Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Положим Е (Е,) = Г) Е«(Е,), В (Е,) О В„(Е,) и Е = Е (Е,)/В (Е,). Говорят, «>э «>з что спектральная поо»едовательность регулярна, если Убьвавщаа последовательность (Е„(Е, )) > з сгаиионаРиа длпвсЯкой паРы (Р, 9), Р.э б) Пусть Е = (Е«с««и«)„> з н Е' = (Ег,с/«о'„) > з — Пве слектРальлые поогедовательностн А-модулей; мор(ритмом из Е в Е' иазьваетсп последовательность мор4ызмов А-комплексов и„: Е„Е„', совместимых с биградунровкемн н таких, что и'„Н(и„) = и„+1 и, длп всякого г > 2.
Показать, что для всякого г > 2 и вспкоп» й > «+ 1 иг ил«гуцирует г»моморбжзм Ел(Е„) (соот- ветственно Ва(Е„)) в Еа(Е„') (соответственно Ве(Е„')). В часпвсти,и, индуцирует гомоморфизмы Е (и,); Е (Е,) Е (Е,'), В (и,): В (Е,)-+ В (Е,'г:, и: Е -«Е'; всеэтип»моморфизмысовме- стимы с бнграцуировкаьаэ. в) Предположим, что и, — нэомор4мзм.
Показать,что тогда и„— нзоморфизм длп всякого «> 2, так же как и В (и,), Испи, кроме того, спектральные последователывсти Е и Е' регулярны, то Е (и,) и и — иэоморфнзмм, г) Пусть С = н С" — градуированный А-модуль, наделенный убывающей последователь. ян Е иоспв (ИРС) пЕ грацуироваиных Аподмодулей, длп которой Г)Ряб Ои ОРРС = С. Говор«п, РЯ Р Р что спектральная последовательность Е аппраксимирует (С, (РРС)рпЕ) (или просто С). если сур, Да р Р+9 ры Р+9 ществуютизоморфизмырр'9: е ' - (ррс) /(УР с) дллвслкого (р, 9) и е х е. Говорят, по шектреиьная пооэедовательность Е сгодится к С, есин она аппраксимирует С и если, кроме того: (1) спектральная последовательность Е регулярна; (О) для всякого целого л существует такое целое р, что (ррс) О.
Предполозым, что Е (соответственно Е') сходится к С (соопгетственно С'). Пусп и» Е - Е'— мор4мзм спектральных последовательностей, в С - С' — такой градуированный гомоморфнзм степени О, что е(р РС) с ррб' при всяком р и иидуцированиьж гомоморфизмы ср'я (ИРС)г/(р~ С)" «(ИРС«)"/(РР С )" удовпетворюот соотнощенив ели~я йр'9= р'Р 9 и Р«9 дпя всякой пары (р, 9). Показать, ~о если и, — изоморфизм длз всякой пары (р, 9), то с — изо- мор4мзм.
15. Пусть Š— шекзрельнап попэедовательность А-модулей, которая аппроксньмрует градуиро- ванный А-модупыб (упраявеине 14) . Р,ч а) Предположим, что Е, = О п(ж р < О. Показать, что отображения о„' нндуцируютдлявся- кого 9 ннъективиые гпмоморфизмы; О«9 ОЩ Е -' ... -'Еэ Е,', откуда посредством композиции с (Р '") ' и с отббражением перехода к фактормоЛУлю получаетсв О,ч О«9 А-гомомор4ызм тч: се еэ Рч б) Предположим, что Е, = О при 9 < О. Показать, что отображении о„нндуцирувт сврьектив- ные гомоморфизмы р,о р,о р,о Е, -'Еэ -' ...
-'Е р,о р р,о откуда посредством компоэнцни с рр' получается А-гомоморфизм 6 ": Е, -«СР, Рч в) Предположим, что уловлетворзвтса ушовия из а) и б), т.е. е, О, если р < О или 9 < О. Показать, что последовательность 6' 'Г' аэ 6 О Еэ«,е «С««рзч«э Еэ,е Сэ то чная.
Рп г) Предполозам, что Е, ' = О, если р > О или 9 > О; определить точную последовательность, анелогичнув указаювй в в) . Вч д) Прппдолояым, что существувт такие целые чиша г, «( где г( > г > 2. что Е„О еоги р ФО«(, Рпределить точную по следов ательносты а, -а „Ол ая+Г Э „+1 ...-«Е С Е Е' Г -«С $2. /(омнлексм А-модулей РЮ Если, аналон»чио, Ег = 0 прн Ю «ь О, Ы, то показать, что сущесаует точная последовючлыюсть л,о н я-д, д л+1,0 ...-«Е О Е ' Ег е) Предполояжм, что Е, О, есин Ю л 0 (соответсэвенно р «ь 0), Показать, что гоьюзюрфизм РЮ л, но н о,л е: Е,' - О (соответственно т: О - Е,' ) б»ективеи для всякого я. 1 16.
пусть с — комплекс А-модулей, (Ррс)рю е — убьюающая последовательность подложи. лексов в С. а) Для Р Ю, г ц Е пусть Мг - мпоаюстао элементов х из(РРС)Р Ю для которых для РР 'С; ° Р.Ю Р,Ю Р-г+1,Ю+г-2 Р+1,Ю-1 РЮ пж» г > 0 полозам Ег М, /(Ы(Мг 1 ) + М, ) и обоэнаЧнм чеуезде: Ег .
р+г, Ю вЂ” г+1 Ег ' гомоморфизм, получаемый иэ с? переходом к факгормодулям. Показать, что длп всякого г > 0 существует иэоморфизм о„: Н(Е,) — Ее+1, так что последовательность (Р, с?г)г > наделенная отображениям» аг, предсоюляет собою спектральную последователю?ость. Имеем: Е -(Р С) /(Р С) б) Предположим, по (гРРС = С и что для всякого л существует такое целое Р, чю (РРС) = О. Р Показать, что спектральная последовательность, определенная в а), ц»олнтю» (упрюаненне 14) к гр:щуированиому А-модулю Н(С), наделенному поо?едователаносгью градуированных подмодулей РРН(С) Ьп Н(?Р), гДе!Р? Р?С-+С вЂ” кююническое зловоние.
в) Если Р «С = С, то А-модУль Ег нУлевой пю» Р < 0; если (Р~С) = 0 пРн Р >н,то Ег =0 РЮ р о Р.Ю пж» Ю <О. г) Пусть С' — второй комплекс, (Р?«С') >ю Š— убмэающап последовазелзность подкомпяексов в С', Е' — ассоциированная спектральная последовательность. Пуси и: С- С' — ъюрфизм комплексов, при котором и (Ряс) с Ррс' азл всякого р. показать, что ц индуцирует морфием аюктральньвс последовательностей й: Е Е'. д) В обозначениях из г) пусть ю С«С~ -второй морфием, п?н котором о(РРС) С РдС« для всю кого Р, и пусть А — гомотопия, связывающая и с о.
Пусть 8 — такое целое число > О, чгой(Р?'С) с СРР С' длявсякого р. Показать,что йг=ог пж» г>?с. 17. Пусть С вЂ” Рико ыплекс (с. 48 упрезэе~ие 11) . а) Определюч две Убывающие последовательности ('Р С) Р ц Е я ( Р С), ц Е подкомплексов Р Ю комплекса, ассоциированного с С, положив Пусть 'Е и "Š— соответствующие спектральные последовательности (улрюхнение 16, а)). Показать, что для всякой пары (р, Ю) А-модуль 'Е?'Ю (соотаегстаенио «Е?'Ю) пзоморфен 'НР("НЮ(С)) (соответственно "Н?г('НЮ (С) ) ) . б) Предположим, что существует такое целое л, что СР'Ю О при Р > л или при Ю < л, Показат, что спектральная последовательность 'Е сходнтсв к Н(С). Если, аналогично, существует целое ю, дла которого ср'Ю 0 при Р < гл ющ при ю > ю, то спектральная послецовательмость "е сходится кН(С).
в) Преллоложим, что СР'Ю 0 при р < 0 или Ю < О. Показать, что гомоморф?пм ер". 'Е'," Н?'(С) (упражнение 15) получас»ся ПоереДстВОМ ПсреХода к гомоЛОгии ИЗ КаНОнпческого влОжения комплексов "2«(С) С. Аналогично, гомоморфизм «Е, чг НР(С) получается нэ вложения 'У«(С) -«С г) Пусть С вЂ” второй бпкомплекс, 'Е и "Š— две ассоциированные спектральные последовательности. Показать, что всякий морфием бикомплексов и; С-+ С индуцирует морфизм спектральных последовательностей 'и: 'Е- Е и "и: "Е - "Е. Показать, что если два морфизма н, о нэ С в С гомотопны, то ассоциированные морфизмы 'и и 'о (соответственно "и иго) Раеим (использовать упрюхна?ие 16, д) ) .
18. Пусть Š— спектральная последовательность (Упражнение 14), в которой А-модуль Е, имеет конечную длю»у. Пусть Ж вЂ” множество классов А-модулей конечной длины; показать, что ХЮ(Ез) = ХР(Ег) = ХЮ(Е ) для всякого г > 2 (с. 44), Если, кроме того, Е сходятся к граоуированному А модулю О, то он имеет кояечную длину н хн(О) хн(Ез). 19. Симллнциальной схемой называется пара (К, х), где К вЂ” множество и Р- некоторое мно. жестло конечных подмножеств в К, называемых гранями К, причем всякое подмножество грани явллетсл гранью и всякая точка из К принюшежпг по кра(?ней мере одной грани.
Самгинциельимм 4' 1 2. /Гомллексы А-мадулей 52 отображением симплщщальной схемы (К, р) в симплнциальную схему (1„ж) называется отображение К в К, которое переводит всякую грань К в грань 1.. а) Пусть л — целое число > 0; л-симллексом снмплнцначьной схемы К называетсл всякая последовательность (а,..., а„) элементов ю К, в которой все аг принадлежат одно» и той же грани К. Обозначим через Бн(К, А) свободный А-модуль, порожденный псимплексами при л > О, н положим Б„(К, А) = 0 иРи л < О. ОПРеделнм А-гомомоРфиэм Ил: Бл(К, А) ° Бл 1(К, А) л положив ~глеО лр«л < 0 н йл(аг,...,ал) Е (-1)(аг,...,ог,...,а„) длл ася«ого л-с»мл 1 О лекса (ар,...,ал) прн л г 1 (знак над буквой обозначает, что она должна быть опущена). Показать, что Ил 1 чс/и 0 для всякого л, так что ($(К, А),Н) — комплекс А-модулей. Определим также А-комплекс С(К, А), положив С"(К, А) = Нощ (Бл(К, Е), А), Э Нощ О/а,1А) для всякого н, При л > 0 иногда обозначают через Нл(К, А) (соответственно Н" (К, А)) А-модуль Нл($ (К, А)) (соответственно Н (С (К, А))).
б) Пусть К, К вЂ” две симплицнальных схемы, /1 К 1, — симплщцюльнае отображение. Показать, что/ индуцирует морфюмы комплексов $(У): $(К.А) $(1.,А) и С(~): С(1.,А) -~С(К,А), откуда получаем гомоморфизмы / °: Н (К, А) -г Н (1„А) и /: Н (1., А)-г Н (К, А). в) Пусть я: К -г К вЂ” второе снмплициальное отображение. Говорат, что 1" и я симгыилиельло гомоголлы, если длл всякой граца о ю к множество / (а) о я (а) представляет собой грань в к. Показать, что тогда морфюмы $ (1) и Б ($) (соответственно С(/) и С(я) ) гомотопны (определить гомотопню А, положив л А(ог,..., ал) Е (-1) (1 (ое),..../" (а(), я(аг),...,5(ал)) 1=0 пля всякого л симплекса (ае,..., ол)). г) Говорят, чта снмллнциальная схема К халичеслаз, если существует такая точка э в К, что пля всякой грани а в К подмножество аы (Э) явплется гранью.
Показать, что тогда существуют гомотопнэмы комплексов Б (К, А) и С(К, А) на А. д) Обозначим через П(К, А) градуированный подмодуль в Б (К, А), порожденный снмплексами (а„..., а„), в которых две иэ точек а1 равны, и элементами вида (а„..., ал) — е (а) (аа(о),... ..., аа(л) ) для всвкаго и симплекса (ор,..., ал) и всякой перестановки а множества (О,..., л ) Показать, что П(К, А) — подкомпиекс в $(К, А) н что отображение перехода к факторкамплексу р: Б (К, А) - $ (К, А)/Р(К, А) явлются гомотопизмом (обратный гоматопизм получаегсв выбором линейного порядка на К н сопоставлением классу симплекса (а„....а„) по модулю Р(К,А) элемента е(а) (аа(в),,аа(„)),где а-перестановка,пдвкоторойао(а) « . аа(л) если все аг различны, и 0 в противном случае) .
'20. Пусть К - полное кольцо дискретного нормирования (АС, У1, 5 3, и' б; Коммутативная алгебра, 111, с. 450) с полем вычетов /г характерисппсн р > О. Предположим, что поле частных кольца К имеет характеристику О. Обозначим через а нормирование кольца К„через  — максимальный идеал в К и через д ' — мультиплнкативную группу единиц в К. Пля вюкого целого л > 0 пусть д' (л) — подгруппа К", образованная элементами х дла которых а (х — 1) > л. а) Пусть г — целое число, г > а (р) / (р — 1) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
