Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Действительно, гомоморфизм $'(Ь(Е) э,~ В, В эх Ь(Р)) биективен (с. 104, предложение 1) и гомоморфизм т биективен (с. 74, следствие 2) . Предположим, что  — плоский модуль над А. Подставляя в гомоморфизм (12) Е вместо О, В вместо Х и В эа Р вместо М, получаем гомоморфнзм Ех! а (Е, В эа Р) -ь Ехтв(В эх Е, В эн Р), который биективен согласно предложению 8.
Подставляя в гомоморфизм (!0) Е вместо М, Р вместо Х, А вместо В, В вместо <) и переставляя множители тензорных произведений, получаем гомомо рфизм В-модулей В э„Ех!А(Е, Р) -+ Ех<в(Е, В эь Р), откуда посредством композиции получаем гомоморфизм В эх Ех!А(Е. Е) -ь Ех<в(В эн Е, В эх р), (14) называемый каноническим. П р е дл о же ни с 1О. Гомоморфиэм (14) бигктивгп в следуннцих глучачх: а)  — проективный А-модуль конечного типа; б)  — плоский А-модуль, А нетгрово и Š— Л-модуль конечного гила.
Это следует из предложения 7 (с. 109) . 8. Приложение: гомология и когомологня групп Пусть С вЂ” группа, У <о) — ее алгебра иад У (1Н, р. 19). Напомним (см. НЬ р. 20, ехетр1е), что если М вЂ” коммутативная группа, то задание действия группы С на М (т.е. гомоморфизма т: С -ь Апт(М)) равносильно заданию структуры левого В < )-модуля на алдитивной группе М. В частности, мы будем рассматривать группу Х как левый У < ) -модуль, наделив ее тривиальным действием.
Определение 1. Пусть М вЂ” левый (соответственно правый) Х -модуль, <с) и — целое число > О. Группа Ехт" <о)(Х, М) (соответственно Тпгн (М, Е)) обознача8<о) ется через Нн(С, М) (соответственно Нн(С, М)) и называется и-ой группой когомологии (соответственно гомологии) группы С с коэффициентами в М. Стандартная резольвента (с. б2) В(Х <о), Х) представляет собой свободную резольвенту В <о) -модуля Х; отсюда следует„что группы Нн(С, М) (соответственно Н„(С,М)) отождествляются с группами гомологии комплекса Ношйг <о) (В(Х <о), Х), М) (соответственно М в <о) В(У<о),с). ь <С) 6 нн О" Используя канонический изоморфизм (У<о))ан на У<о ) (П!, р. 36) и свойства расширения скаляров (Н, р.
82), заключаем, что группе Нн(С, М) канонически изоморфна группе гомологии верхней степени п комплекса С(С, М), определяемого следующим образом: С" (С, М) = 0 при п< 0; при п> 0 С" (С, М) представляет собой Х-модуль отображений множества С" в М; при п~ 0 дифференциал а'": Сн(С, М) -+ -' Сн ' (С, М) определяется по формуле (д'УНйь,. -,8 )=8ь У(8~.,8н)+ н — 1 + Х (-1)"'1(8е,...,8<8т.ы,йн)+(-1)н" Г(ге,,йн ~) )=о для всех ГЕ С" (С, М) и йа,.
< ., Вн Е С. Аналогично, группа Н„(С, М) отождествляется с группой гомологии степени пкомплекса С (С, М), где С„(С, М) н Мээ. У <~ ) при п> О, С„(С, М) = 0 прн и< О, при- гш а 6. Нслользоаавие векаиовическик резолеееаг чем дифференциал дп: С„(0, М) ~С„! (С, М) определяется по формуле: до(твев„,",г,) т'й! вег„.", + и-1 + ~ ( 1) тв ее„",ггг(+, ",г +( 1) т ввг,.".г для в сех л ~- 1, т Е М, и я г,..., я „Е С.
При ме ры. 1. Прямо из определения следует, что группа На(0, М) изоморфна подмодулю элементов из М, инвариантных относительно действия С, а группа Но(0, М)— фактормодулю модуля М по подмодулю', порожденному элементами т я — т для тЕМ, яЕС. 2. Из предыдущего следует, что группа Н '(С, М) и во мо рфна Х-модулю Х '(С, М)/В !(СМ), где Х '(С, М) — Хмодуль отображений у иэ С в М, удовлетворяющих условию: У(е!Вг)ме! 'У(ег)+з (е!) длявсех йг,йг Е С, а В'(С, М) — Х-подмодуль в Х'(С, М), образованный теми отображнияыи у', для которых существует такой элемент т Е М, что ~(В) =я т — т для всех я Е О.
