Главная » Просмотр файлов » Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра

Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 11

Файл №947363 Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (Бурбаки Н. - Начала математики) 11 страницаБурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363) страница 112013-09-15СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

2. Операции над комплексами На множестве А Х А два закона (а, Ь) + (а', Ь ) = (а + д', Ь + Ь ), (а, Ь) (а', Ь ) = (аа', аЬ + Ьа') определяют структуру кольца, обозначаемого через А(г), с единицеи 1 = (1, 0); вло- 1 2. Комамексы А.модулей 33 жение а ~ (а, 0) =а1 позволвет отождествить А сподкольцом в А(е); модуль А(е) свободен с базисом (1„е), где е = (О, 1); имеем: еэ = 0 и е — центральный элемент В А(е).

Когда кольцо А коммутативно, А(е) называетсв алгеброй двойных чисел над А (П1, р. 15). Наделим А(е) структурой градуированного кольца (П, р. 164), для которой А(е) а = = А 1, А(е) ! =А е иА(е)„=ОприпФ0,-1. Ясно,что эадаине структуры А-комп- лекса на множестве С равносильно заданию на С структуры градуированного А(е)-мо- дуля, дифференциал б при этом соответствует гомотетин ес, кроме того, морфнзмы комплексов соответствуют грццуированным гомоморфизмам степени 0 градуирован.

ных А(е) модулей. Таким образом, роды структуры градуированных А(е)-модулей и А-комплексов эквивалентны (Е, 1У, р. 9 — 10; Теория множеств, 1У, с. 252 — 254). Мы используем Этот факт для перенесения в теорию комплексов обычных понятий теории градуированных модулей. Понятию градуированного под-А(е)-модуля соответствует понятие подасомпле!сса: таким образом, подкомплекс комплекса (С, д) — это такой градуированный подмо- дуль С в С, что с/п(С„') С С„' ! для всякого п Е Е; если обозначить через а/' градуи- рованный А-гомоморфизм С' в С', получаемый из а', то (С', Ы') представляет собон структуру комплекса, о которой говорят, что она индуаирована структурой (С, а).

Без явного указании противного всяким подкомплекс будет считаться наделенным индуцированной структурой. Мы предоставляем читателю явно сформулировать также понятия факторкомплекса, точной последовательности комплексов, ядра, коядра, образа морфнэма комплексов, следуя приведенному ниже словарю: гр!щуированный фактор-А (е) -модуль абакгоркомплекс, ЯдРо' колдро' ~бр~~ грццУнрован 1 д, йояд, об,' з ного А(е).гомоморфизма стеле- ) морфизма комплексов, точная последовательность градуированных А(е)-модулей н гралуиро- ~ комплексов. ванных гомоморфизмов степени 0 Например, канонические точные последовательности из п. 1 дают точные последователь- ности комплексов, называемые каноническими; (1) 0-+Х(С)- С Л В(С)(-1)-+О, (11) 0-+ В(С)-+ Х(С)- Н(С)-+ О, (П1) 0-+ В(С) -+ С -+ С/В(С) -+ О, (1У) 0 -+ Н(С) -+ С/В(С) а В(С) ( — 1) -+ О, (У) 0-+ Н(С) -+ С/В(С)- Х(С) (-1)-+ Н(С) (-1)-+О.

Точно так же определяются понятия прямой суммы комплексов, индуктивной системы комплексов, индуктивного предела'индуктивной системы комплексов. Пусть (С!, д!) !в! — семейство комплексов. Произведением этого семейства, обоз- начаемым через П (С!,Ф!), называется комплекс (С, а/), получаемый следующим образом: ав! а) для всякого пЕ Х С„представляет собой произведение П (С!)„однородных компонент (С,) „данных комплексов, б) лля всякого пЕУ а/„: фф! представляет собой А-гомоморфнэм с компо- нентами (а/!) „. Когда 1 конечно, комплекс П (С!,а/!) равен комплексу ю (Са,д!).Следуетпредоап 1 !Е ! стеречь читателя, что, вообще говоря, модуль, на котором определен комплекс П (Са,с/!),не совпадает с произведением модулей П С!. ! гс! 3.

Н. Бурбаки 1 2. Комплексы А.модулей Рассмотрим семейство (соответственно направленную индуктивную систему) комплексов (С!)!н1. Пусть С вЂ” прямая сумма (соответственно инцуктивнь!й предел) семейства (С!), и пусть и!.. С! -+С вЂ” каноническиегомоморфизмы.Тогдагомоморфизмы Н (а,): Н (С!) — Н(С) определяют градуированный гомоморфизм степени О, называемый каноническим, прямой суммы е Н(С!) (соответственно индуктивного предела !н ! 1йп Н(С!)) в Н(С). Кроме того, канонические проекции П С! - С! определяют !н1 !Н1 градуированный гомоморфиэм степени О, называемый каноническим, модуля гомоло- гииН( П С!) в П (Н(С!)). !Н1 !Н! Предложение 1.,7ля всякого семейства комплексов (С!)!н! канонические гомоморфизмы е Н(С!)- Н( е С!), Н( и С,)- П Н(С!) !Б 1 !Е! !н! !Н1 биективны. Для всякой направленной индуктивной системы (С!) !н! канонический гомоморфизм 1вп Н(С!)-+ Н( 1лп С!) (3) !н! !н1 биективен.

