Главная » Просмотр файлов » Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра

Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 13

Файл №947363 Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (Бурбаки Н. - Начала математики) 13 страницаБурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363) страница 132013-09-15СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Говорят, что комплекс С гомогоиен нулю, если морфизм 1с гомотолен нулевому отображению, т.е. если существует градуированный зндоморфизм з степени 1 модуля С, для которого 1с =год+доз. Это равносильно также тому, что однозначно определенный морфизм 0 — С (соответственно С -+ 0) является гомотопизмом. Комплекс, гомотопный нулю, имеет нулевую гомологию. П ри ме р. Пусть и: М- Х и о: Х. Р— гомоморфизмы А-модулей, для которых сои=О; пусть С вЂ” комплекс,в котором Сз =М,Сз =Х, Со =Р, Сг =0 прн 140,1,2, дз =и, дг = о, д; = 0 при 1«ь 1, 2. Тогда комилекс С имеет нулевую гомологию, если и о и только если последовательность 0 «М — й — о Р-+.О точнал.

Он гомотопен нулю, если и юлька гели зга последовательность расщепляема. Действительно, тот факт, что комплекс С гомотопен нулю, означает, что существуют А-гомоморфизмы г Р-«Х, и Г: Х -+ М, для КОтОрЫХ О о З = 1р, З о О + И о Г = 1и, Г о и = 1М, Эта ВЛЕЧЕТ, Чта ПОСЛЕде- 1 2. Комплексы А-модулей вателыюсть расщепляется; обратно, если з — А-линейное сечение гомоморфизма о, то определим г из условия и о г = 1н — го о, что возможно, так как со (1н — г о о) =о — оозао =О 5. расщепляемые комплексы П ре дл о же ни е б. Пусть (С, д) — комплекс, Следующие условия эквивалентны: (1) существует гомотопиэм (С, а) на (Н(С), О); (Н) существует градуированный степени 1 А-эндоморфизм г модуля С, для которого а м б о я о а; (ш) В(С) и Е(С) — прямыемножители модуля С; (<ч) (С, д) — прямая сумма подкомллексов, которые либо имеют длину О, либо длину 1 и нулевую гомологию.

(1) ~ (й). Пусть р: С вЂ” Н(С) — гомотопизм, тогда существуют морфизм комплексов Ф: Н(С) — С и градуированный степени 1 эндоморфизм г модуля С, дпя которых ф о,р = 1с — г о д — д о з, Имеем: д о т> = т> о О = О, следовательно, Π— и а <е а ю = д — и о е о и — и а и о г = с< — и о г а д, откуда следует (Н) . (П) ~ (ш). Пусть г — эндоморфнзм, фигурирующий в условии (Н). Тогда д о (1с — г о д) = О, следовательно, 1с — з о д — проектор С на Е (С) и (д о г) а д = с<, следовательно,Ы а г — проектор С на В(С).

(ш) (1т). Для каждого л ЕЕ положим Е„= Е„(С), Вк а В„(С) и выберем подмодули К„и В„' в С„, для которых С„= В„'в Уо, Х„=К„е В„. Тогда Е<„> = К„( — и) и Г<„> = В„'( — л) о В„ >(1 — л) — подкомплексы в (С,г<); имеем: (С,д) = Э (Е<„> о Г<„>), камсдый комплекс апа Е <„> либо нулевой, либо длины О, каждая комплекс Р <„> либо нулевой, либо длины 1 с нулевой гомологией, откуда следует (1т).

(1ч) ~ (1) Достаточно заметить, что условие (1) удовлетворяется, когда комплекс С длины нуль или с нулевой гомологней и длины 1. О и р е и е л е н и е б. Комплекс С называется расщепляемым, если он удовлетворяет эквивалентным условиям предложения 6. Зпдоморфизм г для С, удовлетворяющий условию (Н) предложения б, называется расщеплением С. П р и м е р ы 1. Комплекс с нулевым дифференциалом расщепляется. 2. Комплексы, гомотопные нулю, представляют собой расщепляемые комплексы с нулевой гомологией, т.е.

