Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 16
Текст из файла (страница 16)
упражнения 1. Предположим, что А — кольцо главных идеалов; пусть С' — комплекс ееободльсх А-модулей. а) Показать, что С вЂ” прямая сумма семейства комплексов (РЕ) из, удовлетворяющих ус. Р ловням: РЕ„=спринтер, Р— 1; ХР(РЕ) =О. б) предположим дополнительно, что с„конечного типа для всакогь л е х. показать, что с— прямая сумма комплексов, имеющих только либо одну ненулевую компоненту, либо две последовательных ненулевых компоненты, причем зги компоненты изоморфны А. 2. Пусть С и С' — два комплекса А-модулей; предположим, что комплексы С и В(С) (соответственно С' и 2(С') ) проективны (соответственно инъективны). Показать, что всякий морфием комплексов из Н (С) в Н(С') индуцируется морфизмом из С в С'.
3. Пусть С вЂ” комплекс А-модулей; рассматриваем С как А(е)-модуль (с. 33). Обозначнм через А -+ А(е) каноническое вложение. Показать что следующие условия зквивалентны; (1) Модуль С 1-проективен (с. 27, упражнение 19). (Н) Модуль С с ииъективен (с. 27, упражнение 19). (Ш) Комплекс С гомотопен нулю. бт) Существуют градуированный А-модуль М и иэоморфизм градуированных А(е)-модулей А(е) еА М-еС б 2. Комплексы А-модулей (т) Сущеогвуют градуированный А-модуль И и нзоморфизм грапуированных А(е)-модулей С- Нощл (А(е), Н), 6. а) Пусть С вЂ” А-комплекс, ограниченный справа. причем комплексы С н Н(С) праективны.
Показать, что С расщепляем. б) Над кольцом В = А(е) (с. 33) рассмотрим комплекс С, длн которого Сл = В при всяком л и»Г(Ь) еЬ при всяком Ь и В. Комплекс С свободный с нулевой гамолаглей, ио ие расщеплмем. 5. Пусть С вЂ” комплекс, г — расщепление С, 6: С С вЂ” градуированныйгомоморфизмстепени -1, для которого (4+ 6), (д+ 6) =О. Обозначим через С' комплекс (С 0+ 6).
Предположим, что А линейное отображение 6 = 10 + 6 г из с в с дмекгеемо. а) Для того чтобы отображение ве' было расщеплением С', необходимо н достаточно, чтобы 6(Е(С)) С 6(В(С)). б) Предположим, что условия из а) вылолнюотся. Показать, что существуют разложения в пря- мую сумму С = В (С) е Кег(е(з) В(С') е Кег(»(г). Если р (соответственно р') — проектор с образом Кег(дг) иядром В(С) (соответственно В(С')), то р' =ре '.
в) Пледположим дополнительно, что А-линейное отображение Л = 10+ е 6 биективно. Показать, что Е(С ) = л'(Е(С)) и С = Е(С) е Ьв(Ы) "Е(С') е 1щ(ее(). Если д (соответагвенио д') — проек- тор с образом Е(С) (соответственно Е(С )) и ядром Ьв(зд), то д,' = Л 'д. б. Сохраняем обозначения из упражнения 5; предположим, кроме того, что кольцо А комму., тативно, что комплексы С и С'(В(С') плоские и что существует идеал И кольца А, удовлетвораю- щий условиям: 6(С) с Ю С и () (В(С) + щлС) = В(С) ( зто последнее условие всегда вылолияею ся, если А — ибтерово локальное кольцо с максимальным идеалом Ю и если Сл — А-модуль коне'мо- го типа для всякого л, см.
АС, 1П, б 3, и'3, ргор. б; Коммутативнал алгебра, П1, с. 249, предложе- ние б е). Показать тогда, что ге' — расщепление С'. (предположения о плоскостности влекут, что ьп(д+ 6) О йз "с (е(+ 6) ( илс) для всякого л; ЕСЛЛ ХН Е(С), та ПОСГРОНтЬ Па ИНДУКЦИИ ЗЛЕМЕитЫ Улж С Глы Е(С) О Щ" С ДЛЛ КатаРЫХ 6(Х) =, = 6»((ул) + 6 (з„). Закончить с помощью упражнения 5, а) ) 7. Пусть С и С' — два комплекса, г (соответственно в') — расщепление С (соотеетстеенно С'), и: С' С вЂ” морфием комплексов. Опрюелим градуированный степени -1 А-зндоморфизм акомп- лекса Сап(и), положив а(у', х) и (-з'(у.'), з (х) — виг'(у')).
