ( а' ж )3 о 3", Кег а = 1ш а', (3 о (3 = О и 3' и Ф о а + (3' о й' и где модуль Х иньсктивсн.
Существует А-гомоморфизм lс": М" Х", для которого т";-/с' о а+ +(3 о к. Действительно, палолсимй жу — )3о к, имеем: а о а' иу'о а' — ()о (со а и()о 3 — ()о )со а =)3 о)3 о (с = О. Эта влечет за собой, что Кегт з 1гпа'--Кета. Так как Х" инъективен, то существует, 54 1 д Р»зольеенты следовательно (с. 19, замечание), А-гомоморфнзм й": М " -+ М", для которого я = й» и, откуда следует утверждение леммы, Л ем ма 2 Ыз. Если в коммутативной диаграмме А-модулей и гомоморфизмов М' — "ч М вЂ” »» М" Ы' -~- Ы -с 1«1", выполняются соотношения Кеги = 1ти', б б' = 0 и если модуль 1«1» иньективен, то су- ществует А-гомоморфизм и ": М" -+ Х", для которого и" » и = б» и.
Достаточно положить и' = )с', и = — к, т'= О, У' = 0 и й" = и" в лемме 1 Ыз. П р е д по ж ение 1. Пусть (Р,др) и (Е,дв) — двакомплексаА-модулей ит — це- лое число. а) Пусть (и|. Р| -»Ет)|к, — семейство гомоморфизмов, для которых дв ' и| = = и|, » с(р при | <т. Предположим, что модуль Р| проективен при |' >т и что Н«(Е) =0 при 1> т. Тогда семейство гомоморфизмов и| продолжается до морфизма комплек- сов из Р в Е; два таких продолжения гомотопны. б) Пусть (и~: Р' -+ Е~)| <„— семейство гомоморфизмов, для которых и~ » ««р = = с(и» и при | <т. Предположим, что модуль Е иньективен при1>т ичтоН (Р)=О при 1 > г, Тогда семейство гомоморфизмов и' продолжается до морфизма комплек- сов из Р в Е; два таких продолжения гомотопны.
Докажем а) . Существование продолжения с для семейства (и|)| <„ следует немед- ленно из леммы 2 ло индукции. Пусть и' — другое продолжение. Положимт' = с' — с и построим по и гомоморфизм й„: Р„-+ Е„+|, для которого тн = дв» кн+ кн, » ««р. При |' < т возьмем й| = О. Пусть и ~ т, и предположим, что отображения й| построены прн | ' д Рассмотрим диаграмму: Р„», .й«»- Р -ал» Р„ А„~ зь„г' 1А б Предположения леммы 1 в ней удовлетворяются; следовательно, существует А-гомо- морфизм йн» |,' Р„» | -+ Е„»|, для которого гн+, = дв» йн» | + йн» Ир, откуда получаем утверждение а) . Доказательство б) производится аналогично посредством лемм 1Ъ1а и 2Ъ|а, 2.
Резольвеиты В последующем мы всегда отождествяяем модуль с комплексом, для которого он служит компонентой степени нуль, а все другие компоненты которого равны нулю. 0 и р е д е л е н и е 1. Пусть М вЂ” А-модуль. Левой резольвентой для М называется пара (Р, р), где Р— комплекс, нулевой справа, и р: Р -+ М вЂ” гомологизм.
Правой резольвентой для М называется пара (е; Е), где Š— комплекс, нулевой слева, и е: М -+ Е— гомологизм. длинон резольвенты (Р, р) (соответственно (е, Е)) называется Лдниа комплекса Р (соответственно Е). Если (Р, р) и (Р', р') (соответственно (е, Е) и (е', Е')) — две левые (соответственно правые) резольвенты для М, то морфнзм комплексов У: Р -' Р, для которого р' » з' = р (соответственно я: Е -+ Е', для которого я» е = е'), называется морфнзмом резольвент. П р е дл о жение 2.
Пусть Р— комплекс, нулевой справа, ир: Р~М вЂ” морфизм. Юля того чтобы тора (Р, р) была левой реэольвентой для М, необходимо и достаточно, чтобы последовательность ар «|Р Р» ... -+ Рн — ~ Р„| -+... -+ Р| — + Рь-+ М -+ 0 (1) была точной Действительно, высказывание, что р: Р -+ М вЂ” гомологизм, означает, что Н| (Р) = 0 при |' )'0 и что ре индуцирует изоморфизм модуля Со1сег (др. .Р| -+ Ре) на М. 55 ! 3.
