Главная » Просмотр файлов » Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра

Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 12

Файл №947363 Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (Бурбаки Н. - Начала математики) 12 страницаБурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363) страница 122013-09-15СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

П р е д л о ж е н н е 2. Рассмотрим коммутативную диаграмму комплексов с точными строками Π— С' о С вЂ” о С" — О О С;ю С го С", О Тогда Н(г ') о д(и, и) = д(и,, с,) о Н(( "). Пусть а Н Н(С ); пусть г — цикл из класса а и х — элемент нэ С, для которого о(х) =г; лмеем: (Э„„о Н()"'))(а")= д„и, (У'о(го))ви г' Щ(х))= и)'(и '(бх)) Н()')(и '(бх))=(Н(г"')о Эи „)(ао). П р и м е р. Пусть С вЂ” комплекс. Рассмотрнм каноническую точную последователь- ность (1) о цс) - с — в(с)( — 1) . о, и пусть (: В(С) ~У, (С) — каноническое вложение.

Тогда связывающий гомоморфнзм д ()', б): Н(В(С)) ( — 1) -оН(Е (С)) ( — 1) отождествляется с гомоморфизмом Н(1) ( — 1), как немедленно проверяется. Так как Н(Ь) =О, то гомологическая точная последа. вательность, ассоциированная с П) „распадается на короткие точные последовательности (Пл) О.+Вл(С) -+ Е„(С) — Н„(С)-+О. Приложчнил: 1. Огигулярмгл юмологил ПУсть А - кольцо. Йпя ловкого топологичеюгеоэ пространства Х следующим образом определя- етсл щигуллримй комплекс С(Х, А) этого пространства с коэффициентами в А: В Д обозначвм через (е„) канонический базис; каноллческлм л-мерным снмплекеом назыОч) веется выпуклал оболочка йл множества (е„..., е„).

Ппя 1 и (О, ..., л) определим аффинноо отображение Н. й„г йл,полатев эг(е») е» п(м» < г н П(е») =г»+г прн»в(. Обеэннмм 'вРез Сл(Х. А) А-модуль А ~, пю в„(х) — множество непрерывных отображений.й„в х; (т„(х)) прн л < О полозам С„= О.

Плл 1 а ( О,..., л) определим лянеавое отображение ь „, р С„(Х, А) Сл т(Х, А), полазав аип(гг) = ег,, ДЛЯ г а ол(Х), л цолоэч)отав< х(-1) Ьл Ь ПРоверяетал ° С (Х А) ~Си-г(Х А) — комплекс. Вп» гомологля называется сингулярной гомологигй пространства Х с коэффнциентг.- ьм в А н обоэначмтся врез Н(Х, А) нлл просто Н(Х) .

Вщн у — подпространсгво в Х, то через С(Х, у, А) обозначкм факторкомтщекс С(Х, А)/С(У, А) и через Н(Х, У„А) — его гомологяю. Из теоремы 1 следует, что имеет место точная псщецова- тепъность Ни(У А) Ни(Х А) о Нл(Х Ъ А) Нл-1(У А) Ни-1(Х А) 2. Коигчимг клеточные иомллексм. Пусть Х вЂ” отлелнмое толологн некое пространство. Коиечиое клеточное разбиение пространст- ва Х эадаетсл возрастающеа последовательностью (Х„) „а Х замкаттых поДпространств в Х, улоа- лещорпюпмй следующем усцонням: (ОХ Ф прн и<О; (л) существует Н, для которого Хк = Х (следовательно, Х„= Х прп всех л > и)' 4 2.

Комплексы А-модулей (ГН) для всякого л пространство Хл — Хл г имеет только конечное испо связных компонент, называемых клетками размерностн л; (1т) для всякого л н всякой свазной компоненты С пространства Х„- Х„г сушесшуег гомеоч морфнзм открьпого евклидова шара Вл размерносш л (ТС, Ч), р. 10) на С, который продолжаетсв до непрерывного отображения замкнутого шараа Х. Можно показать, что кз этих условнй следует, чго Н„(Х„, Хл г, А) предспшляет собой свободный А-модуль Г„ранга, равного чвслу клеток размерностн л, н что Нг(Хл, Хл г, А) 0 прн 1 в л. Имеем: С(Х„, Х„г, А) - "С(Хл, Хл т, А)/С(Хл г, Хе з, А), откупа получается точнаяпоснедовательносгь ал Нл(Х„, Х„з) Нл(Хл, Хл — г) Нл — г(Хл 1, Хл — з) Нл-г(Хл, Хл-з) включающая свлзмвающяй гомоморфнзм а„: Гл Гл г.

