Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 33
Текст из файла (страница 33)
76 и в замечании 2 нас. 93. Т е о р е м а 1. а) Если одна из резольвент К или Б плоская, то й(Б, К) — изомор. физм градуированных )с-модулей. б) Если резольвеита К проективла или если реэольвелта Е ииьективна, то ье(К, Е)— иэоморфизм градуированных )г-модулей я последовательность "Е (с.49-5Е УпРажнеии )4 — Гт. сходящвися к Йхтд (С, М), для которой "Ела = Н" (ЕжрА (С, М)). Если комплекс С ограничен справа,то показать, что существует спектрелънав последователъность 'Е, сходящаяся к Йжя (С, М), длл которой 'Ез~ "Ежл~ (На (С), М) (Рессмозреть бикомплекс Ноюатл (С, ) (М) ) ). 8. Пусть Р, 0 — два А-комплекса.
Предположим, или что Р ограничен справа и О ограничен слева, нли что существует такое целое число а, что всякий А-модуль обладает проективно» резольвентой длины цд. в) Показать, что существуют две спектральные последовательности 'Е и "Е, сходящиеся к одному и тому же градуированному х-модулю, для которых (04 Е 6. Использование иеквиоиическик резольвент а) Предположим, например, что резольвента К плоская, и выберем морфизмы а и Р, как указано выше, Морфизм Р э а представляет собой композицию морфизмов 11(р) и а В в1К 1.(Р) ел Ь(М) — Ь(Р) ел К +Б ел К Так как комплекс Ь(Р) (соответственно К) плоский и а (соответственно Р) — го- мологизм, то 1ь(р) э а (соответствеино Р е 1к) — также гомологизм согласно пред- ложению 4, с.
75, Следовательно, Р е а — гомологизм и отображение )Ь(Б, К) = = Н(Р е а) биективно, б) Рассуждаем аналогично, используя предложение 4, с. 92. С л е д с т в и е. Если К вЂ” плоская резольвента модуля М, то гомоморфизм (Ь(Р, К): Тогл (Р,М)-ьН(Р ел К) биективен.
Если К вЂ” проективнан резольвента модуля М, то гомоморфизм Р(К, Х): Н(Ною()тл (К, Х)) -е Ех(л (М, Х) биективсн. Если Š— инъективная резольвента модуля М„то гомоморфизм Р(М, Е): Н(Ношкгл (М, Е)) -+ Ех(л (М, Х) биективен. 3 а м е ч а н и е. Диаграмма и-модулей Т (Р, М) — "-" — "-' Н(Я (9н К) ои.~ ~Н(о(5. К)) е(к', 5') Тот" (М', Р') — ь Н(К' (9л. Я'), где ор ы и о(Б, К) — изоморфизмы коммутировання (с.
78 и 71), коммутативна: зто выводится посредством перехода к гомологии из коммутативной диаграммы комп- лексов Ь(Р) (94 1(М) — -~- Б (9„К о(ыр), ь(м)) ~ ~в(5. К) Ь(М ) (9 ° 1.(Р') — К (9 . Я ("гомоморфизмы Ь совместимы с изоморфизмами коммутирования") . Аналогично, пусть а,: К, - М, Ь,: Б( -+Р, с(. Х - Е( — морфием комплексов, где К( и Я( — провктивные и нулевые справа, а Е( — инъективный и нулевой слева. Согласно предложениям 3 н 3 Ь(а, с.
55 — 5б, сушествуют морфизмы комплексов а,: К, -+1.(М), Р,: Я( -иЬ(Р), у,: 1(Х)-+Е„ дпя КОтарЫХ'рм с а, = а„рр с Р( =Ь(, у( в Е)Ч = С„н, СЛЕдОВатЕЛЬНО, МОрфнЗМЫ комплексов: Р, е а(: Я( эл К( -+ 1.(Р) эл Ь(М), Нош))тл (а(, 71): Но(пйгл (Ь(М), 1(Х)) -ь Ношйгл (К„Е, )„ и, посредством перехода к гомологии, градуированные «-линейные отображения сйепе- ниб: ))'(Я(,К(): Н(Б, эл К()-+Тося (Р,М), р ( К(, Е(): Ех(л (М, Х) - Н (Нопщгл (К(, Е()), относительно которых проверяется, как и выше, что они не зависят от выбора а„ Р(, 71 ° Предложение 1, Если а,, Ь(, с( — гомологизмы, то (Ь'(Б„К() и (с'(К(, Е() представляют собой биекции, обратные биекциям (ЬРЯ(, К() и р(К(, Е() соответст- венно.
