Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 20
Текст из файла (страница 20)
31) О -+ Н,(С) -+ С,/В,(С) -+ С,,; в этом случае существуют свободный А-модуль конечного типа М н гомоморфизм й: М-+С„для которых условие из в) выполняется; в общем случае существуют свободный модуль М и сюръективный гомоморфнзм А: М -+ С„. Это завершает дока. зательство. б. Минимальные проективиые резольвенты Пусть М вЂ” А-модуль и пусть ае а« (Р) ...-+ЄЄ1-+... Рь-«М~ Π— резольвента для М. Говорят, что (Р) — минимальная проективная реэольвента, если б 3.
Резольеенти для всякого п > О гомоморфизм бьс Рч ~1ю(4н), индуцируемый а'„, является проективным накрытием (ЧП1, б 8, и'5). П р е д л о ж е н и е 8. Пусть М вЂ” А-модуль, Р и Р— две минимальные проективные резольвенты для М и /': Р «Р — морфизм резольвент..Тогда( — изоморфизм. В частности, две минимальные ироективные резольвенты для М изоморфны. » Положим Р„= Р„прн и Ф вЂ” 1 н Р, = М; определим аналогично Р„и положим /', = 1м. Покажем по индукции, начиная с -1, что /'„: ЄЄ— иэоморфизм для всякого и. Это очевидно для-п = — 1; предположим, что /„и /„э — изоморфизмы.
Из коммутативной диаграммы Р„-4 Р„ ~д ~у-~ Р„' —: Р„' следует, что /н индуцирует изоморфизм а„из Кег с(ч на Кег г(„. Тогда нз коммутативнойдиаграммы Р„+з -"-".'ь- Кег г!„ ~а. р'«, -"-'-'ч- Кег 4 и из ЧП1, б 8, и" 5, следует, что у'„+! — изоморфнзм. С л е д с т в и е. Пусть М вЂ” А-модуль, Ри Р' — две проективные резольвенты для М; предположим, что Р минимальна. Пусть т: Р-+Р' и а: Р' — Р— дваморфизмарезольвент. Тогда /' инъективен, а сюръективен и Р' — прямая сумма подкомплексов 1то/' и Кег а. Кроме того, Кег а имеет нулевую гомологию. Действительно, а = а « /' — автоморфизм Р (предложение 8).
Положим т /'ь а '. Имеем: !ту=!ю/ и е«т'= 1р, зто показывает, что Р = !пэ,~ е Кегб. Так как последовательность О- Кегя-«Р'-+ Р-»О точная н Х вЂ” гомологнзм, то Кегб имеет нулевую гомологию. П р е д л о ж е н и е 9. Пусть М вЂ” А-модуль и (Р, р) — проективная резольвента для М. Обозначим через В радикал кольца А. Предположим, что Є— А-модуль конечного типа для всякого п или что В нильпотентен. Тогда для того чтобы резольвента (Р, р) быламинимальной„необяодимо и достаточно, чтобы комплекс (А/ Ю ) вАР имел нулевой дифференциал, иначе говоря, чтобы с(н+г(рч+г) С р Р„для всякого п,а О.
Предположим, что резольвента (Р, р) минимальная. Согласно Ч1П, б 8, п 5, гомоморфизм 1вбьл (А/$ )ел Р„- (А/е ) еа !лэбч является изомо(офнзмом. Из точной последовательности О-+ !гл4,м — «Р„-л.«!гпб„- О тогда следует, что гомоморфизм 1в(„: (А/и) вя!пЫн«! - (А/б ) вя Р„нулевой; так как с(ьь! =/ь ь б„+м то отсюда выводим, что 1а(т в с(н«г = О для всякого п ~» О. 06Ратно, пРедположнм, что длн всЯкого п> 1 гомомоРфизм 1А(т вс(н нУлевой, иначе говоря, что !тс(н = Кегб„~ содержится в $ Р„,. Так как~ гомоморфизм б„ сюръектнвен, то из ЧШ, б 8, и'5, следует, что б„г — проективное накрытие при п > 1, следовательно, что резольвента (Р, р) минимальна. 1 Х Резольоелты 61 П р е дл о жени е 10. Предположим, что А — нетерово слева локальное кольцо, и пусть М вЂ” А-модуль конечного типа Тогда М обладает минимальной резольвентой (Р, р); в ней Рл — свободный модуль конечного типа для всякого и л- О, Действительно, в построении, сделанном в п.5 (с.
58), можно, ввиду ЧП1, й 8, и'5, взять в качестве (1.о, р) проективное покрытие М н в качестве 1.л.«ь — проективное накрыгие Кетил. Тогда полученная резольвента минимальна. Замечания 1. Обозначим через пь максимальный идеал кольца А и положим /с =А/ю . Пусть Р— минимальная нроективная резольвента для М, и положим Ьл = = дпла(йвл Рл). Тогда Рл — свободный А-модуль ранга Ьл. Из следствия предложения 8 вьпекает, что для всякой другой проективной резольвенты Р' модуля М выпол- иаютсЯ соотношениЯ ось(К в Р„) > Ьл и что Равенство имеет место, если и только если резольвента Р минимальна. 2.
Согласно предложению 9, Ьл есть размелььность над й векторного пространства Нл(Фея Р), иначе говоря, пространства Тот л(й, М). Это также размерность над й пространства ЕхЦ (М, 1ь) (ср. с. 105, пример 3). ь 7. Градуированные резольвеяты В атом пункте предполагается, что кольцо А наделено градуировкой (Ал)лях, дпя которой Ал = 0 при п(0. Говорят, что градуированный А-модуль М ограничен снизу, если Ма =0 для достаточно малого п; всякий градуированный А-модуль конечного типа ограничен снизу.