Имеем: ал ал+г = 0; шо позволяетопре'гп делить комплекс Г: ... -~ Гл Г„ Точная последовательность Н„+Г(ХР, Х„ 1)-~ Нл(ХР ,)-~ Н„(ХР)- Н„(Х,, Хр ,)- Нл ,(Хр ,) показывает внпукцкей по р, что Нл(ХР) 0 прк р < л, что Н„(Х„) =Кег(ал: Г„ - Г„ г) н что Нл(Хр) = Н„(Г) прн р > л.

В частности, Н„(Х) отожшствляется с Нл(Г). П р н м е р. Рассмотргм проязведенне сфер 8, х Б, н комплексное проекзнвное пространство Р (С). Пуси Ь в Вз, определим клеточное разбненне (ул) пространства У = $ х б„полагая Ч, =Ч, =((Ь, Ь)), Ч, лу, =((Ь] х б,) о (б, х (Ь)), Ч, =б, х З,; зто разбиение включает одну клетку размерносш О, лве — размерности 2 н'одну — размерносгк 4. Влффермншалы ассоцннрованного комплекса по необходимости нулевые, следовательно„модулк Н,(У), Н,( г) в Н (У) свободные ранга 1, 2 н 1 соответственно н Нл(Ч) = 0 прн л к (О, 2, 4).

Клеточное разбиение (Ел) пространства Р,(С) получим, полагая Ер Ег Я(с), Ез = 7,, Р,(С), Е, =Р,(С) где пространспзо Р,(С) вложено в Р,(С) (ТС, ЧШ, р. 20), а с — векоторав точка нз Р,(С); это ртзбкенне включает по одной клетке размерностн О, 2 л 4. Здесь снова днфференпналы комплекса по необходнмосгн нулевые, откуда следует, что модуль Нл(рз(С)) нзоморфен А прн л и (О, 2, 4) н 0 в противном случае. Так как модули гомолопш степени 2 двух рассмотренных пространств свободньге ранга 2 и 1 соответственно, зтн про странсзва не го мео мо рфны.

° 4. Гомотопин О и р е д е л е н и е 4. Пусть (С, с() и (С', с(') — два комплекса,у н К вЂ” два морфизма С в С . Гомогопией, связывающей у' с я, называется всякий градуированный А гомоморфизм степени 1 из С в С', для которого а — у= с(' е з+ ге г(. Говорят, что морфизмы у" и я гомотопны, если существует гомотопия, связьшающаяг сб. Если й — третий морфизм С в С и если з (соответственно г) — гомотопия, шзязываю.

щая г с й (соответственно Ю с й), то з+ г — гомотопня, связываклдая у с й; следовательно, отношение "у' и а — два гоьготопных морфизма С в С " есть отношение эквивалентности, классы которого называются гомогопическими классами морфизыов С в С . Еслв ланы деа тополошческлх пространсша Х л Ч и непрерывное отображеняе У: Х У, то определяется лннейюзе отображенве ( сннгулярного комплекса (см. и. 3) С(Х, А) в С(У, А), пря котором /,(ег) = еу, дпя з и ьл(Х).

Зто отображеняе представляет собой морфнзм комплексов. ))ва непрерывных отобрэженкя У и г пространства Х в У называются тополошшскл еомоголлммх, если существует непрерывное отображение й пространства (О, 1) Х Х в У, дпя которого Ь(0, х) = = Г(х) к Ь(1, х) = Г (х) прн всяком х н Х. Показывается, что еслн у н Г топологяческн гомотопны то морфнзмы /, в г, пзмотопны в смысле данного выше определения 4. именно этот факт обьясвют прои схо жденле термкнолошн, нпгользуемой в алгебре., П р е д по же ни е 3.