105 5 ц Иенольеоввнненеквноннееекнх ренольвент Действительно, а о а, есть морфием комплекса К1 в себя и а1 е (а е аг) = рм е а, = а,, Ьг ° (б о б1) = рр ' бг " Ь,. Согласно предложению 3, с. 55, морфизмы а е а1 и б е Ф1 гомотопны 1и, и 15, соответственно. Поэтому, согласно предложению 3, с. 73, морфизм/' = (б э ц) е (~31 э а1) комплекса Бе эя К1 в себя гомотопен 1з, и,. Следовательно, Н(/) = 1 и Ф(Б,,К,) е Ф'(Б,,К,)=Н(б э а) Н(б, э п1) Н(/)н1; точно так же 4 (Бм К1) е Ь (Б~, К ) = 1. Для отображений р и ~р' рассуждения проводятся аналогичным образом, При меры. 1.
Пусть а — элемент из А, для которого отображение э: х - ха кольца А в себя ннъективно (на не является правым делителем нуля'*) . Используя резольвенту 0 -+ А, — А, — А/Аа О, мы видим, что для всякого правого А.модуля М ТогАг(М,А/Аа) =О при 1 >1 и что И-модуль Тог1А (МнА/Аа) изоморфен Кег (ам) . Аналогично, для всякого левого А-модуля М Ехг'к (А/Аа, М) 0 при ! > 1 н И-модуль ЕхтА (А/Аа,.'М) изоморфен М/аМ. 2. Предположим, что кольпо А целостное: пусть К вЂ” поле частных кольна А и М— А-модуль. Используя плоскую резольвенту 0 ~ А н К н К/А и 0 (с, 13, пример 5), мы видим, что ТогАг(К/А, М) = 0 при / > 1 н, кроме того, принимая во внимание П, р.
116, ргор. 26. (Н), что А-модуль Тогл1 (К/А, М) изоморфен подмодулю кручения модуля М. 3. Предположим, что А — нетерово локальное кольцо, обозначим через пз его максимальный идеал и положим И = А/пг Пусть М вЂ” А-модуль конечного типа, Р— минимальная проективнаа резольвеита для М (с, 59 — 60), Для всякого л > 0 векторные И-пространства тот„'~ (и, м) и ехт~ (м, и) имеют конечную резмерность„равную рангу свободного А-модуля Р„; действительно, комплексы й эн Р и НопщгА (Р, х) имеют нулевой дифференциал, 2, Вычисление отображепий ТогА (б,,/) и ЕхтА (~ И) Пусть/'. М -+ М', И: Х' -+Х вЂ” гомоморфизмы левых А-модулей йс Р-+Р' — ' гомо. морфием правых А-модулей, а: К -н М, а'; К' -н М', Ь: Б -+ Р, Ь: Б' -+ Р' — левые резольвенты для М М'„Р, Р' соответственно, с: Х -+ Е, с': Х' Е' — правые резольвенты для Х и Х', )ч К ~ К', 5: Б -н Б', И; Е' -+ Š— морфнзмы комплексов, для которых а' е /н/' е а Ь о ана о Ь, И е с =с е И.
П р е дл о ж е ни е 2. Следующие дае диаграммы коммутативны; Тоге (Р, М) -лпь — ~ Н(Б Эн К) твд М,У1~ ~Н(Е ЕЛ То (Р М ) ~~ Н(Б Эн К) Н(Ногпйгн(К', Е')) в — ' Ех1„(М', Х') н(ноазаг„(г, йа~ ~ ам (х н Н (Ногпйг„(К, Е)) — '- Ех1„(М, Х) . й б. Использование некаиониьескик рагольеент Пусть а: Ь(М) -+К, а': Ь(М') - К', 7: Ь(Р) -+Б, 7': Ь(Р') .+Б' — морфизмы комплексов, для которых а=рм, а 'а =Рм, Ь 7 Рт, Ь 7 Рте.
По определению, гомоморфизм Н(К ну) о Ф(Б, К) равен Н Д е т ) о Н(7 е а) = Н((й о 7) е (г о с)) тогда как гомоморфизм Ф(Б', К') о Тот (я, Т) равен Н(7' е а') о Н(Ь(а) е Ь(г')) = Н((7' о Ь(е)) е (а' о Ь(т'))). С другой стороны, аг о Ь(1 ) и г о а — зто два морфизма иэ Ь(М) в К, дпя которых а' о (а' о Ь(г')) =Рм'о Ь(У) =То рм ог'о а о а =а о (Т о а). Согласнопредпожению3, с. 55, морфизмы а' о Ь(г") и 7 о а гомотопны; точно так же гомотопны морфизмы 7' о Ь(я) и я.о 7, следовательно, морфизмы (7,' о Ь(я)) е(а' о Ь(г")) н (ьто 7) е е (7 о а) гомотопны, согласно предложению 3, с. 73.
