Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

74 — 75. 1 4. Проиэеедеэие кручения 86 2. Пусть р: А  — гомоморфиэм колец, М вЂ” А-модуль, Показать, что следующие свойства эквивалентны; а) Тот, (рч(Р), М) = О для всякого правого В-модуля Р. А д) Тог, (э (Р), М) О для всякого мояогенного правого В-модуля Р. А А .г) В-модуль В е,, М плоский я Тот, (В, М) = О. (![тобы увидеть, что г) о), рзссмотретыочиую последовательность О д Ь Р О правых В-модулей, в которой Ь свободен,) 3. Предположим, что кольцо А комнутигиело.

Пусть 1 — конечное множество и (С(, д( )), (П ! ц 1, — семейство комплексов А.модулей. а) Наделим тензорное произведение е С градуировкой по типу Е и А-зндоморфизмамя (П 1 гф1 с! = е д, где с! ~ = ! при! о! и И =д . Показщьч потакимспособом мы полу- П) (П чаем 1-предкомплекс (упражнение 13, с, 49); ассоциированный 1-комплекс называется геяэоряым лроазеедением комплексов С .

Комплекс, ассоциированный с этим 1-комплексом, также называется гелэорнмм лроиэеедеяием комплексов С (!) б) Показать, что выбор линейного порядка иа 1 позволяет определить иэоморфизм комплекса, явлнющегося тензорным произведением комплексов С, на комплекс, определенный на с. 72. П) 4. Пусть а — двусторонний идеал в А. Пусть М вЂ” А-модуль, для которого Тот, (А/а, М) = О и А (А/» ) -модуль М/я М лроекги сея. а) Предположим, чэо модуль М конечно представям и я содержится в радикале кольца А нли что Я нильпотевтен.

Показать, что М проективен (использоватьЧП[, 8 8, и' 3, сот. 3). б) Предположим, что модуль М конечного типа, что !э я" = Он что (А/а )-модуль М[а М снобов деи, Показать, что А-модуль М свободен. з) 2(ать пример локального кольца А с максимальным идеалом Ю н неплоского А-модуля конечного типа М, для которого Тот, (А/Ю, М) = О. А 5. Предположим, по существует (унитарный) гомоморфизм х-элгебр э: А !с, который наделяет !с структурой А-модуля. Рассмотрим стандартную резольвенту В(А, 8) (с.

62)! для л > О ел отождествим Вя(А. !с) с АеяА н обозначим через е[а„..„ая[ элемент а е а, е, еел из Аев А а) Показать, что комплекс В(А, 8) е), В(А, !с) определвег реэольвенгу (А эк А)-модуля й. Показать, что (А ей А) -линейный гомоморфизм В(А ел А, !с) В(А, !с) за В(А, !с), при котором 8([х, эу~, - хл аул[) = Ь' е(хре! ...хяНх„...,яр[ау, Ур[ур+ь - Ул! о <"р <» лля х,, „.. хл, У„.. Увы А, представляет собою морфизм резольвент. б) Предположим, что кольцо А коммутзтивно. Покаэщь, что на В (А, 8) существует структура грэлуированной А.алгебры, относительно которой для х„..., х„щ А: [»,, ..., яр[[яр+1, „х„] = Е е(о)[хо(!), ...,хс(л)[, ай Мр,л где М р и — подмножество а !Вя, образованное перестановками о, для которых а(!) « .„ о (р) и о(р ч 1) « ...

о(я), Показать, что тогда В(А, 8) представляет собой градуированную дифференциальную А-Ългебру (с. 69. Упражнение 18), 6. Пуси Р— плоский комплекс правых А-модулей. ![ля всякого А-модуля М н всякого целого / положим Т((М) Н;(РеАМ), если и: М Н вЂ” А-гомоморфнзм, то обозначим через Т! (и) 8-гомоморфизм Н!(1Р е а), Р а) Пуск г — целое число. Показать, что следующие условия эквивалентны: о) ![ля всякого вложения л: М' М отображениеТ„(и) нньективно. Р 8) )[ля всякой сюрьекции е: М Мч отобрэжениеТ,.чт(и) аорьективно, т) Правый А-модуль Рг/Вг (Р) плоский.

1 4. Произведение кручения 87 а) Существуют плоский комплекс правых А-модулей Р', в котором днфференинал 4»+ г пулевой. Ы Р Р н для всякого А.модуля М п всякого целого г такой А-нэоморфпзмрг . Тг (М) Тг (М), что Т,, (и)«р р Т (и) длп вснкоп! А-гомоморфнзма и: М 7(.

(Чтобы доказать, что т) влечет а), определять Р ', положив Р„'«г = Е»«г (Р) и Р„' = Рг/Вг (Р),) б) Предположим дололнителыв, что коящо А ибтерово и что А-модулн Рг конечного типа. Показать, что условна из а) эквивалентны следующему условию: «) СУществУют А-модУль () и диЯ всякого А-моДУлл М такой й-изомоРфнзм гэ . Тг(М) Ножн((), М), что Ф Т„(и) = Ноп«(1, и) Ф дива«якого А гомоморфизма и: М М Н Р М (Чтобы доказать, что Ц влечет «), лерейтп к случюо, когда «Гг«Г = О, п взять в качестве () модуль, сопряженный к Е г (Р) .) в) Покиать, что результат пункта б) остается справедливым в предположении, что кольцо А нбтерово, модули Н;(Р) конечного типа пря всяком г н Нг(Р) = О при ! < «, (пспольэоватьпредпозсенне 10, с. 61) 7.

Пусть С вЂ” комплекс правых А-модулей н М вЂ” левый А-мапупь. Произведением кручеющ С н М лазываетсп градунрованный (г-мощ«ль 3о» (С, М) = Н(С е«„1(М)).Если г! С С' -'морфнэм комплексовну: М М' — гомоморфнзмА-модулей,тообоэнювм3о» (г,н) =Н(7 е Е(я)). А а) Если 7": С С' — гомологнзм, то «Уо» (7", 1) — изоморфнзм; если С вЂ” плоский п ограничен А справа, то градуированный (г.модуль 3ог (С, М) нзоморфен Н(С еА М) .

А б) Если О С' С С ' ' Π— точная последовательность комплексов правых А-модулей н если М вЂ” А-модуль, то показать, что существует точнал последовательность 3оги (С, М) 3огя (С, М) 3о»„(С", М) 3о»я ! (С', М) А А А А Есин О М' М М" ' Π— точная последовательность А-модулю(, то показать, что существует точнап последовательность до»л (С, М') 3о»й(С, М) 3о»„(С, Ми) «то»я 1(С. М') (Замещть, что сущесгвует гомотопнзм комплекса Е (М" ) на конус Е (П.) в) Показать,что существует спектральная последовательность'Е(с.49-51, упрюииеннл14-17), схо- днщаясп к «Уог (С, М), днн которой ' Ер Ч = Тоги (НЧ (С), М) . Если комплекс С ограничен справа, А ! А показать, что существует спектральнав последовательность иЕ, сходюцаясн к 3о». (СЯ),д~п кото- А рой иЕр Ч = Нр(Тоге (С, М)) (рассмотрегьбккомплексС еА 1, (М)), 8.

Пусть А,  — две l«-алгебры (ассоцнатпвные н унитарные), М вЂ” правый А.модуль, Р— левый В-модуль и )( — (А, В) -бнмодуль. а) Показать, что существуют две спектральные последовательности Ф-модулей 'Е п 'Е, сходл- щяесп к одному н тому же градуированному к-модулю, дпя которых 'Ерч Тлн,(М,Тогп(Х, Р)); 'Е,' Ч = Тот (Тоги(М,)Ч),Р). (Рассмотрегь бнкомплекс Е (М) еА ()Чей Е (Р) .) б) Есля )( — плоский В-модуль, то показать, что спектральная посведовательность 'Е сходнтсн к Тот (М, )(ей Р).

Еслп Х вЂ” плоский Амодупь, то последовательность Е сходится к А ! Тот (М ед К, Р). в) Пусть р: А-«В — гомоморфнэм 7«-алгебр. Получить из б) спектральную последовательность Е, сходящуюся к Тот (М, Р), ллн которой Ер Ч "- Т«нр(Тогч(М, В), Р). 9. Пусть Р— комплекс правых А-модулей, () — комплекс левых А-модулей. Предположим, нлн по Р н () ограннчены спрюа, илн что существует такое целое число 4, что всякий левый нлн правый А-модуль обладает проектнвной реэольвентой пдняы н «(. а) Показать, что существуют две спектральных последовательности (с, 49, упразщенне 14) 'Е н "Е, сходюцнесн к одному п тому же градунрованному 7«-модулю, дпя которых 'Ер«, Нр(уо»АЧ(Р, (2))Г "Е! Ч = е Тоги(Н,(Р), Н „(())) Ч Ч Ч+Ч =Ч (где Тот ч (Р, ()) обозначает комплекс, ассоциированный с бнкомпнексом е Тоги (Р», ()е) ) .

А А г,а 88 1 5. Мод>ла расширении (Расометреть проектвввые Реэояьвевты (с. 69, упражнение 17) .У я б двя Р в 0 н бикомплекс С, ВкетремСр а" ( 7> ~оо оэ ~ ) ) ч+а =ч б) Если Р плоский, то локаэать, что спектральная последовательность о Е сходится к Н (Р о.о, О) . Если Н(Р) плоский, то последовательность 'Е Сходятся к Н(Р) ол НЯ). з 5. Модули расширений Сохраняются общие соглашения из параграфа 4. Принимается также, что если явно не оговорено противное, го все рассматриваемые модули — это левые модули, все рассматриваемые комплексы — это комплексы левых модулей.

1. Комплексы гомоморфнзмов Пусть (С, с() и (С', г(') — два А-комплекса. Рассмотрим градуированный )с-модуль Нотных (С, С')(П,р. 174, 175): для пЕ Х Нотная(С,С')„есть /с модуль грапуиро ванных А-линейных отображений степени и из С в С'; иначе говоря, Нотагя (С, С') ка нонически отождествляется с lс-модулем е П Нот„(Ср, Ср,„) = е П Нота(Ср, С'ч).

ннй рай нес р+Ч=л Определим >с.линейные отображения Рьл Нотягя(С, С')„-+ Нотагл(С, С )„г, п Е Х, по формуле (7) = с( о 7 ( — 1) 7'оа- имеем: Пп ) ° Пв(7) = П„)(д'.7.- (-1)"7..д) = =с) о)('оу-( — 1)"и о>ос( — ( — 1) )( о7'ос( — 7ос(ос) = О Тогда (Нотаго (С, С ), О) представляет собои комплекс >с-модулей, называемый компле)ссом гомоморфизмов из С в С'.

Например, комплекс Нотнго (А, С') канонически отояществляется с С'. Отметим также, что Нопщгя (С, С ) (и) = Нотагя(С, С'(п)) для всякого пЕ Х. Элементы из Х„(Нота „(С, С ) ) -- это градуированные гомоморфизмы 7 (нижней) степени п из С в С', удовлетворяющие условию о' о 7' = ( — 1)в7' о с(, т.е.

морфизмы комплекса С в С'(и) или, если угодно, С(р) в С'(р+ п) дпя любого фиксированного р. Их называют морфизмами комплексов (нижней) степени п из С в С; если 7, я Е Е Х „(Нотйгя (С, С') ) и з Е Нотйгл (С, С')„+ г, то условие е — >" = ()з означает, что з — гомотопия, связывающая морфизмы 7 не из С в С (п), так что Н„(Нотйгя(С,С )) представляет собой )с-модуль гомотопических классов морфизмов (нижней) степени и изСвС . Пусть а Е Нв(Нопщго(С,С' )) и р Е Х. Представим класс а элементом 7' Е Е Х „(Нотнгя (С, С ) ); тогда 7 — морфизм комплексов из С в С (п), следовательно, Нр(> ) есть гомоморфизм из Нр(С) в Нр(С (и)) = Кров(С ); так как Нр(7') зависит только от гомотопического класса а морфизма 7' (с. 37, предложение 3), то получаем отсюда канонический гомоморфизм А-модулей Н„(Нол)й)А(С, С')) Нппж(НР(С), Н„р(С')) и, следовательно, градуированное й-линейное огобразсение степени О, называемое ..'.89:.

1 5. Модули расширений каноническим: Л(, С ): Н(Нопщгя(С«С ))-+ Носпйгя(Н(С), Н(С )) Однородные компоненты отображения Л (С, С') часто будут обозначаться через Л»(С С ) Н (Ногпйгя(С С )) + П Но!ля(Нр(С) Нч(С )) р+ч и П ре дл о жение 1. Если комплекс С нулевой справа,а С нулевой слева, то компаекс Нота!я ( С, С ) нулевой слева и каноническое я линейное отображение Ле(С, С'): Не(НощйгА(С, С')) — Нощж(Но(С), Не(С')) биективно. Имеем точные последовательности а«в О Н'(С') С' С", р С, — + Со — + Н(,(С) — О.

Характеристики

Список файлов книги