Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 19
Текст из файла (страница 19)
лер. 56 1 3. Реоольвгнть 3. Каноническая свободная резольвента Для всякого А-модуля Ч обозначим через Ьо(М) свободный А-модуль А(м) с базисом М, (ем) и и — его канонический базис и рм. Ьо(М) ~М вЂ” гомоморфизм, при котором рм (е,„) "пч, рл Е М. Положим Ео(Ч) =Кегрм, и пусть (м1 Ео(М) ьЬо(М) — каноническое вложение. Имеем точную последовательность О У (М) и 1 (М) и М О. Определим градуированный модуль Ь(Ч), положив Ьч(М) = 0 при и < 0 и, иилукциейпо п>0, 1 (М)" 1. (К (М)), Х =Е (г (М)), (2) Определим А-гомоморфизмы в'„: Ь„(М) ч" Ьч-1(М): с~и п<0, м а! =(м "ря (и) с(н )х з(м) рт ь(м)' и>1. (3) По построению, имеем точную последовательность ай рм - „( ) — "Ь„,(М)-..-Ь,( ) — М-о, так что, если распространить рм до морфизма комплексов рм: (Ь(м),с( ) М то получим свободную резольвенту для М, называемую канонической свободной резольвентой для М.
Пусть)': М - Х вЂ” гомоморфизм А-модулей. Обозначим через 1оЧ): Ьо(М) + Ьо(Х) единственный А-гомоморфизм, при котором Ьо(У') (е ) =е.( ) для всякого псЕ МИмеем: ри ь1 (г)=Р' рм. (4) Следовательно, Ьо(Р") индУциРУет А.гомомоРфизм Ео() ); Ео(М) -+ с,о(Х), и имеем: (н ь Хо() ) = 1 о() ) ' си. (5) Положим Ь„(г) =0 при и< 0 и определим нндукцней по п>0 гомоморфизмы 1 н(У ): 1ч(М) 1 ч(Х) н Ен(У): Уч(м) Е„(Х), положив; 1 (у)=Ь,(Х„,у)), К„(у)=7.,(Е„,())). (6) Предложение 4, Ь(1'): 1.(М) -+1.(Х) — морфизм комплексов А-модулей, для которого рм ь Ь()') =У ь Рн. р ь )) ь о = р ), то морфизмо ь 1) гомотопен 1р (соответственно морфизм() ь а гомотопен 1р ).
П р е д л о ж е н и е 3 Ь(а. Пусть я: Х вЂ” Х вЂ” гомоморфизм А-модулей, е; Х -+ Е морфием из Х в нулевой слева иньекгивный комплекс Е' и е: Х вЂ” Š— правая резольвента для Х. Существует и притом единственный с точностью до гомогопии, морфизм комплексов я: Е . Е', для которого йяг ь е = е' ь а. Это доказывается так же, как предложение 3, с помощью предложения 1, б).
ю ° ! С л ед от в и е. Пусть (е, Е) и (е, Е ) — две инъективных резольвенгы для М. Существует, и притом единственный с точностью до гомотопии, гомогопизм и. Е-+Е', для которого а ь е = е'. Ф 3. Резюльвенти Имеем сначала: а!н ° Ц(Г)=! ° Рг Оч>' 1с(ЕО(>')) 'Х и) Рз,<м> >.о(Х)" 1м 'Рг,(м> ()), ~м (3) и (6)) (4) ) (5)) (3)), (согласно (согласно (согласно (согласно = „,и).
и Очевидно, имеем: ~.(>м) = 1ь<м>. С другой стороны, если я: Х вЂ” Р— гомоморфизм А-модулей, то ЦЯ а з ) ~ ЦЯ) ю Ц 1), (7) (8) Действительно, для всякого т Е М имеем: 1.о(8'У)(е~а) =ег, гоч> = Ео(у)(еу<~>) Ее(у) ' Ео(Х)(е~ч), следовательно,1с(8 о Х) =!.е(8) о Ье(Х); следовательно Ус(а о > ) =Ус(8) а Уе(У); отсюда иидукцией по л тотчас получаем, что Е„(8 ~ У ) = 1ч(у) Е„(У ) дяя всякого л > О, что и требовалось. Замечание. Если 1', я Е Ноптя (М, Х), то равенство Е(~+8) "Е(>') + Е(а) не имеет места. Однако эти даа морфнзма'гомотолны согласно предложению 3, с. 55.