комплексы С, дпя которых Н(С) =О и е.(С) — прямой множитель в С. З.Пусть т" М- Х вЂ” гомоморфизмА-модулейн С вЂ” комплекс,для которого С, =М, Со = Х, С< = О прн 1 = О, 1, д1 = т", Ы< = О при 1 Ф 1. Тогда С расщепляем, если и только если Кег т" — прямой множитель в М и 1пт т — прямой множитель в Х. 4. Комплекс С расщепляем, когда модули В(С) и Н(С) проективны (соответственно когда В„(С) и Н„(С) инъективны для каждого л). Действительно, согласно точным последовательностям (1„) —.

(1Ч„) нз и. 1, тогда Х(С) — прямой множитель в С и В(С)— прямой множитель в Х(С) (соответственно В (С) — прямой множитель в С и Х(С)/В(С)— прямой множительв С/В(С)). 5. В частности, если А — кольцо главных идеалов, свободный комплекс С расщепляем, если н только если комплекс Н(С) свободный (т.е. Н„(С) — свободный модуль дпявсякого лба). 3 а м е ч а ни е.'а) Предположим, что каноническая точная последовательность градуированных А-модулей (11) О.

В(С) Х(С) — + Н(С) — О расщепляема (это имеет место, например, если модуль Н(С) проектнвен нли модуль В„(С) ннъективен для каждого л); пусть о: Н(С) -+ Х(С) — градуированное А-линейное б 3. Комплексы А-модули) сечение отображения л и пусть Ф вЂ” гомоморфизм хг а(х) модуля Н(С) в С. Тогда Ф вЂ” гомологиэм комплекса (Н(С), О) а С, длл которого Н(Ф) = 1н(с). б) Предположим, что каноническая точная последовательность грвдуированных А-модулей ([ ч) О . Н(С) — С/В(С) -+ В(С) ( — 1) — О расщепляема (это имеет место, например, если модуль В(С) проективен или модуль Н„(С) ииъективен для каждого л); пусть т: С/В(С) - Н(С) — градуированная А-линейная ретракпия для вложения г' и р — гомоморфизм модуля С в Н(С), сопоставляюший каждому элементу из С образ при т его класса по модулю В(С).

Тогда ф — гомологизм комплекса С в(Н(С), О), для которого Н(чг) 1н(с). б. Конус н дилнндр морфизмв комплексов Пусть и: (С, й ) ~(С,й) — морфизм комплексов. Пусть Су[(и) и Сод(и) — градуи- рованныеА-модули Су1(и) = С'е С'( — 1) еС, Соп(и) =С'( — 1) еС; определим градуиро- ванные А-линейные отображения степени — 1: 0; Су[(и) — Су1(и), 0(х, у, х) = (й х +у, — й у, йх — и(у )), Р; Сол(и)- Соп(и), Р(у', х) =(-й'у', йх — и(у')), (Здесь и в дальнейшем через х, у, ...

обозначаются произвольные элементы иэ С, через х, у, . — произвольные элементы из С .) Л е м м а 2. (Су1(и), Р) и (Соп (и), Р) — комплексы А-модулей. Действительно, имеем: 0 е 0(х', у', х) 0(й'х' +у', — с['у', йх — и(у')) = =(й(йх'+у) — йу', -й( — йу), й(йх — и(у ))- и(-й у )) =О, так как й'ай'жО, йей=О и йеи иай'. Точнотакже 0еР=О. Оп ре деле ние 7. Комплексы Су1(и) и Соп(и) называются соответственно «и- линдром и конусом морфизма и. Приме р. Пусть и: М-ь[ч' — гомоморфизм А модулей; тогда единственными ненулевыми компонентами комплексов Су1(и) и Соп(и) будут Су!, (и) = М, Су!о(и) = М е [ь[, Соп,(и) = М, Соло(и) = )ч, при этом 0(лг) = (нг, -и(гл)), Р(гл) = — и(ги) для гл Е М; следовательно, Н,(Соп(и)) = Кег(и), Нс(Соп(и)) Со1сег(и).

е Пусть Х н У вЂ” два топологн неких пространства н 1 — непреРывное отображение Х в У. Пялнлдром 1 называется факторпросгранство Су!Щ топологпческой суммы пространств [О, 11 х Х Х н У по отношению эквивалентности, отождествляющему точку (1, х) пространсша [О, 11 х Х с точкой ! (х) пространства г' для всякой точкк х н Х. Конусом 1 называется фак- торпросгранство Сол(/) топологической суммы пространства, состоящего нз одной точки г, н пространства Су1(О ло отношению эквнаалентносгн, отолоюствляющему г с образом в Су!Я точкн (О,х) для всякой точки хиХ; образ точки г в Сол(1) будем по-прежнему обозначать юрез г. Предположлм, что Х л У наделены клеточными разбиениями (Х„) н (гл) (см.и.

3), н пред- пололкм, что У(Х„) С Ул ДЛЯ ВСЯКОГО Л. Мы полу мм клеточное разбиение (Бл) пространства СУ!Я (соответственно Соп(Г)),велев качестве Зл обРаз подлРостРанства ((О» Х Х„) ы ([О, 11 Х Х Хл 1) О Ул (соответственно [г»ы ([О, 11 х Х„!) О 'гл),есин л ж О Обозна им через Г(Х), Г(у), Г(Су1Я), Г(Соп(Л) комплексы, ассоиннрованные с этнмн клеточными разбиениями.

Комплекс Г(г), асгоплнрованнью с пространством (г), наделенным своим едннственпым клеточным разбне- нлем, гно>ются к модулю А н отождествляется с подкомплексом в Г(Сов(1")); обознапгм че- рез Г(СолЯ,г) факторкомщекс. Отображение г" определяет морфнзм комплексов Г Я: Г(Х) Г(у), н можно показать, что комплексы Г(Су!Я) н Г(СолЯ, г) отожпествляюгся соответствен- на с Су!(Г(1)) н Сол(Г(г)). Впрочем, и без дололннтельных предположений отнонгтельно Х н У с отображением У ассо.

пнлруется морфнзм коьюлексов 1",: С(Х, А) С(У, А). Можно построить ннъектлвнью гомото- пнзмы комплекса Су!(у,) в С(Су!Д). А) н комплекса Соп(у,) в С(СопЯ,(г». А). 3 2. Комилексы Л-модулей 41 Пусть тг Х Суг(3) — отобрювение, сопостевлваицее точке х образ точюг !О, «), л; у Су1 (у)— кыюничзсноеотображеннеи й. "Су!!г") У вЂ” отображение, сопоставллалцее точку у ее образу в су1(/) лли у и у и точку г (х) образу Ос х) в су!Я плл го!0,!!и хо х. Отображение у опреце- ллет гомеоморфнзм пространства х на замкнутое полпространспзо в су1(г"3, й о 1ву и ото- бражение л е топологнчеслн гомотолло тожцествелному отображеиню пространства су1!У1.

зги свойства можно сопостюнть с предложением 7 мгле. ° Рассмотрим теперь градуированньге А-линейные отображении степени 0: й: С'-+ Су1(и), й(х')=(х',0,0), ес С -+ СУ1(и), о(х) (О, О, х), 33: Су!(и)-+ С, 33(х', у', х) = и(х') +х, и: С -+ Соп(и), п(х) = (О, х), гг: Су!(и). Соп(и), н(х',у',х)л(у',х), б: Соп(и)-+С'( — 1), б(у', х) =у'. П р е д л о жение 7. а) Отобрагкения й, и, 33, и, н, б — морфиэмы комгиексов; име- ЕМ: и !3 а й, Н = Н а О, б а О л 1С. б) Последовательности морфизмов комплексов 0 — С ' — "~ Су1(и) — + Соп(и) -+ О, (6) 0- С вЂ” Соп(и) — + С'( — 1)- 0 (7) точные.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
3,59 Mb
Тип материала
Предмет
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Бурбаки Н
Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6559
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее