Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Следствие 2. Пусть Х вЂ” плоский левый А-модуль. Длл всякого комплекса правых А-модулей С канонические гомоморфизмы 7» (С, Х): Н» (С) эл Х -+ Н» (С эх 1«1) биекгивны. Следствие 3. Пусть С' — комплекс левых А-модулей, длл которого модули В(С) и Н(С') проекгивны. Для всякого комплекса правых А-модулей С отображение 7(С, С') биективно. Действительно, комплекс С расщепляем (с, 39„пример 4) и модуль Н(С ) проектнвен; следовательно, можно применить следствие 1. 3 а м е ч а н и я.
1. Используя изоморфнзмы коммутнрования, можно вывести нз следствий 1, 2 и 3 аналогичные утверждения, получаемые обменом ролей двух аргументов тензорных произведений. 2. Мы увидим ниже (с. 84, следствие 4), что заключение следствия 1 остается справедливым, если предполагать, что комплексы С и Н(С ) плоские и С ограничен справа, 3. Тензорное произведение иа плоский комплекс, ограниченный справа Л е м м а 1. Пусть С вЂ” комплекс правых А-модулей и Š— комплекс левых А-модулей. Предположим, что Н(С) = О и что Е плоский и ограниченный справа Тогда Н(С эА Е) =О, для к С Е пусть Т. — подкомплекс в С эл Е, для которого (ь> о+ч» ч<ь Ф 4. Прааэеедеяае кручения Тогда Т(~ О С Т(»1, и имеем точную последовательность комплексов: 0-+Т(» '1-+ Т(~1-е С эл Е»( — й)-+О, где е'» — каноническое вложение и где а проектирует указанную выше прямую сум.
му на ее слагаемое С„» эл Е» = (С э,е, Е»( — й))„. Согласно следствию 2 выше, имеем; Н(С эл Е»(-»)) = О, следовательно, е» вЂ” гомологизм. Но Т~~) = 0 для дос- таточно малого lс, поскольку комплекс Е ограничен справа; следовательно, индукци- ей по» заключаем, что Н(Т(~1) = 0 для всякого В. Наконеп„канонический морфизм 1пп Т(~1 -+ С эл Е, очевидно, является иэоморфизмом, следовательно, Н(С эл Е) = = 0 (с. 34,предложение 1). Л е м м а 2. Если и: С -+ С' — морфиэм комплексов правых А-модулей и Š— комп- лекслевых Амодулей, гд комплексы Соп(и) э»Е и Соп(и э 1в) иэоморфны.
По определешпо, Соп(и) эл Е есть градуированный модуль (С ( — 1) э С) эя эя Е, наделенный дифференциалом П, при котором, для х б Ср,у Е С'(-1)р= Ф =Ср е ° геЕч, Р((у,х) э г)=(-Иу', дх — и(у')) э г+(-1)р(у',х) э дг, тогда как Соп(и э 1в) есть гРадУиРованный модУль (С' эл Е) ( — 1) э (С эя Е), наделенныйдифференциаломП»,при которомдляхЕ Ср, у еСр юг Е Еч Р,(у' э г, хэ г)= =( — Иу' э г ( 1)р у' э йг, дх э г+( — 1)рх э Ыг — и(у ) э г)= =( — ду' э г, (дх — и(у')) э )+( — 1)р(у' э дг„х э дг), откуда следует утвержцение. Предложение 4, Пусть и: С -+ С' — гомологиэм комплексов правых А-моду- лей и Š— комплекслевых Амодулей, плоский и ограниченный справа.
Тогда и э 1в. С эл Е-+ С эл Š— гомологизм комплексов Ьмодулей. Действительно, согласно следствию на с. 42 и (соответственно и э 1в) — гомологизм, если и только если Н(Соп (и)) = 0 (соответственно Н(Соп (и э 1в)) = 0)). Нужное заключение получаем теперь посредством лемм 1 и 2. Замечание. Иснользуя изоморфизмы коммутирования, можно вывести из предьщущих утверждений аналогичные утверждения, получаемые обменом ролей двух аргументов тензорных произведений.
(5) 4. Определение н простейпше свойства произведения кручения Для всякого А-модуля Е обозначим через рв. Ь(Е) -+ Е его каноническую свобод. ную резольвенту (с, 5б). О и р ел ел е ни е 1. Пусть М вЂ” правый А-модуль и Х вЂ” левый А-модуль. Произведением кручения для М и Х называетсп градуированный й-модуль Тот~ (М,Х)= Н(Ь(М) эл 1,(Х)). (4) Однородные компоненты для Тот~ (М, Х) обозначаются через Тот„(М, Х) = Ня (1. (М) эл Ь(Х)). Так как комплексы Ь(М) и 1.
(Х) нулевые справа, то Тот„'~ (М,Х)=0 при и< О, (б) Замечание 1. Ниже (с. 108, предложение б) мы рассмотрим свойства конечности модулей Тогл (М, Х). Например, если А — нетерово коммутативное кольцо и если М и Х вЂ” А-модули конечного типа, то каждый А-модуль Тоге (М, Х) имеет конечный тип. Пусть |'. М -+ М' — гомоморфизм правых А-модулей и г: Х -+ Х' — гомоморфизм левых А-модулей, положим Тот~ (1; а) = Н(ЬЩ эл Е(а)); это гомоморфизм градуи- 1 4. Произведение круеенин 76 рованных я-модулей Тога ~У;с): Тося(М,Х)-~Тот" (М',Х'), однородные компоненты которого обозначаются через Тот„(г я): Тот ~ (М, Х) .+ Тот ~ (М ', Х').
Согласно предложению 1, с. 71, канонический гомоморфнзм 7оо: Но(Ь(м)) ел Но(Ь(Х))-+ Но(1.(М) ея Ь(Х)) биективен; используя изоморфизмы М -+Но(Ь(М)) и Х.+Нв(Ь(Х)),получаем отсюда изоморфизм 7ы,н. М ел Х.+Того (М,Х), (7) называемый каноническим. Мы всегда будем отождествлять Тоссо (М, Х) с М ея Х посредством этого изоморфизма, При этом к-линейное отображение Тогол (7; я) отождествляется с Х е й. Замечание 2. морфием комплексов рм е рн.
Ь(М) ел Ь(Х) -» М ел Х индуцирует на гомологии степени О изоморфиэм 7м'и. Того (М Х)- М ел Х, обратный к 7м,н Имеем: Ь(1м) = 1Ым) Ь(1н) = 1ьОч), следовательно, переходя к гомологии, получаем: Тот~(1м, 1,ч) = 1 Если г' г М'-+М" (соответственно я': Х'- Х") огненно левых) А-модулей, то Ь(я'» я) = Ь(я') следовательно, Тот (е',г в я)и Тот (г"',й')» Тот (7;й). Рассмотрим морфизмы к.комплексов — гомоморфнзм правых (соответ- ЬМ) и Ь(У г) = Ц)') ' ЬУ). (9) ЦМ) Зь Х» ГА ЦМ) эь1.(Х) са — + М Зь Ь(Х) н «-гомоморфизмьг, которые они индуцнруют в гомологнн: Н(ЦМ) Э„Х) она ' Т "(М, Х) ~"гВ Н(М ®„ЦХ)); согласно предложению 4, с. 75, 1 е р, и рм е 1 — гомологизмы.
Отсюда: П р е д л о ж е н и е 5. к.гомогиорфиэмы Фм(Х): Тога(м, Х)-+ Н(ЦМ) ел Х), = (1цм1еРн ) (1цм1е Ые)), фи(М): Т А(М,Х)- Н(М е ЦХ)) биекгивяьс. С л е д с т в и е. Если модуль М или Хилоский, то Тот ~ (М, Х) = О лри г > О. Предположим,что модуль Х (соответственно М) плоский; тогда рм е 1: 1. (М) ея Х-' -'М еь Х (соответственно 1 ерн. 'М еАЬ(Х) -+М ех Х) — гомологизм (с.
75, предложение 4), следовательно, модУль Нг(1.(М) е„Х) (соответственно Нг(М еь 1.(Х)) нулевойприг >О. 3 а м е ч а н и е 3, Если я: Х-»Х' — гомоморфизм левых А-модулей, то (1ь1м) е Ф)» (1цм1 е Рн ) = ! 4. Произведение кручение тт следовательно, диаграмма Тот" (М, Х) — Н(ЦМ) Э„Х) тег' и, Е)~ ~нп е,> То!"'(М, Х') — Н(ЦМ) Э, Х') коммутативна. Точно так же, если т ! М -+М' — гомоморфизм правых А.модулей, то имеем коммутмнвную диаграмму: Тот" (М, Х) — — ' Н(м Эь !ЦХ)) т««" ал !)~ ~н!те !! Т "(М,Х) '"'"' Н(М'Э,ЦХ)). П р е д л о ж е н и е б. Отображение (У~ а) ь«Тот, ( У а ): Ноп!,(М,М') Х Но!ля(Х,Х')- Новь(Тот*(М,Х),Тот (М Х )) й.билинейно. Пусть ГЕ Ноюя (М, М '), я,, аз Е Ноп!(Х, Х '), Л„Лз Е й.
Тогда морфизмы Л,(!(У)ея,)+Лз(1(Г)еяз) и Щ) е(Л,а, +Лайт) из !.(М) ея Х в !.(М') ея Х'совпадают; согласно предложению 5 и замечанию 3, имеем, следовательно: Тот~(У, Л! а! + Лз аз) = Л, Тот~((,й,) + ЛтТог~Иаз). (10) Аналогичные рассуждения используются и для отображенияГ«е Тот~(К й). С л е д с т в и е. Пусть Л е й. Если элемент Л аннулирует М или Х, то он аннулирует и Тог (М. Х) .
Действительно, Л ' 1,г А! н) Тот~(Л 1м, 1н) "- Тот~(1м, Л ' 1!ч). Предложение 7, Пусть ! и ! — два множества, (Ма)ан, — семейство правых А-модулей, (ЫЕ) Ьн ! — семейство левых А-модулей. Гомоморфизм 9 Тот" (М„Х ) — Тот" (Щ М„ф Х„) "ьеее ««1 ае> получаемый из канонических гомоморфизмов Ма «е Ма и Ха -«е ХЕ, биективен. Достаточно доказать, что для всякого правого А'модуля М (соответственно всякого левого А-модуля Х) канонический гомоморфизм е Тогл(М Х )- то ~(М, е ХЬ) Ьн! Ьв! (соответственно е Тог (Ма, Х) -+Тог ( е. М, Х)) бнективен. Но зто следует ав! аа! из предыдугнего, из предложения 1, с.
34, и канонических изоморфизмов Е(ЦМ) Эь Ха) -.!.(М) Эь (Е Ха), а ь 9(М,Э„!.(Х)) (ЕМ,) Э ЦХ). « « Аналогичное рассуждение дает: Предложение 8. Пусть ! (соответственно!) — направленное вправо предУпоРЯдочейное множество, ((Ма)., (иа „') ) (соответственно ((Ха), (на ) ) — индуктивная система правых (соответственно левых) А-модулей относительно ! (со- 1 4.
ттроамедение крученая 78 ответственно 7) . Гомоморфизм градуированных 1с-модулей )пп То!я(Ма ХР)-+Тося ( 1!щ Ма, йщ Хр), (а,ЯЕгх ! ан! Рн! получаемый из канонических А-гомоморфизмов Ма - !пп Ма и ХЕ- !пиХ(ь биективен. — ь 4 В частности, взяв ! =1 и заметив, что злементы (и, и). аЕ 1, образуют конфиналь- ную часть в 1 Х1, получаем: С л е д с т в и е. Пусть 1 — направленное вправо лредулорядоченное множество, (М(, и;!) (соответственно (Х(,од)) — индуктивная система правых (соответственно левых) А,модулей относительно 1. Гомоморфизм градуированных Ьмодулей йщ Тот~(М(, Х!) -ь Тот~( !пп М(, 1!т Х!), (Е! !Е! !Е1 получаемый из канонических А-гомоморфизмов М! — 1пп М! и Х! -ь1(щ Х., биективен. Пусть М вЂ” правый А-модуль, Х вЂ” левый А-модуль, А' — кольцо, противоположное А, М ' — левый А'-модуль, определяемый правым А-модулем М, Х' — правый А'-модуль, определяемый левым Амодулем Х.
Имеем; Ь(М') = !. (М) ' и !. (Х') = Е(Х) '„откуда следует изоморфизм коммутирования (с. 71, предложение 2): о(цм), цХ)): ЦМ) в„цХ) цХ') в„цм'). При переходе к гомологии о(1.(М), Е (Х)) индуцирует градуированный изоморфнзм степени О оье и. Тот~(М,Х) -'Тот~ (Х,М'), называемый изоморфизмом коммутирования для произведений кручения. Отметим, что ои. ы * о„н=1д А и что оы и индУциРУет на членах степени О гомоморфнзм коммутировайия для тензорного произведения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