% Это немедленно следует из Н, р. 14, сот. 1а !а ртор. 7, р. 11, сот. а 1а ргор. 5 и р. 91, ргор. 3. (2) 3. Связывающий гомоморфиэм и гомологнческая точная последовательное!и В этом пункте рассматривается точная последовательность комплексов О -ь С ' — + С вЂ” + С" -+ О; дифференциалы в комплексах С, С' и С" обозначаются одной и той же буквой а'. Пусть à — множество теххЕ С,для которыхдхЕ 1т(и); при хЕ Г имеем: е((и '(е(х)) = и ! (еЫ(х)) = О, следовательпо, и ' (дх) Е Х (С ); имеем также: сЬ (х) = ое!(х) Е 1п! (с ь и) = О, следовательно, о(х) Е У,(с ); рассмотрим теперь линейное отображение !е: Г ьн(с ) Х Х Н(С'), которое отображает всякий элемент хЕ Г в класс элемента (с(х), и ' (е(х)) .

Ле м м а 1. Образ !е(Г) множества Г в Н(С ) Х Н(С') представляет собой график некоторого градуированного А-гомоморфизма степени — 1 модуля гомологии Н(С") в Н(С') . а) Если хЕ Г и если о (х) Е В(Сл), то и ' (Ых) Е В(С'): действительно, существует элемент г Е С, для которого о(х) =е(г., далее, существует г Е С, для которого г =о(г), следовательно, о(х) =о(сЬ), наконец, существует ! Е С, для которого х — дг =и(1'), а зто дает, что дхли(дт'), следовательно, и ' (е(х) =Ы!'Е В(С ). б) Всякий элемент из Х(сл) является образом при отображении о некоторого элементахиэ С,для которого о(е(х) =О,т.е.е(хЕ1ти,т.е.хЕ Г. в) Иэ а) и б) следует, что ье(Г) представляет собой график функции; поскольку отображение р биоднородное бистепени (О, — 1), доказательство леммы закончено.

Определяемый таким образом градуированный гомоморфиэм степени — 1 модуля Н(С ) в Н(С ) называется связывающим гомоморфизмом относительно точной последовательности (и,о); его обозначают через Э (и,о) „или д„„, или просто д. Его однородные компоненты обозначаются через Эл(и, о): Нл(С ) + Нл — ь(С ) и дл(и, о); Нл(Сл)-+ Нл+'(С'), По опРеделению, длЯ постРоениЯ обРаза класса пЕ Нл(Сл) пРи Э надо выбРать цикл глЕ Ул(с') из класса и, затем элемент х иэ С, для которого с(х) =г"; тогда Ых имеет вид и (! ), т' Е С „,, и Э (о) есть класс гомологии цикла г' т 2.

Комялексы А.модулеа В терминах соответствий Э„(и,о) получается, тыснм образом, исходя из соответствия и,,' т е е(я ее„' между С„и С„) посредством перехода. к подмножествам Е„(Се) и Уя т (С '), а затем и их фактормножествам Н„(С" ) и Н„т (С ' ) . Это показывает, в частности, что если заменить С, С, С, и, с на С(р), С (р), С (р), и(р), с (р), то Э(и(р), с(р)) = (-!)н Э(и, с); (4) кроме того, если Л и и — два обратимых злемента из центра кольца А, то Э(Ли, до) = Л тд е Э(и, с). (й Можно также установить связь гомоморфнзма Э (и, с) со змеевидной диаграммой (с.

9) . Согласно предложению 2, с. 9, последовательности О +Ел(С ) — ~ Хя(С) Еи(С~) тя(и) Ея(о) Ся /Вя (С ) Ся/Вя (С) С ~ /Вя (С ) О где ия и с „получаются из и и и, точные. Используя канонические точные последовательности (У„), получаем комму гагивную диаграмму с точными строками и столбцами." ' О О О Н„(С') — "-е Н„(С) — Сд о Н„(С") С.'/В.(С ) —" С./В.(С) — ' С /В.(С") — ΠΠ— ь 2„,(с') — "--' — "ч 2„,(с) — "— '-'е- Х,,(с") н„,(с') ".

'"', н„,(с) " '"' н„,(с") О О О Гомоморфизм Н„(С") - Н„, (С'), ассоциированный с этой диаграммой (с. 9, предложение 2 (ш) ), совпадает по построению с Э„(и, с) . Это влечет, кроме того, что последовательность гомоморфнзмов (Н„(и), Н„(с), Э„(и, с), Н„т (и), Н„, (о)) точная; следовательно, имеет место Т е о р е м а ! . Неограниченная в обе стороны последовательность гомоморфизмов А-модулей - - н„„(с") — '"'ФФ н,(с ) — ""'"' н„(с) ""' н„(с-) — н„,(с) — ".--'-'"' н„.,(с) — ""-"-"' н.,(с")-'"-*-'"-"-' н„,(с) —. точная.

Эта последовательность называется гомологической точной последовательностью, ассоциированной с точной последовательностью (и,с)) ее записывают иногда в виде точного треугольника А-модулей Н(С) н<е~~г ~ ни! н(с') ~, н(с") . Э 2. Комлгексм А.моаулей Следствие 1. Если два из трех комплексов С,С',Со имеют нулевую гомологию, то третий хамов же. Ллл юго чтобы морфизм и (соответственно о) был гомологизмом, необходимо и достаючно, чтобы комплекс С" (соответственно С') имел нулевую гомологию. Яля гого чтобы гомоморфизм д (и, и),был биекгивным, необходимо и достаточно, чтобы комплекс С имел нулевую гомологию.

С л е де т в и е 2. Пусть и — морфизм компаексов. Если комплексы Кег ии Со)саги имеют нулевую гомологию, то и — гомологиз.. Лействительно, пусть и: Е -+Е' — морфизм комплексов. Если Кег и (соответственно Со)сети) имеет нулевую гомологню, то канонический морфнэм Е-о!ти (соответственно 1т и ~ Е') является гомологнзмом согласно следствию 1.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
3,59 Mb
Тип материала
Предмет
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Бурбаки Н
Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6559
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее