Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Говорят, что комплекс С гомогоиен нулю, если морфизм 1с гомотолен нулевому отображению, т.е. если существует градуированный зндоморфизм з степени 1 модуля С, для которого 1с =год+доз. Это равносильно также тому, что однозначно определенный морфизм 0 — С (соответственно С -+ 0) является гомотопизмом. Комплекс, гомотопный нулю, имеет нулевую гомологию. П ри ме р. Пусть и: М- Х и о: Х. Р— гомоморфизмы А-модулей, для которых сои=О; пусть С вЂ” комплекс,в котором Сз =М,Сз =Х, Со =Р, Сг =0 прн 140,1,2, дз =и, дг = о, д; = 0 при 1«ь 1, 2. Тогда комилекс С имеет нулевую гомологию, если и о и только если последовательность 0 «М — й — о Р-+.О точнал.
Он гомотопен нулю, если и юлька гели зга последовательность расщепляема. Действительно, тот факт, что комплекс С гомотопен нулю, означает, что существуют А-гомоморфизмы г Р-«Х, и Г: Х -+ М, для КОтОрЫХ О о З = 1р, З о О + И о Г = 1и, Г о и = 1М, Эта ВЛЕЧЕТ, Чта ПОСЛЕде- 1 2. Комплексы А-модулей вателыюсть расщепляется; обратно, если з — А-линейное сечение гомоморфизма о, то определим г из условия и о г = 1н — го о, что возможно, так как со (1н — г о о) =о — оозао =О 5. расщепляемые комплексы П ре дл о же ни е б. Пусть (С, д) — комплекс, Следующие условия эквивалентны: (1) существует гомотопиэм (С, а) на (Н(С), О); (Н) существует градуированный степени 1 А-эндоморфизм г модуля С, для которого а м б о я о а; (ш) В(С) и Е(С) — прямыемножители модуля С; (<ч) (С, д) — прямая сумма подкомллексов, которые либо имеют длину О, либо длину 1 и нулевую гомологию.
(1) ~ (й). Пусть р: С вЂ” Н(С) — гомотопизм, тогда существуют морфизм комплексов Ф: Н(С) — С и градуированный степени 1 эндоморфизм г модуля С, дпя которых ф о,р = 1с — г о д — д о з, Имеем: д о т> = т> о О = О, следовательно, Π— и а <е а ю = д — и о е о и — и а и о г = с< — и о г а д, откуда следует (Н) . (П) ~ (ш). Пусть г — эндоморфнзм, фигурирующий в условии (Н). Тогда д о (1с — г о д) = О, следовательно, 1с — з о д — проектор С на Е (С) и (д о г) а д = с<, следовательно,Ы а г — проектор С на В(С).
(ш) (1т). Для каждого л ЕЕ положим Е„= Е„(С), Вк а В„(С) и выберем подмодули К„и В„' в С„, для которых С„= В„'в Уо, Х„=К„е В„. Тогда Е<„> = К„( — и) и Г<„> = В„'( — л) о В„ >(1 — л) — подкомплексы в (С,г<); имеем: (С,д) = Э (Е<„> о Г<„>), камсдый комплекс апа Е <„> либо нулевой, либо длины О, каждая комплекс Р <„> либо нулевой, либо длины 1 с нулевой гомологией, откуда следует (1т).
(1ч) ~ (1) Достаточно заметить, что условие (1) удовлетворяется, когда комплекс С длины нуль или с нулевой гомологней и длины 1. О и р е и е л е н и е б. Комплекс С называется расщепляемым, если он удовлетворяет эквивалентным условиям предложения 6. Зпдоморфизм г для С, удовлетворяющий условию (Н) предложения б, называется расщеплением С. П р и м е р ы 1. Комплекс с нулевым дифференциалом расщепляется. 2. Комплексы, гомотопные нулю, представляют собой расщепляемые комплексы с нулевой гомологией, т.е.
комплексы С, дпя которых Н(С) =О и е.(С) — прямой множитель в С. З.Пусть т" М- Х вЂ” гомоморфизмА-модулейн С вЂ” комплекс,для которого С, =М, Со = Х, С< = О прн 1 = О, 1, д1 = т", Ы< = О при 1 Ф 1. Тогда С расщепляем, если и только если Кег т" — прямой множитель в М и 1пт т — прямой множитель в Х. 4. Комплекс С расщепляем, когда модули В(С) и Н(С) проективны (соответственно когда В„(С) и Н„(С) инъективны для каждого л). Действительно, согласно точным последовательностям (1„) —.
(1Ч„) нз и. 1, тогда Х(С) — прямой множитель в С и В(С)— прямой множитель в Х(С) (соответственно В (С) — прямой множитель в С и Х(С)/В(С)— прямой множительв С/В(С)). 5. В частности, если А — кольцо главных идеалов, свободный комплекс С расщепляем, если н только если комплекс Н(С) свободный (т.е. Н„(С) — свободный модуль дпявсякого лба). 3 а м е ч а ни е.'а) Предположим, что каноническая точная последовательность градуированных А-модулей (11) О.
В(С) Х(С) — + Н(С) — О расщепляема (это имеет место, например, если модуль Н(С) проектнвен нли модуль В„(С) ннъективен для каждого л); пусть о: Н(С) -+ Х(С) — градуированное А-линейное б 3. Комплексы А-модули) сечение отображения л и пусть Ф вЂ” гомоморфизм хг а(х) модуля Н(С) в С. Тогда Ф вЂ” гомологиэм комплекса (Н(С), О) а С, длл которого Н(Ф) = 1н(с). б) Предположим, что каноническая точная последовательность грвдуированных А-модулей ([ ч) О . Н(С) — С/В(С) -+ В(С) ( — 1) — О расщепляема (это имеет место, например, если модуль В(С) проективен или модуль Н„(С) ииъективен для каждого л); пусть т: С/В(С) - Н(С) — градуированная А-линейная ретракпия для вложения г' и р — гомоморфизм модуля С в Н(С), сопоставляюший каждому элементу из С образ при т его класса по модулю В(С).
Тогда ф — гомологизм комплекса С в(Н(С), О), для которого Н(чг) 1н(с). б. Конус н дилнндр морфизмв комплексов Пусть и: (С, й ) ~(С,й) — морфизм комплексов. Пусть Су[(и) и Сод(и) — градуи- рованныеА-модули Су1(и) = С'е С'( — 1) еС, Соп(и) =С'( — 1) еС; определим градуиро- ванные А-линейные отображения степени — 1: 0; Су[(и) — Су1(и), 0(х, у, х) = (й х +у, — й у, йх — и(у )), Р; Сол(и)- Соп(и), Р(у', х) =(-й'у', йх — и(у')), (Здесь и в дальнейшем через х, у, ...
обозначаются произвольные элементы иэ С, через х, у, . — произвольные элементы из С .) Л е м м а 2. (Су1(и), Р) и (Соп (и), Р) — комплексы А-модулей. Действительно, имеем: 0 е 0(х', у', х) 0(й'х' +у', — с['у', йх — и(у')) = =(й(йх'+у) — йу', -й( — йу), й(йх — и(у ))- и(-й у )) =О, так как й'ай'жО, йей=О и йеи иай'. Точнотакже 0еР=О. Оп ре деле ние 7. Комплексы Су1(и) и Соп(и) называются соответственно «и- линдром и конусом морфизма и. Приме р. Пусть и: М-ь[ч' — гомоморфизм А модулей; тогда единственными ненулевыми компонентами комплексов Су1(и) и Соп(и) будут Су!, (и) = М, Су!о(и) = М е [ь[, Соп,(и) = М, Соло(и) = )ч, при этом 0(лг) = (нг, -и(гл)), Р(гл) = — и(ги) для гл Е М; следовательно, Н,(Соп(и)) = Кег(и), Нс(Соп(и)) Со1сег(и).
е Пусть Х н У вЂ” два топологн неких пространства н 1 — непреРывное отображение Х в У. Пялнлдром 1 называется факторпросгранство Су!Щ топологпческой суммы пространств [О, 11 х Х Х н У по отношению эквивалентности, отождествляющему точку (1, х) пространсша [О, 11 х Х с точкой ! (х) пространства г' для всякой точкк х н Х. Конусом 1 называется фак- торпросгранство Сол(/) топологической суммы пространства, состоящего нз одной точки г, н пространства Су1(О ло отношению эквнаалентносгн, отолоюствляющему г с образом в Су!Я точкн (О,х) для всякой точки хиХ; образ точки г в Сол(1) будем по-прежнему обозначать юрез г. Предположлм, что Х л У наделены клеточными разбиениями (Х„) н (гл) (см.и.
3), н пред- пололкм, что У(Х„) С Ул ДЛЯ ВСЯКОГО Л. Мы полу мм клеточное разбиение (Бл) пространства СУ!Я (соответственно Соп(Г)),велев качестве Зл обРаз подлРостРанства ((О» Х Х„) ы ([О, 11 Х Х Хл 1) О Ул (соответственно [г»ы ([О, 11 х Х„!) О 'гл),есин л ж О Обозна им через Г(Х), Г(у), Г(Су1Я), Г(Соп(Л) комплексы, ассоиннрованные с этнмн клеточными разбиениями.
Комплекс Г(г), асгоплнрованнью с пространством (г), наделенным своим едннственпым клеточным разбне- нлем, гно>ются к модулю А н отождествляется с подкомплексом в Г(Сов(1")); обознапгм че- рез Г(СолЯ,г) факторкомщекс. Отображение г" определяет морфнзм комплексов Г Я: Г(Х) Г(у), н можно показать, что комплексы Г(Су!Я) н Г(СолЯ, г) отожпествляюгся соответствен- на с Су!(Г(1)) н Сол(Г(г)). Впрочем, и без дололннтельных предположений отнонгтельно Х н У с отображением У ассо.
пнлруется морфнзм коьюлексов 1",: С(Х, А) С(У, А). Можно построить ннъектлвнью гомото- пнзмы комплекса Су!(у,) в С(Су!Д). А) н комплекса Соп(у,) в С(СопЯ,(г». А). 3 2. Комилексы Л-модулей 41 Пусть тг Х Суг(3) — отобрювение, сопостевлваицее точке х образ точюг !О, «), л; у Су1 (у)— кыюничзсноеотображеннеи й. "Су!!г") У вЂ” отображение, сопоставллалцее точку у ее образу в су1(/) лли у и у и точку г (х) образу Ос х) в су!Я плл го!0,!!и хо х. Отображение у опреце- ллет гомеоморфнзм пространства х на замкнутое полпространспзо в су1(г"3, й о 1ву и ото- бражение л е топологнчеслн гомотолло тожцествелному отображеиню пространства су1!У1.
зги свойства можно сопостюнть с предложением 7 мгле. ° Рассмотрим теперь градуированньге А-линейные отображении степени 0: й: С'-+ Су1(и), й(х')=(х',0,0), ес С -+ СУ1(и), о(х) (О, О, х), 33: Су!(и)-+ С, 33(х', у', х) = и(х') +х, и: С -+ Соп(и), п(х) = (О, х), гг: Су!(и). Соп(и), н(х',у',х)л(у',х), б: Соп(и)-+С'( — 1), б(у', х) =у'. П р е д л о жение 7. а) Отобрагкения й, и, 33, и, н, б — морфиэмы комгиексов; име- ЕМ: и !3 а й, Н = Н а О, б а О л 1С. б) Последовательности морфизмов комплексов 0 — С ' — "~ Су1(и) — + Соп(и) -+ О, (6) 0- С вЂ” Соп(и) — + С'( — 1)- 0 (7) точные.