Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 12
Текст из файла (страница 12)
П р е д л о ж е н н е 2. Рассмотрим коммутативную диаграмму комплексов с точными строками Π— С' о С вЂ” о С" — О О С;ю С го С", О Тогда Н(г ') о д(и, и) = д(и,, с,) о Н(( "). Пусть а Н Н(С ); пусть г — цикл из класса а и х — элемент нэ С, для которого о(х) =г; лмеем: (Э„„о Н()"'))(а")= д„и, (У'о(го))ви г' Щ(х))= и)'(и '(бх)) Н()')(и '(бх))=(Н(г"')о Эи „)(ао). П р и м е р. Пусть С вЂ” комплекс. Рассмотрнм каноническую точную последователь- ность (1) о цс) - с — в(с)( — 1) . о, и пусть (: В(С) ~У, (С) — каноническое вложение.
Тогда связывающий гомоморфнзм д ()', б): Н(В(С)) ( — 1) -оН(Е (С)) ( — 1) отождествляется с гомоморфизмом Н(1) ( — 1), как немедленно проверяется. Так как Н(Ь) =О, то гомологическая точная последа. вательность, ассоциированная с П) „распадается на короткие точные последовательности (Пл) О.+Вл(С) -+ Е„(С) — Н„(С)-+О. Приложчнил: 1. Огигулярмгл юмологил ПУсть А - кольцо. Йпя ловкого топологичеюгеоэ пространства Х следующим образом определя- етсл щигуллримй комплекс С(Х, А) этого пространства с коэффициентами в А: В Д обозначвм через (е„) канонический базис; каноллческлм л-мерным снмплекеом назыОч) веется выпуклал оболочка йл множества (е„..., е„).
Ппя 1 и (О, ..., л) определим аффинноо отображение Н. й„г йл,полатев эг(е») е» п(м» < г н П(е») =г»+г прн»в(. Обеэннмм 'вРез Сл(Х. А) А-модуль А ~, пю в„(х) — множество непрерывных отображений.й„в х; (т„(х)) прн л < О полозам С„= О.
Плл 1 а ( О,..., л) определим лянеавое отображение ь „, р С„(Х, А) Сл т(Х, А), полазав аип(гг) = ег,, ДЛЯ г а ол(Х), л цолоэч)отав< х(-1) Ьл Ь ПРоверяетал ° С (Х А) ~Си-г(Х А) — комплекс. Вп» гомологля называется сингулярной гомологигй пространства Х с коэффнциентг.- ьм в А н обоэначмтся врез Н(Х, А) нлл просто Н(Х) .
Вщн у — подпространсгво в Х, то через С(Х, у, А) обозначкм факторкомтщекс С(Х, А)/С(У, А) и через Н(Х, У„А) — его гомологяю. Из теоремы 1 следует, что имеет место точная псщецова- тепъность Ни(У А) Ни(Х А) о Нл(Х Ъ А) Нл-1(У А) Ни-1(Х А) 2. Коигчимг клеточные иомллексм. Пусть Х вЂ” отлелнмое толологн некое пространство. Коиечиое клеточное разбиение пространст- ва Х эадаетсл возрастающеа последовательностью (Х„) „а Х замкаттых поДпространств в Х, улоа- лещорпюпмй следующем усцонням: (ОХ Ф прн и<О; (л) существует Н, для которого Хк = Х (следовательно, Х„= Х прп всех л > и)' 4 2.
Комплексы А-модулей (ГН) для всякого л пространство Хл — Хл г имеет только конечное испо связных компонент, называемых клетками размерностн л; (1т) для всякого л н всякой свазной компоненты С пространства Х„- Х„г сушесшуег гомеоч морфнзм открьпого евклидова шара Вл размерносш л (ТС, Ч), р. 10) на С, который продолжаетсв до непрерывного отображения замкнутого шараа Х. Можно показать, что кз этих условнй следует, чго Н„(Х„, Хл г, А) предспшляет собой свободный А-модуль Г„ранга, равного чвслу клеток размерностн л, н что Нг(Хл, Хл г, А) 0 прн 1 в л. Имеем: С(Х„, Х„г, А) - "С(Хл, Хл т, А)/С(Хл г, Хе з, А), откупа получается точнаяпоснедовательносгь ал Нл(Х„, Х„з) Нл(Хл, Хл — г) Нл — г(Хл 1, Хл — з) Нл-г(Хл, Хл-з) включающая свлзмвающяй гомоморфнзм а„: Гл Гл г.
Имеем: ал ал+г = 0; шо позволяетопре'гп делить комплекс Г: ... -~ Гл Г„ Точная последовательность Н„+Г(ХР, Х„ 1)-~ Нл(ХР ,)-~ Н„(ХР)- Н„(Х,, Хр ,)- Нл ,(Хр ,) показывает внпукцкей по р, что Нл(ХР) 0 прк р < л, что Н„(Х„) =Кег(ал: Г„ - Г„ г) н что Нл(Хр) = Н„(Г) прн р > л.
В частности, Н„(Х) отожшствляется с Нл(Г). П р н м е р. Рассмотргм проязведенне сфер 8, х Б, н комплексное проекзнвное пространство Р (С). Пуси Ь в Вз, определим клеточное разбненне (ул) пространства У = $ х б„полагая Ч, =Ч, =((Ь, Ь)), Ч, лу, =((Ь] х б,) о (б, х (Ь)), Ч, =б, х З,; зто разбиение включает одну клетку размерносш О, лве — размерности 2 н'одну — размерносгк 4. Влффермншалы ассоцннрованного комплекса по необходимости нулевые, следовательно„модулк Н,(У), Н,( г) в Н (У) свободные ранга 1, 2 н 1 соответственно н Нл(Ч) = 0 прн л к (О, 2, 4).
Клеточное разбиение (Ел) пространства Р,(С) получим, полагая Ер Ег Я(с), Ез = 7,, Р,(С), Е, =Р,(С) где пространспзо Р,(С) вложено в Р,(С) (ТС, ЧШ, р. 20), а с — векоторав точка нз Р,(С); это ртзбкенне включает по одной клетке размерностн О, 2 л 4. Здесь снова днфференпналы комплекса по необходнмосгн нулевые, откуда следует, что модуль Нл(рз(С)) нзоморфен А прн л и (О, 2, 4) н 0 в противном случае. Так как модули гомолопш степени 2 двух рассмотренных пространств свободньге ранга 2 и 1 соответственно, зтн про странсзва не го мео мо рфны.
° 4. Гомотопин О и р е д е л е н и е 4. Пусть (С, с() и (С', с(') — два комплекса,у н К вЂ” два морфизма С в С . Гомогопией, связывающей у' с я, называется всякий градуированный А гомоморфизм степени 1 из С в С', для которого а — у= с(' е з+ ге г(. Говорят, что морфизмы у" и я гомотопны, если существует гомотопия, связьшающаяг сб. Если й — третий морфизм С в С и если з (соответственно г) — гомотопия, шзязываю.
щая г с й (соответственно Ю с й), то з+ г — гомотопня, связываклдая у с й; следовательно, отношение "у' и а — два гоьготопных морфизма С в С " есть отношение эквивалентности, классы которого называются гомогопическими классами морфизыов С в С . Еслв ланы деа тополошческлх пространсша Х л Ч и непрерывное отображеняе У: Х У, то определяется лннейюзе отображенве ( сннгулярного комплекса (см. и. 3) С(Х, А) в С(У, А), пря котором /,(ег) = еу, дпя з и ьл(Х).
Зто отображеняе представляет собой морфнзм комплексов. ))ва непрерывных отобрэженкя У и г пространства Х в У называются тополошшскл еомоголлммх, если существует непрерывное отображение й пространства (О, 1) Х Х в У, дпя которого Ь(0, х) = = Г(х) к Ь(1, х) = Г (х) прн всяком х н Х. Показывается, что еслн у н Г топологяческн гомотопны то морфнзмы /, в г, пзмотопны в смысле данного выше определения 4. именно этот факт обьясвют прои схо жденле термкнолошн, нпгользуемой в алгебре., П р е д по же ни е 3.
