Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 30
Текст из файла (страница 30)
(5) Так как комплекс 1.(М) (соответственно 1(1Ч)) нулевой справа (соответственно слева), то Ехтл(М,1Ч) = О при и ( О. Е 5. Модули еаоюнреннй 3 а м е ч а ни е 1. Ниже(с. 108-109, предложение 6)мы рассмотрим свойства конечное гн модулей Ех1А(М, Х) . Например, если А — нетерово коммутативное кольцо и если М и Х вЂ” А-модули конечного типа, то каждый А-модуль Ехг~(М, Х) имеет конечный тип. Пусть |': М' ' М и а: Х вЂ” Х' — гомоморфизмы А-модулей; положим ЕхтАЯ а) = Н(Нотйгх(Ь((), 1(я)); это гомоморфизм степени О градуированных й-модулей Ехтл(У; а): Ехтя(М, Х) — Ехтх(М', Х'), однородные компоненты которого обозначаются через Ех1А(э, 8): Ех1~(М, Х) - Ех1А(М', Х).
Согласно предложению 1, с. 89, канонический гомоморфиэм Ло(Ь(М, 1(Х)): Н~(Нотйгл (Ь(М), 1(Х)) -+ Нот,в,(Но(Ь(М)), Не(1(Х))) биективен; используя изоморфизмы М -+ Но (Ь (М) ) и Но (1(М)) — Х, получаем отсю. да изоморфизм, называемый каноническим, Лм и' Ехтя(М,Х) - Нотх(М,Х). (7) Мы всегда будем отождествлять Ехгя(М, Х) с Нгнпя(М, Х) посредством этого изоморфизма. При этом lс-линейное отображение Ехтя( К, 8 ) отождествляется с Нота (К и) .
Замечание 2. Морфиэмкомплексов Нотйгх(рм, еи): Нотх(М, Х) - Нопщтх(Ь(М), 1(Х)) индуцирует на гомологии степени 0 изоморфиэм Лм и: Нотх(М,Х) -+ Ех1А(М,Х), обратный к Лм )ч. Нмеем: Ь(1м) = 1ь1м), 1(1и) = 1ни), следовательно,припереходек гомологии, получаем: Ехтя(1м, 1и) = 1нхгА(м ° и)' (8) Если 5'; М" сь М и а': Х' -+ Х" — гомоморфизмы А-модулей, то Ь(5 о э ) = = Ь(у') о Ь(5') и 1(~8 о а) =! (а') о 1(а), следовательно, ЕХ1А( 1'а у, а о я) = Ех1А(э ', 8') о Ех1А(у; 8).
(9) Рассмотрим морфизмы й-комплексов о ело,% ' лч о Ооо,члэ ' ' 'л о Р1члэ и гомоморфизмы, которые они индупируют в гомологии: вм(и) о и(м) Н( Нопцрл(ЦМ), Х) — + Ехта(М, Х) — Н(Нотйгх(М, 1(Х))). Согласно предложению 4, с. 92, Нопщга (1, еи) и Нотйга (рм, 1) — гомологизмы, откуда: Предложение 5.)саомоморфиэмы )э, (Х): Н(Нотйгх(Ь(М),Х))- Ехтя(М,Х) и 1эи(М): Н(Нотйг(М, 1(Х))- Ехтл(М, Х) биекгивны.
! 5. Модули расширений Следствие. Если модуль М нроективен (соответственно если Х иньективен), то Ел«~А (М, Х) = 0 лри 1 > О. Действительно, морфизм Нопщгн(1, е««): Нота(М, Х)- Нотрл(М, !(Х.)) (соответственно Нопщгл (рм, 1): Ноп«я (М, Х) — Нопщг(1. (М), Х)) представляет собою гомологизм (с. 92, предложение 4), откуда следует искомое заключение. 3 а м е ч а н и я. 3. Если а: Х-+ Х' — гомоморфизм А-модулей, то Нотрл (1«1м >, ен ) а Потри (1«1м> й) = Нота«„(1 ь1м>, 1(й))а Нотрл(1«1м>,ен), следовательно, диаграмма' Н(Но«прь (ЦМ), Х)) — Ех«„(М, Х) н>наша«« ««еш) а»$ $вше («и а> Н(Нотр„(Ь(М), Х')) — Ех«л (М, Х') коммутативна.