Пусть М вЂ” правый А-модуль; обозначим через А' кольцо, противоположное А, через М' — А'-модуль, определяемый А-модулем М, через Е(М ь) — его каноническую свободную резольвенту. А-комцлекс Е(М')',определяемый А -комплексом ЦМ ), обозначается через Е(М) н назьвается канонической свободной резольвентой для М. Имеем, следовательно: ЦМ ') = 1. (М) '. 4. Каноническая ииьективная резольвента Пусть Р— А-модуль Ною з (А, ЩХ); для всякого А-модуля М положим !е (М) = Рнсюа1м' и> н обозначим через ем, М «! (М) гомоморфнзм, который элемен- ту тЯМ сопоставляет семейство (Ф(гл))гпн та (и г>.
Согласно следствию 2, с. 22, !а(М) — инъективный А-модуль и отображение ем инъектнвно. Положим Ке(М)= Сокегем и обозначим через дм. 1е (М) - Ке(М) каноническую проекцию. Имеем, таким образом, точную последовательность 0-+М ->4 1е(М) -И Ке(М).
О. Определим градуированный А-модуль 1(М), положив 1" (М) = 0 при я( 0 и, индукци- ейпол>О, 1а(М)- !е(Ка — 1(М)) Кл(М) Ка(Ка-~(М)) (9) Нужно доказать для всякого л ) 0 формулу с>ч 1 (з) 1 ~(>)опд Когда и) 1, имеем последовательно; ал 1 (У)=1з„збч> 'Рх„,бч> Ео(лл Ж) 'х„,1н> У.— (й'Рх„Им> )т (н> " с о(уч — з(У) Р2 >(и> => а(г„-з(ГИ.1, „„,.Р,,<м, (согласно (3) н (6)) (согласно (4) ) (согласно (6) ) (согласно (5)) (согласно (3) н (6)). Ф 3. Резольеенгы Определим А-гомоморфиэмы Ь": 1 "(М)- 1"+'(М): н<0, би =О, м о 5 м ек'<м)' йм (10) бм ек"(м) ' Як" '(м1 По построению, имеем точную последовательность 'м о « ом О М !о(М) ьЬ ! (М) так что есин распространить ем до морфизма комплексов е„: М (1(М),бы), то получим инъективную резольвенту для М, называемую канонической инаективной резольвенгой для М. Пусть т': М -+Х вЂ” гомоморфиэм А-модулей.
Обозначим через !о Д') гомоморфизм из 1о(М) = Еноо«А(м' 1 в 1о(Х) = Еноюл<Н' 1, который отображает семейство (ха)енноюа(м г) насемейство (х1,, Г) йнноюа(н г1.Имеем 1оЯ«ем =ел «Г. (11) Следовательно, 1 (У) индуцирует гомоморфизм К (<): К (М) «К (Х), и имеем: КоЯос =а оКо(Д (12) Положим 1н(г') = 0 при и< 0 и определим индукцией по н>0 гомоморфизмы 1" (У'): 1" (М) -+1" (Х) и К" (1): К" (М) -+К" (Х), положив: 1н(У)- !0(Кл-1(У)) Кн(т«) — Ко(Кл — 1(()) (13) Предложение 5.
1(т'); 1(М) - 1(Х) — морфизм комплексов А-модулей, для которого!(1') о ем = е, «у'. Это доказывается аналогично предложению 4. Имеем: !(!м) 1«м1 (14) и для всякого гомоморфизма А-модулей йс Х -+ Р 1(й. () = 1(я). 1(У'). (15) Замечание. Если у',йЕ Ноши(М,Х), то равенство 1(г+й) = 19') +1(е) не имеет места. Однако эти два морфизма гомотопны согласно предложению 3 Ыз, с. 56. Если М вЂ” правый А-модуль, то положим 1(М) = 1(М')'; эту резольвенту называют канонической инъективной реэольвентой для М, при этом имеем 1(М ) =1(М)' 5.
Резольвеиты конечного типа Из двух предыдущих пунктов следует, в частности, что всякий А-модуль обладает инъективными резольвентами, свободными резольвентами (следовательно, также проективными или плоскими резольвентами). В некоторых случаях можно сделать дальнейшие уточнения. Предположим, что кольцо А нетерово слева, и пусть М вЂ” А-модуль конечного типа. Построим по индукции последовательности (Ь„)„ъ о, (Е„)„во, (г<„)„ъ ы где для всякого л> 0 ܄— свободный А-модуль конечного типа, ń— лодмодуль в Ь„и ил+< . Ь„+ < ~ ܄— гомоморфизм.
Зля этого выберем конечное порождающее семейство (т<)<н< для М, положим Ьо =А ', определим р: 1.о. М, положив р(е<)= т<, <1 ) и положим 7о = Кег(р). Если для л> 0 модули Ь„и Е„уже построены, то с„имеет 5 3. Револьеенты конечный тип, так как содержится в Ь„; выберем конечное порождающее семейство (хн,,),в тн+, для Кю положим Ьн«т = А Он+ т1, определим Ы„+ю задав г/„+, (ег) = х„, и положим Е„+ т = Кег (Ин+, ) . По'построению, имеем точную последовательность «ь Ьн~ Ьн ..
1.0 М О, ел+1 Р откуда: Предложение б. Когда кальяо А нетерово слева, всякий Амодуль конечного типа М обладает свободной реэольвентой р: Ь - М, в которой ܄— модуль конечного типа для всякого и. Более общо: Предложение 7. Пусть С вЂ” А-комплекс, и луста число аЕ Е таково, что Н„(С) = О при и < а.
а) Существуют свободный А-комплекс 1„в котором 1.„= О при и< а, и гомологиэм т: Ь-+С. б) Предположим, что А нетерово слева и что Амодули Н„(С), пЕ Х, конечного типа. Существуют свободный А-комплекс 1., в котором 1,„= О нри я<а и 1.„— Амодуль конечного типа для всякого и, и гомологиэм т: Ь -+С. Пусть С' — подкомплекс в С, в котором С,', = С„при п>а, Се = Ее(С), С'„= О при и<а; тогда каноническое вложение С' в С вЂ” гомологизм. Заменив С на С', можно, следовательно, предполагать, что С„= О при и < а.
Утверждение следует тогда из повторного применения следующей леммы дпя т = а, а + 1,...: Л е м м а 3. Пусть С вЂ” комплекс и т Е Е. Существуют комплекс С и гомологиэм Х: С -+С, для которых т'„: С'„- ф— иэомор~иэм при и <т и С'„— свободный А-модуль. Если А нетероео и А-модули Н„(С) и С, ь конечного типа, то можно потребовать, чтобы модуль С', был конечного типа а) Пусть сначала /к М-+С, — гомоморфизм А-модулей; обозначим через б = (с/е) дифференциал в С. Пусть Ы вЂ” подмодульвМХС,+ь,образованныйпарами (т,х), для которых й(т) Ф„+, (х); определим комплекс (С',б'), положив С„=С„при пФ«, с +1, С'„=М, С'„+т =Х Ын' =бе при пчьт, т + 1,«+2,с/« =б««й, б'„+1(гпх) чщ для («и, х) е х и с/,+з (у) = (О, б,+з (у)) для у е с,+з.
Рассмотрим также морфизм комплексовт": С'-+С,для которогот„= 1сн при пчьт,т + 1,7", =й,у'„+, («п,х) =х. б) Комплекс Кег 7" нулевой и степени чье, т + 1 и дифференциал И',+, индуцирует изоморфизм Кета,+, на Кем', следовательно, Н(Кету') = О. ь в) Когда композиция М вЂ” «С„-«С,/В«(С) сюръективна, мы видим также, что Н(Со1сег у ) = О, ну в этом случае — гомологизм (с. 36, следствие 2) . г) Когда А предполагается нетеровым и А-модули Н„(С) и С„1 конечного типа, тогда модуль С„/В, (С) конечного типа, ввиду точной последовательности (с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