Если у'ил — два гомогопных морфизма Св С', то Н(()= Н(я). Пустьз — гомотопия,связывающая г с я. Имеем (К вЂ” У) (Е(С)) = (Н о з + г е г() (Е(С)) = (г(' а т) (Е(С)) С В(С ), следовательно, Н(а — у)м О и Н(Х)м Н(у). й д Комилексы А-модулей С л е д с т в и е. Морфиэм, гомотопный гомологизму, является гомологизмом. П р е д л о ж е н и е 4. Пусть С, С', Р, Р' — четыре комплекса, /': С вЂ” С, я: С -+ С', и: Р -' С, гс С' ° Р— четыре морфиэма.
Если з — гомогопия, связывающая з' ся, го оо з о и — гомошпия, связывающая оо Г" о и и оо г о и. Если Г" и я гомошины, то оог'ои и погон такжегоззогоиньз. Это очевидно. С л е д с т в и е. Пусть С, С', С" — три комплекса, ~'и » — даа морфиэма С а С',з"1 и аз — даа морфиэма С' в С". Если з и зз — гомоюиии, салзьгаающие)' ся иУ, сяз соотаесгвенно, то з, о)+й, о з представляет собой гомотоиию, связывающую Т~ оз с Я1 «й. Если Т' и З'з гомотонны й и Яз оюгветсгвенно, го моРфизм У, от' гомогоигн гг о а. Действительно, зз о )' связывает у, о г' с з, о Г", а г, о з связывает г, о у с г, о а. О и р е де л е ни е 5. Морфизм комплексов з': С ~ С' называется гомогоиизмом, если существует морфизм р": С' - С, для которого у' о у и у« /' гомотопны 1с и 1с~ соответственно.
Ясно, что Т тогда тоже гомотопизм; говорят также, что з' — обратный к 1' марфа зм с шчносгью до гомотопии Если г' и у ~ — любые два обратных к з' с точностью до гомо! ! топни, то Т и уз гомотопны (лействительно, согласно предыдущему следствию, мор. физм )з = У, о 1с гомотопен Тз о г о У и, следовательно, гомотопен 1с о У = Т ). П р е д л о ж е н и е 5. Всякий гомотопиэм является гомологиэмом; композиция гомогонизмоа — гомоюнизм. Морфиэм, гомотонный гомоптиэму, — гомотопизм Пусть|': С-+С из1. С -'С вЂ” гомотопизмы комплексов,1: С -«СиУз.
С -+С— морфизмы, обратные нм с точностью до гомотопии. Имеем: Н(з') . Н(() = Н(у'. Г) = Н(1,) = 1и1,1 (предложение 3) и точно так же Еф') о Н(у') = 1, 1с,), .следовательно, отобрахинне Н(г) биективно и У' — гомолопгэм. С другой стороны, морфизм (1' о У",) о (з'з о У) гомотопен )' о 1 о з' (предложение 4), следовательно, гомотопен 1с., точно так хю, морфизм ((з з) о (з о з'з) гомотопен 1 . и У', о З' — гомотопиэм. Наконец, если я: С -+ С вЂ” морфизм, гомотопный з, то морфнзм )' о я гомотопен/ оо Т, следовательно, гомотопен 1с, .точно так же морфизм я о з' гомотопен г о з ', следовательно, гомотопеи 1с, и й — гомотопиэм.
С л е д с т в н е. Пусть С, С, Р, 0 — четыре комплекса,ггС С вЂ” морфиэм, и; 0-«С и сс С' - 0 — гомотоиизмы.,7ля того чтобы морфиэм о«У«и бьгл гомошпиэмом (соответственно гомологизмом), необходимо и достаточно, чтобы У обладал соответствующим свойсшом. Если ~' — гомотопизм (соответственно гомологизм), то о о у о и — композиция гомотопизмов (соответственно гомологизмоа, следовательно, обладает тем же свойством. Обратно, пусть и н о — морфизмы, обратные и и о с точностью до гомотопии; тогда морфизм бо (поз'о и) о й гомотопен У согласно предложению 4; отсюда следует требуемое заключение, согласно предложению 5 и следствию из предложения 3.