4. Аналогично, если)' М'-+ М вЂ” гомоморфизм А.модулей, то диаграмма Н(Нотр (М, 1(Х))) — Ех«ь (М, Х) и«наша«„«Е \нш»~ ~ее««л «„> Н(Нотр„(М', 1(Х))) — й Ех«„(М', Х) коммутативна. П р е д л о ж е н и е 6. Отображение (у', а) ь+ Ех«я (у'„е): Нота(М', М) Х Ноте (Х, Х')- НогпРа(Ех«А(М, Х), Ех«л(М', Х')) йл>илинейно. Пусть 7 Е Нота(М', М), х«,лз Е Нота(Х, Х'), Л,, Лз ~ й; тогда морфизмы Нопщгл(Ь()), Л«я«+ Лзяз) и Л«Нопщгл(Ь()), я«) + Л«Нотйгл(ЬЯ,йз) из Нопщг(Ь(М), Х) в Нопщгл(Ь(М), Х') совпадают; следовательно, согласно предло. кению 5 и замечанию 3, Ех«„(К Л,л«+ Л,йз) Л,Ех«л(у",й«)+ Л, Ех«(>' йэ).
(10) Аналогичные рассуждения применимы и для отображения>' > ехтл (>,й). Сне дс та ив. Пусть Л~ й. Если элемент Л аннулирует М или Х,то он аннулирует Ехт (М, Х) . Действительно, Л1нн«,1м,н> = Ехтя(Л1м, 1н) = Ех«л(1м Л 1н). Предложение 7. Пусть 1 и 1 — два множества, (М ) и«и (Хй)йо« вЂ” два семейства А-модулей; гомоморфизм Ехтл ( ш М, П Хй) - П Ехтл(М~,Хй), ии«йя« йн«,ае« получаемый из канонических гомоморфиэмов Ми -ьшМи и П Хй-ьХй — биективен. Достаточно доказать, что для всякого А-модуля М (соответственно Х) гомомор- физмы Ех«А(М, ПХй)-+ ПЕх«л(М, Хй) (соответственно Ех«л(ЮМ,Х) +ПЕх«А(М, Х)) биективны.
Но зто следует из предыду«пего, из предложения 1 (с. 34) и из канони- ческих изоморфизмов Нота«а(ЦМ), ПХй) «ПНотрл(ЦМ), Хй) и Ноп«рл(ЭМ~,1(Х))-' р, (М„, !(Х)). 3 а м е ч а н и е 5. Пусть Р и Д вЂ” два правых А-модуля, Определим Ехт я (Р. О), положив Ех«л (Р, О) = Н(Нотря (ЦР), 1(О)) = = Н(Нота« н (ЦР'), 1(О')) = Ех«л (Р', О'). Все определения и предложения этого параграфа применимы, следовательно, к правым А-модулям путем рассмотрения их как левых модулей над кольцом А'.
1 5. Модули раен(ироний 4. Связывающие гомоморфизмы и точные последовательности Пусть М вЂ” А-модуль. Напомним, что для всякого А-модуля Х мы определили в нредыдушем пункте нзоморфизм й-модулей Рм (Х) = Н(Нотйгх (ЦМ), Х)) . Ех(А (М, Х). Пусть (й) О -+ Х' — + Х вЂ” + Х" -+ Π— точная последовательность А-модулей; тогда последовательность й-комплексов (МЕ) Π— Нотйг„(Ь(М), Х') -"' ец'е"' Нотйтл (1.(М), Х) — "' 6" —" Ноглйгя (Е(М), Х") — О является точной (с.
89, предложение 2, а) ); пусть 8( Ж ): Н(Нотйгх (ЦМ), Х«)) Н(Нотйгя (1(М), Х') — соответствующий связывающий гомоморфизм (с. 34) . О и р е д е л е н и е 2, Композиция гомоморфнзмов 8(м, а) =(рм(х'). 8(ма). ом(х«)-(: ех(„(м, х«) ех(„(м,х) называется связываюи(им гомоморфизмом для модулей рас>аврелий относительно модуля М и точной последовательности ( й). Это градуированный й-гомоморфизм верхней степени 1, однородные компоненты которого обозначаются через йл(М, 8): Ехте (М, Х«) -+Ех1" ' (М, Х ). Те о р е м а 1. Неограниченная справа последовательность гомоморфизмов к-модтлей Π— — Нот„(М, Х') н'~.(> ") Нота (М, Х) -н" — о -~~ Нота (М, Х«) — "(---)-+ Ех(ь~(М.Х) -+ " "* — ц'л' Ех(~(М Х) — ~~~-~л)~ Ех(л(М;Х) е«г (> «).
Ех(" (М, Х ) — '-"-'-' Ех(" " ' (М, Х ) -- " является точной. Действительно, рассмотрим диаграмму Ем(), «) Егг (>. «> 6(м.а), Ем (>, «) Ен(М.Н"г Гч(М,Н) ' Ен(М.Н) Ен(М.Н') ' Ен(М.Н> о«(М') ч«(н> о«(н") ч«(н ) о.(Н)~ Н(ноогаг(>, «)) 1 Н(нонаг (>, г>) ! Н„а) 1 Н(ноогаг (>. «)> н(н а (цм>, н » н(но з (цмь н>) н(н а (цм>. и"» н(н а (цм>. и'В н(н аг(цм>. На Она коммутатнвна согласно замечанию 3 (с. 94) и определению 2; с другой стороны, нижняя строка точная (с.
35, теорема 1), а вертикальные стрелки бнективны (с. 93, предложение 5), С л е д с т в и е. Если Ех(' (М, Х ') = О, то последовательность О -+ Нот„(М, Х') ~~~~~ "> Но(ох(М, Х) ~~~('"> Нота(М, Х«) -+ О точная. П ре дло же ни е 8.Пусть|: М, -«М — гомоморфизм А-модулей и Ф) О Х' г Х -~ Х" — «-О а'~ а~ а "~ (Фг) Π— Х) Л' Х>-«) Х'> — Π— коммугативная диаграмма А-модулей с точными строками.Анаграмма к-модулей Ех(„(М, Х") -'-'— )- Ех(ь (М, Х') е«г(ха )~ ~е ей а') 6(м. а,) Ех(л (М), Х,) — ~ Ех(, (М„Х;) коммугагивна. й 5.
Модули расширений Это следует из предложения 2, с. Зб, примененного к коммутативной диаграмме Новиг (1. «) Нишах (1. г) О ш Нощйгн (1.(М), Х') — ~ Нощйгн ()-(М), Х) — г Нощйгн (1.(М), Х«) -«. О н е. (ы г). и)~ )н аг(ЫЛ. и) ~н аг(щу) и'*) Ног«ах (1, «г) т Нотах (1. гт) О Нотйг„(1(М,), Х',) — Нощйгн ()-(М ), Хг) — '-Н(нпйг„(1 (М,), '1) Пусть Х вЂ” А-модуль и (У) О-+М' — М вЂ” Мо-+Π— точная последовательность А-модулей: последовательность комплексов (У;„) Π— — Нотйг„(М", 1(Х)) -" — 'иа(56'4 Н(нпйг, (М, КХ)) н-~-'(-" Нотйг„(М', КХ)) — —. О является точной (с.
89, предложение 2, а) ); пусть д( Ум): Н(Ноп)8(А)(М ', 1(М))) -«Н(Нопъ8(А(М', 1(Х))) — соответствующий связывающий гомоморфизм. О и р е д е л е н и е 3. Композиция гомоморфнзмов б(Я; Х) =гр (М«) о д(Ун) о гр (М') ': Ех(А(М', Х)-+Ех(А(М", Х) называется связывающим гомоморфизмом для модулей расширений относительно точной последовательности (дг ) и модуля Х. Это градуированный гс-гомоморфизм верхней степени 1, однородные компоненты которого обозначаются через б" ( У, Х); Ехт" (М', Х) -о Ехт"+' (М, Х) . Так же, как и выше, доказываются следующие утвержцения: Теорема 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