Резольеелтм Точно так же: П р е д л о ж е ние 2Ь)а. Пусть Š— комплекс, нулевой слева, е: МчŠ— морфизм. Яьч того чтобы пара (е, Е) была правой резольвенгой для М, необходимо и достаточно, чтобы последовательность ан ан О+М ~Ео +Е1 ~ +Ел +Ел+1 + (1 )) (з) была точной.
Злоупотребляя языком, часто говорят, что последовательность (1) (соответственно (! Ыа)) представляет собой левую (соответственно правую) резольвенту для М. О и р е д е л е н и е 2. Проекшвной (соответственно свободной, плоской) резольвентой А-модуля М называется такая левая резольвента (Р, р) для М, что комплекс Р проективный (соответственно свободный, плоский) (с. 31). Инаекгивной резальеенгой для М называется такая правая резольвента (е, Е) для М, что комплекс Е инъективный. П р н м е р ы.
1. Предположим, что А — кольцо главных идеалов; пусть М вЂ” А-модуль и (х))) и ) — некоторое порождающее семейство для М. Обозначим через Ьо свободный модуль АО), через (е))) и ~ — его канонический базис и определим р: Ьо -~М, положив р(е)) = хи Гомоморфизм р сюрмктивен и его ядро Ь, является свободным А.модулем согласно ЧП, ! 3, сот.
2 ап т)т. ! (Алгебра, ЧП, с. 43, теорема 1), следовательно, точная последовательность и О Ь Ьо М 0 представляет собой свободную резольвенту для М длины 1. Если ! конечно, то Ьо и Ь, имеют конечный тнп. 2. Предположим, что кольцо А коммутативно; пусть Š— А-модуль н и — некоторый эндоморфизм Е. Обозначим через Е„А)Х]-модуль, который получается, если Е наде- лить соответствующей структурой по правилу (р,х) р(и) для рЕА !Х! и хЕЕ.
Согласно П1, р. 106, имеет место точная последовательность: Ф Ф 0- А !Х] эя Е. А (Х1 эя Е - Е„- О, где р (р э х) = рх и Ф (р э х) = Хр э х — р э и (х) для р Е' А 1Х! и х Е Е. Зта точная последовательность представляет собой резольвенту длины 1 для модуля Ел, которая свободна (соответственно проективна, соответственно конечного типа ')), если Е— свободный А-модуль (соответственио проектнвный, соответственно конечного типа). 3. Если А — кольцо главных идеалов, то точная последовательность 0 ~ А ~ К ~ К/А -ч 0 представляет собой иньективную резольвенту длины 1 для А-модуля А, (с.21, пример 1). П р е д л о ж е н и е 3.
Пусть |: М' ч М вЂ” гомоморфизм А-модулей, р': Р' ~ М'— морфизм в М нулевого справа проекгивного комплекса Р и р: Р-+М вЂ” левая резольвенга для М. Суитестеуег, и иринам единственный с точностью до гомотопии, морфием комплексов)т: Р'-+Р,для которого р с )то)" с р', Рассмотрим комплекс Р, определяемый следующим образом: Рл = Рл при п чь — 1, Р, = М,б =с!р л при п ФО, — 1,с! лро,с( лО,икомплекср',определяемый У,л Уо ' Р,-1 аналогичным образом.
Применяя к комплексам Р и Р' предложение 1, а), с г = О, и) = 0 прн ! ( — 1 и и ) =), получим утверждение предложения 3. С л е до т в и е. Пусть (Р,р) и (Р', р') — двепроективныхрезольеенгы для М.Суп)есгвуег, и пришм единственный с точностью до гомогопии, гамогопизм а: Р' - Р, для которого р с а =р'. Действительно, существует морфизм а: Р -+ Р (соответственно б: Р - Р ), для которого р с а = р (соответственно р с )) = р). Так как р ч а ч )) = р (соответственно ' ) Говорит, что левая рсзольисита (р, р) имеет конечны» тип, если асс компоненты комплекса Р яиляютса моаулями конечного типа. — Примеч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