Показать, что для того чтобы отображение а было расщеплением комплекса Соп(и), необходимо м достаточно. чтобы Н(и) О. , и е 8. Пусть 0-+ М' М -«М -»О — точная последовательность А-модулей, которую можно рас- сматривать как точную последовательносп комплексов (нулевых в степенях «» 0). Показать, что МОРфнЗМ КОМПЛЕКСЦВ ен Соп(и) - М" (с. 42) наплетем гомотопизмом, если н только если точиал последовательносп 0- М' - М - М" -»О расщепляема. 9, Пусть и: С' С вЂ” марфнзм А-комплексов. Обозначим через е: С-«Озйщ(и) отобрюхеняе перехода к факторкомплексу.
Рассмотрим градуироваинме А.гомоморфизмы а: (Кехи)(-1)-+ Сол(и) и дс Сол(и)-»Сойщ(и). опрещляемью ло формулам: а(х') (х', 0), р(х', х) о(х) лля х' н С', хы С. Показать, что а, а — морфюмы комплексов и что они приводят к точной последовательности Н„а(Кехи) + Нл(Сол(и)) Нл(сойеги) -«Нл 2(Кехи)-»..., Н(а) н(а) 6 где 6 — композицив связывюощнх гомоморфизмов относительно двух точных последовательностей 0 Кег и -«С' «Ьп и «О и 0 » Ви и .» С -«Саны и -» О. 10. Пусгь и. С-«С' — морфнзм А-комплексов, Р— проективный А-модуль» л — целое число л О, Ь: Р-» Нл(Озл(и)) — А-гамоморфизм. Показать, что существ)чот комплекс С, точнал последовательность комплексов 1 0 С е С-«Р(-л) -» 0 и морфюм и: С-»С', для которых й» 1 и и морфнзм С(1): Олз(и) -«Сол(й), индуцированный отображением 1, облнцает следующими свойствами: а) Отобуазюние Нр(С(1)): Нр(Сап(и)) -»Нр(Сол(й)) биективио пРи Ра и, л+ 1; 6) Сулюствует точная последовательность О Нл+1(Сол(и) — — » Нлег(Соп(и)) -» Р Ни(Соп(и)) — — -«Нл(Соп(и))-+ О.
на+1(с(О) - а Нл(С(г)) 11 аиламллеюэм А-модулей называется тройка (С Ы.', с(" ), где С вЂ” А-модуль, градуированный по типу Е х Е, е('; С С вЂ” градуированный А-зндоморфизм степени ( — 1, 0) не(": С- С вЂ” градуированный А-зндоморфизм степени (О, — 1), удовлетворяющие соотношениям д' » «5' =д» д» = аа М" + И" И' О. БУдет использоватьса также веРхнна гРадуировка СР д С р лля р,дыЕ. б 2. Комилексы А-модулей Обозначим через Х'(С), Е" (С), В'(С), В" (С) подбикамплексы Кег(И), Км(ч"), Ьп(д), 1т(й") н через Н'(С) (соответственно Н" (С)) бикомплекс Е'(С)/В'(С) (соответственно Е" (С)/В" (С) ). а) Положим И =о'+о'".
Показать, что когда С наделен тотальной грацуировкой, ассоциированной с заданной бнгРадуиРовкой (опРеделЯемой, согласно П, Р. 1б4, посРедством С„"- О Ср ч), р+ч=и лара (С д) представляет собой комплекс. Говорят, что зто ломллекс, ассоциированный с бнкомплексом (С, д', й" ); его гамология обозначается через Н (С).
б) ПуетЬ (С д', дг ) Н (К, 6', 6" ) — Лна ОНКОМПЛЕКСа йуар(йиЗМОМ Иэ (СО', ЬЮ ) В (Кь',6" ) называется грапуированный А-гомоморфизм и степени (О, 0) из С в К. удовлетвориюший условиям: 6' и=и д' и 6" и=и о«. Показать, что и индуцирует марфизм ассоциированных комплексов. в) Пус!ь и, а — морфизмы бикомплексов из С в К. Гомогоиией, селзмвяюшей ис е, называется пара (з', г" ) градуированных А-гомоморфизмав из С в К степеней (1, 0) и (0,1 ) соответственна, для которой и — и =о' з+ггй+И« з+г" И"; з' Ы+йг э'=0; з" Ы+й' е" =О. Показать, что э'+ з" — гомотопия, связывающав морфизмы ассоциированных комплексов, инду.
цнрованные морфизмами ил и. 12. Пусть (С с/', И" ) — бикомплекс длЯ котоРого Н" р(С) = 0 пРи всикомрц Х, Н' ч ч+!(С) = =0 при 1 л О, Н,',, 1(С) "0 при«> 0 и существуют такяе полояштельные целые числа ли Ь, что Сд а С ь ь 0, ))оказать, что А-модуль На а (С) нулевой, 13. Пусть 1 — конечное множество ! через (е !) /ы ! будем обозначать канонический базис Е-моду.
ля Е!. Назовем 1-комплексом (соответственно 1-лредкомнлексом) А-модулей А-модуль С, градуи- Рованный по тлпУ Х!, нацеленный семейством А-зндомоРфизмов (И!) р пРнчем и/ гРадУиРованный степени ( — е/) и выполнюотся слепуюшие соопюшеиия: й! г д! = 0 для всякого / а 1, Г/!г И/+И/г///=0 (Саатестетаслиа д!г д =д/г й!) дпя !,/Ы1.
Если Озп1(!) 1, то 1-комплекс — зто комплекс; если Сый(1) = 2, то 1-комплекс представляет собою бикомппекс (упражнение 11). Если (С, (й/)) н (С', (Ы/)) — два 1-комплекса (соответствен- но $предкомплекса),тамар(йиэм из (С, (с/!)) в (С', (й))) — зто градуированный гомоморфизм степени иульи: С С',для которагод/ и =и И! при всяком /ы!. а) Пусть (С, (о/)) — 1-комплекс. Если наделить С тотальной градуировкой (по типу Е), получае- мой иэ его градуировки.
то показать, что (С о Ы!) представляет собой комплекс А-модулей, назы!Я1 ваемый комллеисом, ассоциироеиилььм с 1-комплексом (С (д/)). Показать, что морфизм 1-комп- лексов индуцирует морфием ассоциированных комплексов. б) Пусть С вЂ” 1-предкомплекц и пусп К вЂ” некоторое отношение линейного порядка на 1, обозна- Е л/ чаемое символом <. Йля й =(й/)!ы1, хеСйи!ы1 положим 6/(х) = (-1) й!(х). Показать, /</ что (С, (6/)) представляет собой 1-комплекс (который обозначают через Ср).
в) ПУсть Ко, Кй — два отношения линейного порядка на 1, обозначаемые символами <а н <й. Пусть ийо — эндоморбмзм С при котором и(х) ( — 1) е( ) х длл хы Сй, где е(й) Е й!й/. /<о/ Показать что ий — морфием 1-комплексов нз Ск в Ск!. / <й/ г) Пусть Б — множество всех отношений линейного порядка иа 1; наделим Б тривиальным отно- шением предпорнцка (т.е. Ко с Кй дли любых Ко, Кй ы Б). Показать, что система (Сц, иой) представпиет собой проективную систему 1-комплексов относительно Б. ее предел с — это ькомп- лекс, называемый 1-комплексом. ассоциированным с 1-предкомплексом С.
Показать, что всвкий морфнзм 1-предкомплексов икдуцирует морфием ассоциированных 1-комплексов. ((14. Слектрелыюй лоследоеегельлосгью А-модулей называется задание последовательности А-комплексов (Е„дг) «в э и отображений а,.: Н(Е«) -«Е«+ю лля которых: б) Грццуировка комплекса Ег представляет собой тотальную градуировку, ассоциированную с некоторой биградуировкой Е,= Ю Е/"Ч («В2)! р,чих имеет место: Й„(ЕР'ч) с Ер «'ч (И) Отображен«на«являются нзоморфизмами бигрцпуировалных А-модулей. Мы будем использовать также нижнюю бигргдуировку модула Е„:, будем обозначать г — р, -ц Ер,ч а) Здесь мы будем обозначать через Ег+!(Е, ) (соответственно через Вг +!(Ег ) ) биградуирован- иый А-модуль Кег йг (соответственно 1щ с/ ) .
Пусть Ргу Ег ' Ег/Вг+!(Ег) — отображение перехода к фактормодупю и !: Ег г! — Е,/Вг+!(Е,) — компошция отображения 4, Н. Бурбаки 4 2. Ком«иексы А-модулей и ' и есэесщенного вложение. Лпя возного г > 2 определям индукцией по й бнградунрованные подмодули Е„+я(Е„) и В, +а(Е„) в Е„, полояаэв: Е«ее(Е«) = Р«((«(Е«~а(Е«+э))) В«ел(Е«) Р«((«(йа '««(Е«ег) ) ) ' Показать, чго имеют место влопения: О С В«+1(Е«) С В«+з(Е«) С ° ° С Е«+з(Е«) С Ег+г (Ег) С Е« и что модуль Еа иэоморфеи Ел(Е«)/Ва(Е«) п)и й > г+ 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