Если у'ил — два гомогопных морфизма Св С', то Н(()= Н(я). Пустьз — гомотопия,связывающая г с я. Имеем (К вЂ” У) (Е(С)) = (Н о з + г е г() (Е(С)) = (г(' а т) (Е(С)) С В(С ), следовательно, Н(а — у)м О и Н(Х)м Н(у). й д Комилексы А-модулей С л е д с т в и е. Морфиэм, гомотопный гомологизму, является гомологизмом. П р е д л о ж е н и е 4. Пусть С, С', Р, Р' — четыре комплекса, /': С вЂ” С, я: С -+ С', и: Р -' С, гс С' ° Р— четыре морфиэма.

Если з — гомогопия, связывающая з' ся, го оо з о и — гомошпия, связывающая оо Г" о и и оо г о и. Если Г" и я гомошины, то оог'ои и погон такжегоззогоиньз. Это очевидно. С л е д с т в и е. Пусть С, С', С" — три комплекса, ~'и » — даа морфиэма С а С',з"1 и аз — даа морфиэма С' в С". Если з и зз — гомоюиии, салзьгаающие)' ся иУ, сяз соотаесгвенно, то з, о)+й, о з представляет собой гомотоиию, связывающую Т~ оз с Я1 «й. Если Т' и З'з гомотонны й и Яз оюгветсгвенно, го моРфизм У, от' гомогоигн гг о а. Действительно, зз о )' связывает у, о г' с з, о Г", а г, о з связывает г, о у с г, о а. О и р е де л е ни е 5. Морфизм комплексов з': С ~ С' называется гомогоиизмом, если существует морфизм р": С' - С, для которого у' о у и у« /' гомотопны 1с и 1с~ соответственно.

Ясно, что Т тогда тоже гомотопизм; говорят также, что з' — обратный к 1' марфа зм с шчносгью до гомотопии Если г' и у ~ — любые два обратных к з' с точностью до гомо! ! топни, то Т и уз гомотопны (лействительно, согласно предыдущему следствию, мор. физм )з = У, о 1с гомотопен Тз о г о У и, следовательно, гомотопен 1с о У = Т ). П р е д л о ж е н и е 5. Всякий гомотопиэм является гомологиэмом; композиция гомогонизмоа — гомоюнизм. Морфиэм, гомотонный гомоптиэму, — гомотопизм Пусть|': С-+С из1. С -'С вЂ” гомотопизмы комплексов,1: С -«СиУз.

С -+С— морфизмы, обратные нм с точностью до гомотопии. Имеем: Н(з') . Н(() = Н(у'. Г) = Н(1,) = 1и1,1 (предложение 3) и точно так же Еф') о Н(у') = 1, 1с,), .следовательно, отобрахинне Н(г) биективно и У' — гомолопгэм. С другой стороны, морфизм (1' о У",) о (з'з о У) гомотопен )' о 1 о з' (предложение 4), следовательно, гомотопен 1с., точно так хю, морфизм ((з з) о (з о з'з) гомотопен 1 . и У', о З' — гомотопиэм. Наконец, если я: С -+ С вЂ” морфизм, гомотопный з, то морфнзм )' о я гомотопен/ оо Т, следовательно, гомотопен 1с, .точно так же морфизм я о з' гомотопен г о з ', следовательно, гомотопеи 1с, и й — гомотопиэм.

С л е д с т в н е. Пусть С, С, Р, 0 — четыре комплекса,ггС С вЂ” морфиэм, и; 0-«С и сс С' - 0 — гомотоиизмы.,7ля того чтобы морфиэм о«У«и бьгл гомошпиэмом (соответственно гомологизмом), необходимо и достаточно, чтобы У обладал соответствующим свойсшом. Если ~' — гомотопизм (соответственно гомологизм), то о о у о и — композиция гомотопизмов (соответственно гомологизмоа, следовательно, обладает тем же свойством. Обратно, пусть и н о — морфизмы, обратные и и о с точностью до гомотопии; тогда морфизм бо (поз'о и) о й гомотопен У согласно предложению 4; отсюда следует требуемое заключение, согласно предложению 5 и следствию из предложения 3.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
3,59 Mb
Тип материала
Предмет
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Бурбаки Н
Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6559
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее