Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Левая резольвента (В(А, М), ем) для М называется стандартной резольвентой А-модуля М. Если А и М вЂ” проективные (соответственно свободные, шюские) й-модули, то стандартная реэольвента В(А, М) представляет собой проективиую (соответсгвенно свободную, плоскую) реэольвенту для М. 1 й Ретрльвенти 9. Резольвенты и группы Гротеиднка Если Ж вЂ” некоторое множество классов А-модулей, то будем говорить, что левая резольвента (Р, р) ограниченная типа Ж, если комплекс Р ограниченный типа Ж (с.
43). Тео рема 1. Пусть Жр и Ж вЂ” два аддитивных и точных слевамножества классов А-модулей, для которых Жрб Ж и всякий А-модуль типа Ж обладает ограниченной левой резольвентой типа Ж. Тогда гомоморфизм а: К(Жр) - К(Ж), получаемый из вложения Жр в Ж, биективен; если М вЂ” А-модуль типа Ж и Р— ограниченная левая резольвента для М типа Жр, то а '(1М4 ) = Хсе„(Р) (с. 44, пример 6). Ле м ма 6. Пусть т": М' «М — гомоморфизм А-модулей типа Жи р: Р«М— ограниченная левая резольвента для М типа Жр.
Существуют ограниченнач левая ре- зольвента р: Р'- М" типа Жр и морфизм комплексов и: Р'-+Р, для которого р о и =1' о р'. Рассуждаем индукцией по длине п резольвенты Р, причем утверждение тривиально, когда последняя ( О. Рассмотрим отображение й: М Х Рр -+ М, при котором й(х,у) =У(х) — рр(у) для хЕ М, у Е Рр, и его ядро К; А-модуль К имеет тип Ж, так как й сюръективно и М' Х Рр и М вЂ” мо- дули типаЖ. Пусть и: Рр «К — сюръективный гомоморфизм, где Рр — некоторый мо- дуль типа Жр; обозначим через рр: Рр +М' (соответственно ир: Рр +Рр) компо- зицию гомоморфнзма й и проекции К-оМ (соответственно К. Рр); гомоморфизм о р р сюръективен, и имеет место коммутативная диаграмма Рр оо" Рр Ро') )Ро М' — о М. У Достаточно теперь применить индуктивное предположение к гомоморфизму Кегрр + Кегрр, получаемому из ир.
Л е м м а 5, Жссмотрим коммутативную диаграмму Р'-чо- РΠ— М'- М -ь- М" — О, ° У в которой (Р, р) (соответственно (Р', р')) — леван реэольвента для М (соответствен- но М') и нимняя горнзонтрльнаа строка представляет собой точную последовательность. Существуетгомологизм р: Соп(и) - М Действительно, точная последовательность (с. 41, предложение 7) О-+ Р-ц«Соп(и) — + Р'( — 1)-о О дает гомологическую точную последовательность -+ Н„(Р) -о Н„(Соп(и)) - Н„1(Р ) -+... ...- Н, (Соп(и)) -+ Нр (Р') — + Нр(Р) -+ Нр(Сон(и)) «О.
Согласно лемме 3, а), с. 41, д = — Нр(и). Так как Нн(Р) = О = Не)Р') при и> О и так как отображение Нр(и): Нр(Р') -оНр(Р) отождествляется с У': М «М, то заключаем, что Н„(Соп(и)) =О при и> О и что модуль Нр(Соп(и)) изоморфен М, откуда следует утверждение леммы. Покажем теперь теорему. а) Пусть М вЂ” А-модуль типа Ж .
Дпя всякой ограниченной левой резольвенты (Р, р) модулЕ М типа Жр злемент Х~, (Р) нз К(Жр) зависит только от М. Действительно, пусть (Рю р1) и (Рг рг ) — две резольвенты зтого типа. Рассмотрим резольвенту (Р1 Хрз; р, Хр,) б И Резоаьеелгм А модуля М ХМ и гомоморфизм Ь; хь (х,х) из М в М ХМ. Согласно лемме 4, существуют ограниченная резольвента ((), д) для М типа Ыо и коммутативная диаграмма о —" с~ ~Р~ " Рг М-4 М хМ; из нее получаем коммутативную диаграмму ч~ ~ю М вЂ” «М, г'= 1,2 Согласно лемме 5, Соп(и» ргг) имеет нулевую гомологню, следовательно, и» ргг— гомологнэми)(я Я) =Х, (Р() (с.44,предложение!0); изэтогоследует,что у,(Р,) = = ха, (Рз), что и утверждалось, б) Лля всякого А-модуля М типа г» пусть чг(М) Е К(гасо) обозначает общее значение элементов )(я (Р) для всех ограниченных левых реэольвент Р модуля М типаЮо.
Покажем, что функция р: 'с» .» К( Ыо) аддитивна. Пусть, следовательно, О- М'- М-+М»- Π— точная последовательность А.модулей типа г(» . Согласно лемме 4, существует комму- татнвная диаграмма Р' -"-ь- РΠ— ~ М'-» М вЂ” »- М» — ~ О, Р в которой (Р, р) и (Р, р ) — ограниченные левые резольвенты типа йо. Тогда имеем: чз(М)=)(я (Р), чз(М')=)(я, (Р') и, согласно лемме 5, Р(М»)=Х„, (Соп(и))м)(я, (Р) — Х, (Р')= р(М) — р(М'), что н требовалось доказать. в) Пусть теперь /3: К((ь ) -' К(йо) — гомоморфиэм, при котором, в предшествую- щих обозначениях, /)(1М)я) Х,, (Р).
Так как р — гомологиэм, то Х (Р) = (М1(г,сле- довательно, а» /)((М)гг) а()(, (Р)) = )(, (Р) = (М)гг и а» /) = 1к(„,) . Если М типа 'и о, то (М, 1м) — резольвента модуля М, следовательно, р (М) = 1М) „. и /)» и= 1к(,,), что завершает дэказательство теоремы. Мы применим зту теорему к модулям "конечной проективной размерности" в б 8 (с. 144). Упразалеиил 1. Пусть а, Ь вЂ” двз таких элемента иэ А, что левый зннулятор элемента а (соотиетстиенно Ы ранен идеалу АЬ (соотаетственно Аа) .
Показать, что последовательность Еа ЕЬ аа аЬ ба Аз Аа-» Аа Аз-» ... А Аа А/Аа О, з которой ба (соотиетстаенно за) обозначает умыоженне спреиэ на а (соотиетстиенно ыа Ь), определяет свободную резольиенту А-модуля А/Аа. Показать, что этэ конструкпия применима и следующих двух случаях: а) ПустьА» — кольпо; возьмем Ае А»(е) (с.32),а Ь=с. а) пусть С вЂ” конечная пиклическья группа, а — порождающий группы С, й — коммутэтизное кольна.
Возьмем А й' ', а = 1 — ео, Ь = 2' ес. (о) оно 2. Предположим, что кольна А коммупггнаио. Пусть  — некоторал А алгебра; для и н О обозначим через«"6 (В) теызорное произиеденне ызд А (и+ 1) модулей, рззыых В. Положим»е (В)" спрн л и ! 3. Резалзаенгм и < 0 и.~б(В) = ь Л" (В), Определим градуированный Аондоморфизм Ы верхней степени +1 насб(В), л положив: не! б(Ь,е...еЬ„)= х. ( — 1) Ь,е...ФЬ( ге!ВФЬге...еб„для Ь„...,Ь„ый, (=о а) Показать, что с( с( = О, так что( з(В), с() — комплекс А.модулей.
Если М вЂ” некоторый А-модуль, то обозначим через гз(В, М) комплекс, в котором хй" (В, М)= эб"(В)еА М, а дифференциал есть Й е 1М. б) Предполоясим, что алгебра В предстаплнет собой строго плоский А.модуль (с 26, упражнение 9). Показать, что комплекс об(В, М) определяет правую резольвенту А модуля М. (достаточно проверкгь, что комплекс В ея.гр(В, М) определяет резольвеиту для В еА М; построить А-лииеййый гомотопизм между этими двумя комплексами.) 3. Пусть  — кольцо, Ф вЂ” двусторонний идеал в В, Ь вЂ” левый идеал в В, содержащая Ф.
Обозначим через А кольцо В/Ф, через р: В А — гомоморфизм перехода к факторкольпу и через Ь~ — идеал р(Ь) С А. а) Рассмотрим последовательность канонических вложений ФЯЬ Ф ФЯ Ь Ф .. Ф Ь В. Показать, что последовательность, получаемая тензорным умножением на В/а: Ф" Ь( Ф"+1Ь Фиг а"+' ... Ф (аз Ь(а Ь А, определяет'левую резольвенту А-модуля А/Ь'. б) Предположим, что идеалы Ф и Ь представлнют собой свободные левые В-модули.
Показать, что предыдущая резольвента является свободной резольвеитой А.модуля А/ Ь'. в) Пусть С вЂ” группа, й — коммутативное кольцо. А =й — групповая алгебра группы С над /с, (С) е: А й — гомоморфиэм й-алгебр, при котором е (ея) = 1 для всякого й Е С. Наделим Ь структурой (левого) А-модула, оПРеделаемой гомомоРфизмом е.
Пусть (йь),~1 — некотоРое поРождающее се- мейство группы С, Р— свободная группа, построенная иа 1, В = й( °, з; Р С вЂ” гомоморфизм, /РЪ при котором х(г) = яа Для гЫ 1, р; В А — гомоморфизм й.алгебр, получаемый из з. Показать, что идеалы Ф Кег (р) и Ь = Кег (е р) являются свободными левыми В-модулями; получать отсюда свободную резольвенту !с -модупя й. (а) (Согласно1 р.147,ехегске 20, группа Кег и обладает некоторым базисным семейством (го)оку; показать, что элементы (ег — 1) длЯ а Ы ! (соответственно (е — 1) дла гЫ 1) обРазУют базис ле- вого В-модуля Ф (соответственно Ь ).) г) В обозначениях из в) положим К Кег(з); пусть Ф: К К/(В, К) — отображение переходак факторгрупле. Нацелим х-модуль й ау К((й, К) структурой А-модуля, для которой е,(()()е (гя=! (Угу ') при любых г ы В,У ы Р.
Показать, что существует точная посдедовательиость А-модулей 0 /с ФК К((К„К) А( ) А /с О, 4. Предположим, что кольцо А коммутативно. Пусть С вЂ” группа, К вЂ” симплициальная схема (с. 51, улрюкнение 19) . 2)ейсгеием груням С яа К называется гомоморфизм С в группу биективных симплициальных отображений симплициальной схемы К в себя. а) Действие группы С на К определяет действие на А-модуле Я (К, А) (с.
62, упражнение 19); показать, что это действие превращает 3 (К, А) в комплекс А -модулей. (с) б) Предположим, что группа С действует свободно на множестве, иа котором определена симплициадьная схема К. Показать, что А -модули Ял(К, А) свободны. (С) в) Предположим, что снмплициальная схема К коническая.
Показать,что А -комплекс 3 (К, А) определиет левую резольвеиту для А, наделенного структурой А -модуля, прн которой ееа = а (С) ' ллялюбыхя б С,ае А. г) Пусть ! С ! — снмплицнальная схема (С,эг), где Я' — мнозсество всех конечных подмножеств в С. Группа С действует на снмплициальной схеме ! С ! посредством левых сдвигов; показать, что А( ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
