Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 36
Текст из файла (страница 36)
М) конечны для Ч > !. 7. Пусть 0 — циклическая ~рупца порядка л. М вЂ” Х -модуль, а — порождающий !руины С. (С) Обозначим через Н умножение в М на элемент Х ея из Х ( ). Показать, что Х-модуль Не(С, М) 60) яЕС (соответственно Н, (С, М)) изоморфсн Кет (! — оы) (соответственно Го(се! (1 — аы)); Дпа НЕчет- иаго Ч группы Н (6, М) и НЧ+! (С, М) изоморфны Кег Н/1т(1 — аы), для четного Ч в 2 группы НЧ(С.
М) н Нч ! (С, М) изоморфны Кег (1 — аы),'1тН. (Испояьзовать упражнснис 1гю 64), 8. Пусть Г - свободная группа, К вЂ” нормальная подгруппа в Г. 0 = Г/К. Показать, что )руппа Н, (О, Х) изомарфна ((Г, Е) с К) /(Г. К) (использовать упражнение 3, с. 65). 9. а) Пусть С вЂ” группа, М вЂ” Х( )-модулы 8 - такой элемент из центра группы С, что эндомор- фнЗМ юг ЯГЛ вЂ” ЛЧМОДУЛаМВИЕКтннси. ПОКаэатЬ,ЧтаГРУППЫ НР(С,М) И Нр(С,М) НУЛСВЫЕДЛЯ Р В 1. б) Пусть Ч вЂ” векторное пространство над полем Ф.
причем Сагд (й) В 3. Показать. что группы Н!'(С1. (Ч), Ч) и Нр(СВ (Ч), Ч) нулевые при р В 1. 1О. Пусть Си Н вЂ” две группы,и: Н С -гамоморфизм, М вЂ” Х -модуль, Лля всякогоЧ Ъ 0 из (С) гомоморфизмов а и д упражнения 1 получаются гомоморфизмы иц, Н,!(Н„М) НЧ(С,М), иы. 'Н (С,М) НЧ(Н,М), которые обозначаются просто через иц и и, если иет неясности относительно модучя М. Ч а) для / е СЧ(С, М) обозначим через /„ элемент из СЧ (Н, М), для которого/и(й,,..., ЬЧ) = =/(и(й,),..., и(АЧ)) при й,,..., АЧ е Н. Показать, что отображение/ь /и представляет собой морфием комплексов из С'(С, М) в С(Й, м), который индуцирует на гомологии гамоморфизм в ич.
Ч Определигь аналогичным образам морфием из С. (Н, М) в С,(С, М), который индуцирует Е иц. Ч б) Предлодожим, что Н = С и возьмем в качестве и внутренний автоморфизм группы С. Нака- зать, что гомомарфизмы иц и ич равны таждествекному (провести инпукцию по Ч) . 11.
Пусть С вЂ” группа, Й вЂ” нормальная подгруппа в С, М вЂ” С-модуль. Согласно упражнению 10, группа С действует посредством сопряжения на Х-модулях НЧ(Н, М); поскольку действие под- группы Н тривиально, то указанные модули наделены. следовательно, структурой Х -модулей.
(С/Н) а) Показать, что существует спектральная последовательность Е (с. 49-50,упражнение 14), сходя- щаяся к В Н (С, М), для которой Е,' = НР(0/Н, Н (Н, М)) (рассмотреть спектральную последо- вательность из упрюкнения 6, г), с. 102, приняв во внимание канонический изоморфизм (12). с,!!О). б) Показать, что существует точная последовательность 0 Н' (6/Н, Не (Н,М)) Н' (С,М) Н' (О/Н, Н' (Н, М)) Н' (С/Н, Н' (Н, М) Н' (С, М). Описать гомоморфизмы этой последовательности, используя описание групп Н (С, М) в терминах л комплекса С'(С, М) . в) ОпРеделить спектральную последовательность, аналогичную спектральной последовательности из а).
дпя групп гамалогин. 12. Пусть С вЂ” группа. Х -модуль М называется иоиидуцироееииым (соответственна иидуцнроевинмм), если существует такой Х-модуль А, что М изоморфен Но!пХ (Х (С), А) (соответственно Х( )еХ А). а) Всякий Х -модуль нзомарфен подмодулю некоторого коиндуцированнаго модула н фак- (С) тормодулю некоторого индуцированного модуля. б) Пусть М вЂ” Х -модуль.
Показать, что следующие условия эквивалентны: (С) о) М вЂ” прямой множитель некоторого коиндуцироввнного модуля. д) М ннъективен относительно Х (упражнение 19, с. 27). 7) СушествуетС.среднее на М (1, р. 136, ехегске 8), т.е. такой Х -гомоморфизм ин С' (С, М) (С) М (где структура Х -модуля на С' (О, М) определяется по формуле (я/) (х) =я /(у 'х) для (С) я е с, х е м), что если /» — постоякная функция со значением х е ч, то т (/ ) = х. в) Показать, что следующие условна эквивалентны: а) М вЂ” примой множитель некоторого индуцированного модупя. д) М проективен относительно Х (упрюкненне 19, с.
27). 1 б. Использование яекаиоиических реэолаееиг т) Существует такой Х эндоморфизм р модуля М, что длв всщсого х Е М семейство (р (я ' х))В Е С имеет конечный носитель и выполняетсн равеиспю х ю' В'р (В 'х) . ВЕС г) Пусть М вЂ” нньектнвный (соответственно щюективный) 2 -модуль относительно 2, Показать, что НЯ(6, М) О (соответственно Н,г(С, М) О) при Я в 1. д) Есля группа С конечнаи, показать, что попятил индуцированного н ковндуцированного (соответственно проективного и нньектнвного относительно Е) модуля совпадают. 13. Пусть 6 — группа, Н вЂ” подгруппа в С, М вЂ” левый Х ПП-модул!а Х вЂ” правый Х ()П-модуль.
.Съ гС) Наделим группу М = Нот (ы) (2' ', М) (соответственно Х= Хе ()П 2' )) структуройлевого 2( (О) (соответственно правого) 2' модулк, полученной из структуры правого 2( )-модуля на Е Пусть ик М М и л: Х Х вЂ” Х~~-гомоморфизмы, при которых т(и) = и(1) для и Е М и л(х) = х е 1 для х Е Х, и пусть !; Н С вЂ” каноническое вложение.
Доказать,чтокомпозпцин гомоморфизмов Я (Н, е) Ч !Я!НЯ(С,М) НЯ(Н,М) — 'НЯ(Н,М) и Н (Н,л) (Я. НЧ(Н,)С Н (Н,Х) Н (С,Х) прецставлюот собой изоморфиэмы для всех Я > О. 14. Пусть С вЂ” группа, Н вЂ” подгруппа конечного индекса в С, Положим л = (С: Н). а) Пусть С, М вЂ” 2 -модули. Показать, что существует 2-гомаморфизм (С) Г: Ноп! (Н) ((), М)-~Ноп! (С)(О, М), 2 2 ПРИ КатаРОМ, ДЛЯ ВСЯКОЙ СиетЕМЫ ПРЕДСтаВИтЕЛЕй В„..., Гл КЛаССОВ ГРУППЫ С Па МОДУЛЮ Н, л (ги) (я) = г В(и(В! 'В) для я е О, и е Ною (н) (6, м).
! ! Х Если/: Нот (С) (С, М) -+Ною (Н)(6, М) — каноническое вложение,то! у =и 1й. Е ' 2 б) Пусть Х вЂ” правый Х -модуль. В обозначениях из пункта а) показать, что существует 2-го- (С) . рф ° В: Хе (с) О-Х (Н) 6, р « Х Х и В(леЯ)= Е лг/'ег!Я для леХ, Яе!), (= ! Если р: Хе (Н) С Хе (С) Π— каноническое отображение,то р В =л 1й. 2 Е а) Пусть Р— проектпвнаярезольвента Х '.модуля Е, Я -целое число. Применяя а) и б) к 0 = РЯ, гС) определить гомоморфизмы сч: НЯ(Н, М) НЯ(С, М) ив,; Нг(С, Х) Н (Н, Х). Если! обозначает каноническое вложение Нв С,тосе !Ч =л ° 1й и / В =л 1й. (С) Я Я г) Рассмотрим Х -модули М = Ноп! ()() (2( ', М) и Х= Х е (н) 2 ' ' (упражнение 13).
(С) Х 2 Взяв 0 х( ), получим исхода из гомоморфизмов ! и В (пункты а) и б)) гомоморфнзмы гм = гСъ = М -~ М и В!ч. Х Х. Показать что эти гомоморфнзмы Х' )-линейны. Показать, что композиция гамаморфизмов (га)-1 „ НЧ(С,ГМ) НЯ (Н, М) НЧ (С, М) НЯ (С, М) НЯ(О ВХ) „(га) ' (соатветственио Н,!(С,Х) Н, (С,Х) — ~ Н,!(Н,Х)) равна !а (соответственное,!). д) Пусть (В„..., Вл) — система пРепетавителей классоВ Группы С по модулю Н и пусть х е л е н' (н, м), показать, что ге (х) = е Вгх. Определить Г' !=! е) Если отождествить группы Н, (С, 2) н Н, (Н, 2) с С/(С, 6) и Н/(Н.
Н) соответственно, то гомоморфизм с отождествляется с гомоморфиэмом (*'перенесение", трипс!)ер") )! С/(С. С) Н/(Н. Н). Если з: Я~С С вЂ” некоторое сечение канонического отобрюкения, то показать. что )Г получается посредством перехода к факторгруппе нсхоля из отображения Уэ: С Н, при котором 1!э(В) П э(х)г(з(хя) ' для ВЕС. х Е Н !С !16 8 6. Исиолыюееиме лекеноиических реэольееяг 15. Пусть С вЂ” группа и й — поле, которое нацепим ссруктурами Е ( ) .модуля и й( ) -модуля, по- лученными из тривиального действнм группы С, а) показать, что группа н»(с.ф) изоморфна ехс»(6) 61, й) дюг всякого» в 0 н. следователь- и но, обладает структурой векторного А-пространства; обозначим через й»(0, й) его размерность над й.
б) Предположим, чсо группа 6 обладает представлением (1, р. 86), определяемым с( порахсдаю- шммм н г соотношениями. Показать неравенства с( М »' (О,А) и г Э Ь' (6,(с) (испольэовать упрюкиение 3, г), с. 65). » 16. Пусть С вЂ” р-группа (1, р. 72, бе(. 9). Положим с((6) = и!шр Н' (С, р ) и г(0) = "4(шр Н' (С, Р,) (см. Упрюкмение 15). а) Показать, что с((0) есп минимальное, число пораждюаших группы 0 (доказать, чта группа Н' (6.
Р ) иэоморфна группе, двойственной к Осби Р(С),и использовать 1, р. 140, ехессссе 32). б) Если Сас б (С) = р", то показать, что с((6) ц и и г (О) ц л (и + 1) 72 (доказать инлукцней по л, что.существует представленме группы С с и порождающими и л(м + 1)/2 соотношениями).
Если О = (Х/рХ)".то показать.что мс((6) =л и г(0) =л(и+ 1)/2. в) Если группа О нетривиальна, доказать неравенство г (С) > (с((С) ) '/4 ("теореме Голода — Шсь фереемчи"; использовать упрюкиение 15, с. 68, и упрюкнение 22 из )СП(, 1 8) . г) Локаэатгч чтог(0) — с((С) =сКш р (Н' (О, Е) еЕ Рр). Р 17.
Пусть С вЂ” конечная группа. Обозначим через Нэлемент 2 ес ы Х( ). Лля всякогоХ( лыс модуля М умножение на Н,определяет посредством перехода к фактормодулю гомоморфизм Не: Н (С, М) - Н' (С, М). Полохсим Йе (6, М) - "Со(сес (Н,), Й ' (С, М) = Кесаре, Й»(6, М) Й»(С, М) при » в 1 и Й " (С. М) = Н» 1(О,М) при » в 2. а) Пусть (й): 0 М' М М" 0 — точная последовательность Х ( -модулей; определить точ. ную последовательность а» '(О,й) . а»(б,й) „ Н» ! (С М ) Н»(С,М') Н»(О,М) К»(О,М") К»+! (6 М') б) Если модуль М проективен относительно Е, то показать, что Й»(С, М) = 0 при всех с1 ы Х (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
