Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 29
Текст из файла (страница 29)
С другой стороны, Ноп)йгя (С, С ) отождествляется с Нот и (Се, С ), Ео (нощягА (с, с ) ) отождествляется тогда с множеством гомоморфизмов Се -«С, для которых Ф ' 5' = О, 5» Ф, = 0; модуль В (Непа,ь, (С, С ) ) нулевой; наконец, отображение Ль сопоставляет классу 5' по модулю (0) гомоморфизм р: Не (С) -+ Нь (С ), для которого 5 = !' » р» р, что и доказывает предложение. Пусть и: С С и и: С -+ С вЂ” морфизмы комплексов; тогда канонический гомо! морфизм Нощйгя (и, и'): Нощйгя (С, С') - Нотягя (С, С ), определяемый по правилу т" и' » 7» и, представляет собой морфизм комплексов, как следует немедленно из формулы (1) .
Кроме того, следующая диаграмма коммутативна Н(Нотйгь (С, С')) — '--»- Нощйг„(Н(С), Н(С')) н(ноша«» ьн»')) ~ ~и»»«аг» Пт(»), н(»"!) Н(Нопъяг «(С, С')) — »- Нощйг, (Н(С), Н(С')) . П ре дл о же н не 2. а) Пусть С' -+С ~С" — 'точная последовательностьА-комплексов, Р— проективный комплекс, Š— иньективный комплекс (с. 31). Тогда последовательности Нощйг,, (Р, С') ~~' ' " Нотйг, (Р, С) ))-'нв'-Пе4 Ноту „(Р, С») Нощйгь (С", Е] — пытно Найт„(С, Е) -" — М"~~ Нощйгь (С', Е) представляют собой точные последовательности комплексов )гмодулей. ,»» б) Пусть 0 «С «С » С «О — последовательность А-компаексов, которая расщепляема как точная последовательность градуированных А-модулей (зто имеет место, например, если комплекс С'иньективен или С" проективен).
Тогда для всякого комплекса Е последовательности 0 — Нотйг„(Е, С') н»чвг5)"И«Нотйгь (Е, С) -"итвг5-' "4 Нотйгь (Е, С") О, 0 -+ Нощйг (С» Е) н'нж5" '4 Нощйгь (С Е) н-")Я~" '4 Нощйг„(С', Е) -+ 0 представляют собой тонные последовательности комплексов )г-модулей. 90 Ф 5, Модула рссншрсний В случае а) замечаем, что последовательности Нощь(рр, С' ) -+ Нотх(рр, Сч) НощА(рр, Сч') Нопг,~(Сч', Ер) НощА(Сч, Ер) НогпА(С Ер) точные дпя всех р, д Е Е, и применяем П, р. 1О, ргор. 5 и П, р.
13, ргор. 7. Доказательст- во утверждения б) аналогично, 2. Комилексы гомоморфнзмов и гомотопнн Предложение 3. Пусть С,С,С',С'-'четыреА комплекса, и: С-+С, щ С-+С, и: С вЂ” С и о: С -'С вЂ” четыреморфиззм комплексов. а) Если и и и гомотолны и и о' соответственно, то два морфизмв Нопщгл(и, и ) и Ноас,~(с, о') из Нопщгл(С, С') в Нопщгх(С, С') гомотонны. б) Если и и и' — гомотолизмы, то НотягА(и, и ') — гомотонизм. в) Если комплекс С или С' гомотолсн нулю, то комплекс НопщгА,(С, С') гомотолен нулю. Обозначаем одной и той же буквой И дифференциалы комплексов С, С, С', С' и буквой 11 дифференциалы комплексов НопщгА(С, С ) и Нощягь(С, С '). Если морфизм и (соответственно и ) гомотопен о (соответственно о ), то существует градуированный гомоморфизм степени 1 нк С-+С (соответственно тс: С -+ С ), для которого и — о=Ию+юд (соответственно и — и =Игр+в'г!).
(2) Пусть %: Нопщгх(С, С') -+ НопщагА(С, С ') — градуированный гомоморфизм степени 1, при котором для )Е НопщгА(С, С )„, и Е Е, (3) %() ) ~ в> )и + ( 1)нц )19 Тогда имеем: (П%+%П)()) = О1тс)и+( — 1)"оув 3+ Ю!Ы1 — ( — 1)".1сЦ = = Иге'уи — ( — 1)"+ и 'тид+( — 1)"йс'зтс+ о'~1сг1+ + ю'Яи + ( — 1)" го'с!утс — ( — 1)"н 'Яи + о'зс(ъс = = (сЬг'+и'д))и+о',Г(жд+сГтс)= = (и'-с )уи + о'!'(и — о) = идти — о'Уо; зто дает, что 0% + %П = Ноп ать(и, и ) — Нопщгл(о, о ), откуда следует а). Докажем 6). Если и ни' — гомотопизмы,топустьа: С-+Сна': С'- С' — морфизфизмы комплексов, для которых композиции и ь а, а ь и, и о а, а о и гомотопны со.
ответственно Ы, 1д-, 1д-,,!д . Тогда морфизм Нопщг(и, и ) Нотр(а,а ), который равен Новяг(а а и, и о а'), гомотопен, согласно а), морфизму вгл(!дб !д Е') 1дн ( б, б'1 аналогично, морфизм Нопщг(а, а ) ~ Нопщаг(и, и ) гомотопен !Йп~~,1о о 7, откуда следует б) . 91 ! 5. Модули рвсмиреяай Наконец, в) следует из утверждения б) (примененного к случаю, когда комплекс С нлн С ~ нулевой).
С л е д с т в н е 1. Если комплекс С расщепляем и модуль Н(С) проекгивеп (пютвегсгвенно если С' расгцепляем и Н„(С') ииьективен для каждого и), го канонический гомоморфизм Л(С, С'): Н(Нотйгл(С, С')) -> Нощйгь,(Н(С), Н(С )) биективеи. Предположим, например, что комплекс С расщепляем и модуль Н„(С ) инъективен для каждого п, так как случай, когда С расщепляем и Н(С) проектнвен, доказывается аналогичным образом. Согласно определению 6, с. 39, существует гомотопизм и': С' -1 Н(С') согласно предложению 3, Нощйгл(1, и') — гомотопизм комплекса Нощйгл(С,С ) наНопщгл(С, Н(С )); так как Нопщгя(1, Н(и )) о Л(С, С') = Л(С, Н(С')) ~ Н(Нощйгл(1, и')) и так как отображения Нотйгл (1, Н(и')) и Н(Нощйгл(1, и )) бнективны, то достаточ. но доказать, что отображение Л (С, Н(С') ) биективно; это сводит утверждение к случаю, когда комплекс С икъекгивеп и имеет нулевой дифференциал.
Тогда канонические точные последовательности (с. 33): г р (Н1) Π— + В(С) — С вЂ” С/В(С) — + О, (1т') Π— + Н(С) — ~ С/В(С) — + В(С) -+О дают точные последовательности (с. 89, предложение 2, а) ): Π— Нопщгя(С/В(С), С') — + Нотйгл(С, С ') — + Нопщгл(В(С), С') — О, О - Ногтя(В(С), С') — Нопщгл(С/В(С), С') — Нозпйгя(Н(С), С') — + О. Так как бс = ! ~ 8 р, то дифференциал Р в Нощйгл(С, С') задается формулой 0„= ( — 1)"+'Ря д„о 1„; имеемтепергс Е(Нопэйгя(С, С )) = Кег(Р я Ь я 1) = Кег 1 = 1щ Р, В(Нопщгя(С,С')) = 1щ(РоЬ !) = Р(1тЬ) = Р(Кег!); отсюда получаем изоморфизм р: Н(Нопщгя(С, С )) -~ Нопщгя (Н(С), С ) такой, что если аЕ Нопщгл(С/В(С) „С ), то образ при р класса Р(а ) есть У(а); немедленно проверяется, что отображение р совпадает с каноническим гомоморфизмом Л.
С л е д с т в и е 2. Предположим, что модули В(С) и Н(С) проекгивпы (соответственно В„(С') 'и Н„(С') 'ипъекгивны нри казгдом и). Тогда отображение Л (С, С') биективно. Действительно, комплекс С (соответственно С') 'тогда расщепляем — см. с. 39, пример 4, — и применимо следствие 1.
С л е д с т в и е 3. Пусть М вЂ” проекгивный (соогвегствеипо ииъекгивпый) А-модуль. Зля всякого комплекса А.модулей С и всякого целого п канонический гомоморфизм Н"(Нощйгл(М, С)) - Ногин(М, Н" (С)) (соответственно Н" (Ногпйгл(С, М)) -+ Нощл(Ня(С), М)) биективен .
Л е м м а 1. а) Если комплекс С или С' ограничен справа, если С проекгивен и если Н(С') = О, то Н(Нопщгя(С,С')) = О. 3 5. Модули раочшрений б) Если комплекс С или С' ограничен слева, если С' иньективен и если Н(С) = О, то Н(Нотйгл(С, С')) = О., Пусть 5 Е Хп(Нопщгю, (С, С )); следовательно, 7" — морфизм комплексов из С в С (и); в случае а) (соответственно б)) отображение 7' нулевое для достаточно мапого (соответственно достаточно большого) т.
Согласно предложению 1, с. 54, морфпзм 7' гомотопен нулю, следовательно, принадлежит Во(Нопщгл(С, С )), откуда получаем искомое заключение. П реп л о же н ие 4. Пусть и: С' 4С вЂ” гомологиэм комплексов, Р— проективный комплекс, Š— иньективный комплекс. а) Если комплекс Р ограничен справа или если С и С' ограничены справа, то Нотйгд(1, и): Нотря(Р, С') -+ Нотря(Р, С) — гомологизм. б) Если комплекс Е ограничен слева или если С и С' ограничены слева, то Нолщгл(и, 1): Нотйга(С, Е) - Нотйгл(С', Е) — гомологизм. Предположим сначала, что морфизм и ннъектнвен, н положим С ч = Сойег и.
Так как и- гомологизм, комплекс С имеет нулевую гомологию. С другой стороны, име.ем точные последовательности (предложение 2): Π— Нотйг, (Р,С') лг5-' 1 Нотр, (Р,С) — Ноптйг„(Р,С") — О, Π— Ноптйгл (С", Е);+ Нотйг„(С, Е) н' т'-1-""'1+ Нотйг„(С', Е) . О; согласно лемме 1, комплекс Нопщтд (Р, Сн) имеет нулевую гомологию в случае а), Нотйгч(Сп, Е) имеет нулевую гомологню в случае б), откуда следует искомое заключение.
В общем случае существуют (с. 41, следствие предложения 7) комплекс С ~, который ограничен справа (соответственно слева), когда С и С таковы, инъективный мор. 1 ч физм и: С вЂ” С и гомотопизм 8: С -~С,для которых и= бои. Тогда и — гомолгизм (с. 38, следствие предложения 5); согласно предыдущему„Ногпрл (1о, и ) (соответственно Нотр л ( и, 1п) ) — гомологнзм в случае а) (соответственно б) ) . С другой стороны, Нопщгх (1р, Д) (соответственно, Нотрл (б, 1в)) — гомотопизм (предложение 3); поэтому Нопщгя(1р, и) (соответственно Нотйга(и, 1п)) представляет собой композицию двух гомологизмов и, следовательно, является гомологнэмом.
3. Определение и лростейппче свойства модулей расширений Лля всякого А-модуля Е обозначим через рп. Ь(Е) - Е (соответственно ев. Е - 1(Е) ) каноническую свободную (соответственно нпъективную) реэольвенту, см, с. 56 (соответствепно с. 58) . Оп ределение 1. ПустьМн 1Ч вЂ” дваА-модуля.Модулемрасюирений модуля 1Ч посредством М называется градуированный Я-модуль Ехгя(М,1Ч) = Н(Нотйгл(Ь(М), 1(1Ч)). (4) Однородные компоненты модуля Ехтя(М, 1Ч) обозначаются через Ехт~,(М, 1Ч) = Н"(Нотйгл(ЦМ), 1(1Ч)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