Таким образом, Н (е е) ) о ф (Б К) и Н((а о 7) е ( т о а)) = Н((7' о Ь(Н)) е (а' о Ь(«))) = бг(Б К ) о Тот (н, Т). Относительно второй диаграммм рассуждения проводятся аналогичным образом. 3 а м е ч а н и е. Рассмотрим также коммутативные диаграммы морфизмов комплексов К,— М Б,-' Р Х' -'о. Е' т~ т~ «~ е~ ь~ ь~ где комплексы К,. К'„ Б,, Б', проективны и нулевые справа, а комплексы Ег, Е; инъективны и нулевые слева. Тогда Т л(~,,Т).й(Б„Кг)=й'(Б'„Кг).Н(-е7), р(К„Е г) Ехтл()',й) = Н(Ноптйгл(Т, Ь)) р(К',, Е г ), что доказывается аналогично предложению 2. 3. Вычисление связываюпгих гомоморфизмов Рассмотрим коммутативную диаграмму Π— К' — К -"~ К" -~ О Оо М'-" М вЂ” и М" — и О, (2) где первая строка (1) — точная последовательность комплексов левых А-модулей, вторая строка (2) — точная последовательность левых А-модулей и где вертикальные стрелки обозначают левые резольвенты. П р е д л о ж е н и е 3.
а) Пусть Р— А-модуль, Ь: Б -+ Р— левая резольвента для Р; предположим, что последовательность комплексов й-модулей гни и гний О. БелК вЂ” БелК вЂ” БелК"-+О точная. Тогда следующая диаграмма коммутативна Тот" (Р, М") —:-«Тот" (Р, М') егз, а"г~ ~Е(З, аз Н(Б гйгл Ко) """' Н(Б гз)л К ) . 1 6. Иоюльеоевние иеквиоиинееких револьвеит 6) Пусть Х вЂ” левый А-модуль, с: Х +Š— правая резольвента для Х; предположим, что последовательное)ь комплексов й-модулей Ю Н Е.(Е,Е)~Н Е;(Е,Е) "' *'"" Н ЮЕ.(Е,Е) Ю (Ю) точная Тогда следующая Юы~~ коммутативна: Н(Ноглйг„(К', Е)) — ' — Н(Ногойг„(К", Е)) н(4!) ч(а'.
в)~ ~ч(а, ьз Е Ю (М'.Н) ' ЕН (М',ЮЕ. Докажем, например, а). Пусть (8: Ь(Р) Я вЂ” морфизм комплексов, для которпго Ь о Ф Рр, РассмотРим диагРаммУ й-комплексов О ЯЭЕК $94К вЂ” ЯЭЕК вЂ” О а э (. ~ а э (.~ в э )..~ О - 1(Р) 94 К вЂ” ню Ь(Р)94 К вЂ” ' Ь(Р) 94 К ° О (Эи~ )ЭЕ~ !Эа~ О - 1,(Р) Э„М' н Ь(Р) 94 М вЂ” н Ь(Р) 94 Мю-( О . Она коммутативна и имеет точные строки (согласно предложению для первой строки и в силу того, что комплекс 1.(Р) плоский, для двух других). Имеем, следовательно, коммутативную диаграмму (с.
36, предложение 2, и с. 78, определение 2): Н($9 Кн) 4 ) Н($ Э К') н(а э ))~ ( н(а э )) Н(Ь(Р) 94 К ) — Н(Ь(Р) Э„К') н(( Э.")~ ~Н(( Э е') Н(Ь(Р) Э„МЕ) — 4 Н(Ь(Р) 9* М') ЬЛм")~ ~ еЛмз Тот (Р, М") — '')-'А' Тот (Р, М') . Согласно предложению 4, с. 75, отображения Н(1 ваю) и Н(1 во') биективны; с другой стороны, по определению гомоморфизмов Ф, имеем: Н(1) э 1) е (Ь(Ь (Р), К") = мФ($, К") и Н(1 или) е Ф(Ь(Р), К") (т(Ь(Р), Мн) мФр(МЕ), следовательно (Ь($, К") = Н(8 в 1) ю Н(1 эа') ' е (Ьр(Ме); точно так же, Ф($, К') мН(йв1) Н(1 ва') ' е (Ьр(М'), и искомое утверждение д((3)) ю Ф($, К") = Ф(Я, К') е д(Р, (2)) следует из коммутативносги предыдущей диаграммы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
