Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 11
Текст из файла (страница 11)
2. Операции над комплексами На множестве А Х А два закона (а, Ь) + (а', Ь ) = (а + д', Ь + Ь ), (а, Ь) (а', Ь ) = (аа', аЬ + Ьа') определяют структуру кольца, обозначаемого через А(г), с единицеи 1 = (1, 0); вло- 1 2. Комамексы А.модулей 33 жение а ~ (а, 0) =а1 позволвет отождествить А сподкольцом в А(е); модуль А(е) свободен с базисом (1„е), где е = (О, 1); имеем: еэ = 0 и е — центральный элемент В А(е).
Когда кольцо А коммутативно, А(е) называетсв алгеброй двойных чисел над А (П1, р. 15). Наделим А(е) структурой градуированного кольца (П, р. 164), для которой А(е) а = = А 1, А(е) ! =А е иА(е)„=ОприпФ0,-1. Ясно,что эадаине структуры А-комп- лекса на множестве С равносильно заданию на С структуры градуированного А(е)-мо- дуля, дифференциал б при этом соответствует гомотетин ес, кроме того, морфнзмы комплексов соответствуют грццуированным гомоморфизмам степени 0 градуирован.
ных А(е) модулей. Таким образом, роды структуры градуированных А(е)-модулей и А-комплексов эквивалентны (Е, 1У, р. 9 — 10; Теория множеств, 1У, с. 252 — 254). Мы используем Этот факт для перенесения в теорию комплексов обычных понятий теории градуированных модулей. Понятию градуированного под-А(е)-модуля соответствует понятие подасомпле!сса: таким образом, подкомплекс комплекса (С, д) — это такой градуированный подмо- дуль С в С, что с/п(С„') С С„' ! для всякого п Е Е; если обозначить через а/' градуи- рованный А-гомоморфизм С' в С', получаемый из а', то (С', Ы') представляет собон структуру комплекса, о которой говорят, что она индуаирована структурой (С, а).
Без явного указании противного всяким подкомплекс будет считаться наделенным индуцированной структурой. Мы предоставляем читателю явно сформулировать также понятия факторкомплекса, точной последовательности комплексов, ядра, коядра, образа морфнэма комплексов, следуя приведенному ниже словарю: гр!щуированный фактор-А (е) -модуль абакгоркомплекс, ЯдРо' колдро' ~бр~~ грццУнрован 1 д, йояд, об,' з ного А(е).гомоморфизма стеле- ) морфизма комплексов, точная последовательность градуированных А(е)-модулей н гралуиро- ~ комплексов. ванных гомоморфизмов степени 0 Например, канонические точные последовательности из п. 1 дают точные последователь- ности комплексов, называемые каноническими; (1) 0-+Х(С)- С Л В(С)(-1)-+О, (11) 0-+ В(С)-+ Х(С)- Н(С)-+ О, (П1) 0-+ В(С) -+ С -+ С/В(С) -+ О, (1У) 0 -+ Н(С) -+ С/В(С) а В(С) ( — 1) -+ О, (У) 0-+ Н(С) -+ С/В(С)- Х(С) (-1)-+ Н(С) (-1)-+О.
Точно так же определяются понятия прямой суммы комплексов, индуктивной системы комплексов, индуктивного предела'индуктивной системы комплексов. Пусть (С!, д!) !в! — семейство комплексов. Произведением этого семейства, обоз- начаемым через П (С!,Ф!), называется комплекс (С, а/), получаемый следующим образом: ав! а) для всякого пЕ Х С„представляет собой произведение П (С!)„однородных компонент (С,) „данных комплексов, б) лля всякого пЕУ а/„: фф! представляет собой А-гомоморфнэм с компо- нентами (а/!) „. Когда 1 конечно, комплекс П (С!,а/!) равен комплексу ю (Са,д!).Следуетпредоап 1 !Е ! стеречь читателя, что, вообще говоря, модуль, на котором определен комплекс П (Са,с/!),не совпадает с произведением модулей П С!. ! гс! 3.
Н. Бурбаки 1 2. Комплексы А.модулей Рассмотрим семейство (соответственно направленную индуктивную систему) комплексов (С!)!н1. Пусть С вЂ” прямая сумма (соответственно инцуктивнь!й предел) семейства (С!), и пусть и!.. С! -+С вЂ” каноническиегомоморфизмы.Тогдагомоморфизмы Н (а,): Н (С!) — Н(С) определяют градуированный гомоморфизм степени О, называемый каноническим, прямой суммы е Н(С!) (соответственно индуктивного предела !н ! 1йп Н(С!)) в Н(С). Кроме того, канонические проекции П С! - С! определяют !н1 !Н1 градуированный гомоморфиэм степени О, называемый каноническим, модуля гомоло- гииН( П С!) в П (Н(С!)). !Н1 !Н! Предложение 1.,7ля всякого семейства комплексов (С!)!н! канонические гомоморфизмы е Н(С!)- Н( е С!), Н( и С,)- П Н(С!) !Б 1 !Е! !н! !Н1 биективны. Для всякой направленной индуктивной системы (С!) !н! канонический гомоморфизм 1вп Н(С!)-+ Н( 1лп С!) (3) !н! !н1 биективен.
% Это немедленно следует из Н, р. 14, сот. 1а !а ртор. 7, р. 11, сот. а 1а ргор. 5 и р. 91, ргор. 3. (2) 3. Связывающий гомоморфиэм и гомологнческая точная последовательное!и В этом пункте рассматривается точная последовательность комплексов О -ь С ' — + С вЂ” + С" -+ О; дифференциалы в комплексах С, С' и С" обозначаются одной и той же буквой а'. Пусть à — множество теххЕ С,для которыхдхЕ 1т(и); при хЕ Г имеем: е((и '(е(х)) = и ! (еЫ(х)) = О, следовательпо, и ' (дх) Е Х (С ); имеем также: сЬ (х) = ое!(х) Е 1п! (с ь и) = О, следовательно, о(х) Е У,(с ); рассмотрим теперь линейное отображение !е: Г ьн(с ) Х Х Н(С'), которое отображает всякий элемент хЕ Г в класс элемента (с(х), и ' (е(х)) .
Ле м м а 1. Образ !е(Г) множества Г в Н(С ) Х Н(С') представляет собой график некоторого градуированного А-гомоморфизма степени — 1 модуля гомологии Н(С") в Н(С') . а) Если хЕ Г и если о (х) Е В(Сл), то и ' (Ых) Е В(С'): действительно, существует элемент г Е С, для которого о(х) =е(г., далее, существует г Е С, для которого г =о(г), следовательно, о(х) =о(сЬ), наконец, существует ! Е С, для которого х — дг =и(1'), а зто дает, что дхли(дт'), следовательно, и ' (е(х) =Ы!'Е В(С ). б) Всякий элемент из Х(сл) является образом при отображении о некоторого элементахиэ С,для которого о(е(х) =О,т.е.е(хЕ1ти,т.е.хЕ Г. в) Иэ а) и б) следует, что ье(Г) представляет собой график функции; поскольку отображение р биоднородное бистепени (О, — 1), доказательство леммы закончено.
Определяемый таким образом градуированный гомоморфиэм степени — 1 модуля Н(С ) в Н(С ) называется связывающим гомоморфизмом относительно точной последовательности (и,о); его обозначают через Э (и,о) „или д„„, или просто д. Его однородные компоненты обозначаются через Эл(и, о): Нл(С ) + Нл — ь(С ) и дл(и, о); Нл(Сл)-+ Нл+'(С'), По опРеделению, длЯ постРоениЯ обРаза класса пЕ Нл(Сл) пРи Э надо выбРать цикл глЕ Ул(с') из класса и, затем элемент х иэ С, для которого с(х) =г"; тогда Ых имеет вид и (! ), т' Е С „,, и Э (о) есть класс гомологии цикла г' т 2.
Комялексы А.модулеа В терминах соответствий Э„(и,о) получается, тыснм образом, исходя из соответствия и,,' т е е(я ее„' между С„и С„) посредством перехода. к подмножествам Е„(Се) и Уя т (С '), а затем и их фактормножествам Н„(С" ) и Н„т (С ' ) . Это показывает, в частности, что если заменить С, С, С, и, с на С(р), С (р), С (р), и(р), с (р), то Э(и(р), с(р)) = (-!)н Э(и, с); (4) кроме того, если Л и и — два обратимых злемента из центра кольца А, то Э(Ли, до) = Л тд е Э(и, с). (й Можно также установить связь гомоморфнзма Э (и, с) со змеевидной диаграммой (с.
9) . Согласно предложению 2, с. 9, последовательности О +Ел(С ) — ~ Хя(С) Еи(С~) тя(и) Ея(о) Ся /Вя (С ) Ся/Вя (С) С ~ /Вя (С ) О где ия и с „получаются из и и и, точные. Используя канонические точные последовательности (У„), получаем комму гагивную диаграмму с точными строками и столбцами." ' О О О Н„(С') — "-е Н„(С) — Сд о Н„(С") С.'/В.(С ) —" С./В.(С) — ' С /В.(С") — ΠΠ— ь 2„,(с') — "--' — "ч 2„,(с) — "— '-'е- Х,,(с") н„,(с') ".
'"', н„,(с) " '"' н„,(с") О О О Гомоморфизм Н„(С") - Н„, (С'), ассоциированный с этой диаграммой (с. 9, предложение 2 (ш) ), совпадает по построению с Э„(и, с) . Это влечет, кроме того, что последовательность гомоморфнзмов (Н„(и), Н„(с), Э„(и, с), Н„т (и), Н„, (о)) точная; следовательно, имеет место Т е о р е м а ! . Неограниченная в обе стороны последовательность гомоморфизмов А-модулей - - н„„(с") — '"'ФФ н,(с ) — ""'"' н„(с) ""' н„(с-) — н„,(с) — ".--'-'"' н„.,(с) — ""-"-"' н.,(с")-'"-*-'"-"-' н„,(с) —. точная.
Эта последовательность называется гомологической точной последовательностью, ассоциированной с точной последовательностью (и,с)) ее записывают иногда в виде точного треугольника А-модулей Н(С) н<е~~г ~ ни! н(с') ~, н(с") . Э 2. Комлгексм А.моаулей Следствие 1. Если два из трех комплексов С,С',Со имеют нулевую гомологию, то третий хамов же. Ллл юго чтобы морфизм и (соответственно о) был гомологизмом, необходимо и достаючно, чтобы комплекс С" (соответственно С') имел нулевую гомологию. Яля гого чтобы гомоморфизм д (и, и),был биекгивным, необходимо и достаточно, чтобы комплекс С имел нулевую гомологию.
С л е де т в и е 2. Пусть и — морфизм компаексов. Если комплексы Кег ии Со)саги имеют нулевую гомологию, то и — гомологиз.. Лействительно, пусть и: Е -+Е' — морфизм комплексов. Если Кег и (соответственно Со)сети) имеет нулевую гомологню, то канонический морфнэм Е-о!ти (соответственно 1т и ~ Е') является гомологнзмом согласно следствию 1.