Предложение 11. Если М вЂ” граудированный А-модуль, ограниченный снизу (соответственно если М вЂ” градуированный А-модуль конечного типа и если кольцо А нетерово слева), то суьцествует неограниченная слева точная последовательность градуированных А-модулей ььл ььь ьь« "~1.л — +1.л ь-+ "-+1.ь — «1-о — +М-«0. в которой 1.1 — ограниченные снизу свободные градуированные модули (соответственно свободньье градуированньье модули конечного типа) и ььь — градуированные гомоморфиэмы степени О.
Если Х вЂ” градуированный А-модуль, ограниченный снизу (соответственно конечного типа над нетеровым А), то существуют свободный градуированный А-модуль, ограниченный снизу (соответственного конечного типа) 1. и сюръективный грюгуированнььй гомоморфизм 1.. Ы (П, р. 167, гешагппе 3). Приняв зто во внимание, предположим„ что задана точная последовательность градуированных А-модулей и грацуированных гомоморфизмов степени 0: «л «е 1л «Ьл-ь + ° ° ° +1о +М +О, в которой 1«, ь = О, ..., п„— ограниченные снизу свободные градуированные модули (соответственно свободные градуированные модули конечного типа).
Тогда модуль Х = Кетб ограничен снизу (соответственно конечного типа); следовательно, существуют ограниченный снизу свободный градуированный (соответствеино свободный градуированный и конечного типа) А-моцуль Ьл«ь и градуированный гомоморфизм й„~ь: 1 +ь Ьл степени О, для которою 1щсьл+ ь = 1«1; тогда последовательность 'ьл+1 ььл «, 1-л+ь — Ьл — Ь ь -' .. -' Ьо — М -' О точнаю Теперь утверждение следует из предыдущего индукцией по п. 8. Стзидартвп резольвента В зтом пункте мы предполагаем, что кольцо А представляет собой алгебру (ассоциативную н унитарную) над некоторым коммутативным кольцом й. Для п> 0 обозначим через Вл тензорное произведение над й (п+ 2)-модулей, равных А. Оно рассматривается как (А, А)-бимодуль, наделенный структурой левого (соответственно прз- 62 1 3. Резольеенгы ного) А-модуля, получаемой из структуры левого (соответственно правого) А-модуля первого (соответственно последнего) множителя тензорного произведения, Прн п> 1 определим гомоморфизмы бимодулей до (для 0 < (с; п) и с(„из В„в В„, по формулам: ао(хо э...эхо<1) хо э...эх!ХЕ1 э...эхо<~ О< 1» ~и г=о Ясно, что д„' 1 д1 й1„11 Н„' прн 1< /, и, следовательно, д„,.д„= Е (-!)г'гд'„,.д„'+ Х (-!) гй„' ...~~ -О, О с!с!со осусгсн — г Таким образом, если положить В„= 0 при и < 0 и с~„= 0 при а<О, то последовательность (В„, д„) определяет комплекс (А, А)-бимодулей (с.
45), который будет обозначаться через В(А). Для всякого левого А-модуля М обозначим через В(А, М) комплекс, образованный из тензорных произведений В„эАМ и гомоморфазмов д„э 1м, иначе говоРЯ, тензоРное пРоизведение комплексов В(А) эя Мь, это комплекс левых А-модулей. Определим А-линейное отображение ем из Во(А, М) = (А эь А) эа М в М по фор. муле ем(а э Ь эт) =аЬгп для а, Ь Е А, тЕ М. Имеем: ем а Н~ = О, так что грацуированный гомоморфизм ем. В(А, М) -+М, совпадающий с ем в степени О, представляет собою морфизм комплексов А-модулей. П р е дл о жени е 12. Отображение ем. 'В(А, М) — М является гомотопизмом комплексов й-модулей.
В частности, комплекс В(А, М) расщепляем над й и (В (А, М), си) представляет собой левую резольвенгу А-модуля М. При и> 0 определим й линейное отображение з„: В„-+ В„+, по формуле з„(хо э ..эхо+1)= 1эхо э. эхо+1 для хо,.,хо+~ ЕА. Это гомоморфизм правых А-модулей, который удовлетворяет тождествам: д'+1 зо ызн-1'4~ 1 при п>1, 1< 1< л+1, ай+ь ' зо 1в„ при и> 1, и, следовательно, имеем: (16) а„+1 е„+з„1 с1„= 1в„при и> 1.
Кроме того, имеем: д1 озо(хо эх1)=хо эх1 — 1эхох, Длл хо,х1Е А. (17) Обозначим через Н: А-+ Аэь А отображение, определяемое по формуле: г1(а) = 1 э а, н через й; А-ьВ(А) — морфизм комплексов, совпадающий с и в степени О. Ясно, что ея о й 1А, формулы (16) и (17) показывают, что д о з + 1 о д = 1в(ь) — ц о еа. ПолагаЯ цм Ц э1м, 4м ыдэ1м и зм.=з э1м, отсюда вьводим, что ем йм =1м и дм ем +ем о дм =1вга,м1 — йм ~ ем, Иначе говоря (с. 38, определение 5), ем есть гомотопнзм комплексов й-модулей. Другие утверждения предложения из этого Немедленно выводятся. О п р е де л е н и е 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