Х'(О, М) иногда называют Х-модулем скрещенных гомоморфизмов группы 0 в М, а В (О, М) — подмодулем главных скрещенных гомоморфизмов. Обозначим через т: С - Апт (М) гомоморфизм, задающий действие группы О, рассмотрим внешнее полупрямое произведение М Х,Си расширение $„: М- М Х С- С Р (1, р. 64). Пусть е: 0-ьМ ХтС вЂ” стоб)игжние, для которого рч е = 1с, тогда е = = (/, 1с), где у" Е С'(С, М). Лпя того чтобы отображение е было гомоморфизмом (т.е, сечением расширения $т), необходимо и достаточно, чтобы,ГЕ Х'(С, М). Для того чтобы два сечения расширения $ были сопряжны посредством элемента из ! (М), необходимо и достаточно, чтобы соответствующие скрещенные гомоморфнзмы определяли один и тот же класс в Н '(С, М) .
Когда 0 действует тривиально на М, В'(О, М) 0 н группа Н'(С, М) изоморфна Х-модулю гомоморфизмов группы С в М. 3. Аналогично, гругша Нг(С, М) изоморфна Х-модулю Хг(С, М)/Вг(0, М), где Хг(С, М) — Х-модуль отображений у множества 0 Х С в М, удовлетворяющих условию: Я! ./(иг,аз) — У(в!аз,аз)+/(хг,агав) — У(аг,аг) = 0 для любых я „яг, яз Е О, и В г(0, М) — Хподмодуль в Хг(С, М), образованный теми ото бражннями у', дпя которых существует такое о то бражнне И из С в М, .г(а! Вг) в! 'И(ег) — И(в!вг)+И(в!) для любых яг,яг Е О. Мы приходим, таким образом, к определению группы Н (С, М), данному в ЧП1, Арр. Отсюда следует, в частности, что существует канонический изоморфизм группы Нг(С, М) на группу классов расширений группы С посредством М ((/П1, Арр.) .
4. Пусть М вЂ” Х-модуль, который рассматривается как прзвый Х(с)-модуль с тривиальным действием группы С. Группа Н,(С, М) нзоморфна фактормодулю Х-модуля МеХХ(с) по Х-подмодулю, порожденному элементами то(е — е, — ег ) для лЕ М, я„дгЕ С,откупа легко следует, что группа Н,(С,М) изоморфйа Мет (О/(0,0)) .
Обозначим через а аитиавтоморфизм алгебры е(С), определяемый тем, что о(ег) =ег-! дпя г н С. Всякий левый а(с)-модуль может рассматриваться с помощью окак правый е(с)-модуль и обратио, это позволяет, например, определить группы н)(с, м) дпя левого е(о)-модуля м, х(с) положив Нч(С, М) Нч(С, о,(М)) "То! (Х, М). Ле мма 1. Пусть М вЂ” Х-модуль; обозначим через М груллу Ноют.
(Х(с), М), наделенную естественной структурой левого Х (с) -модуля. Тогда Нг(6, МО) =С пр (> 1. 6 6. Ислользоеавве векаловачаскнх реэольаенг Действительно, из предложения 8, б) (с. 110), примененного к А=Х=2(Р) и В = (1 Х, получаем, что имеет место канонический изоморфизм Ех1 (о)(Х,М )-+Ех12(7„М), опсуда следует лемма. Н р е д л о ж е н и е 11. Пусть Š— расширение Галуа конечной степени поля К с группой Галуа С. а) Н((С,1.) =0 при г> 1. б) Н'(С.Е') мО.
в) .фуппа Н (С, Е') канонически изоморфна группе Вг (К, Е) ( т1!1, 8 13) . .Теорема о иорьильном базисе (т', 6 10, и'9, Ф. б; Алгебра, зу, с. 180, теорема 5) показывает, что Е как с(~)-модуль изоморфно К мНоще(с(~), К); утверждение а) следует теперь из леммы 1. Если принять во внимайие пример 2, утверждение б) будет следовать из т', 8 10, п'5, ргор. 9, сот. 1; наконец, утверждение в) доказано в ИП, й 13. Упражнения 1. Пусть в: А-+  — гомоморфнзм колец, М, Х вЂ” два левых В-модуля, Р— правый В-модуль. а) Пусть ЕВ (соответственно ЕА) — пРоектнвнаа резольвента В-модуля (соответственно А- модуля) м: показать, что существует Алинейный морфизм резольвент е а-+1.в, единственный с точностью до гомотопии; получить отсюда градуированные х-гомоморфнзмы степени 0 о: Тотд(Р,М) Тогл(Р,М), Е: Ех!В(М,Х) Ех!А(М,Х), б) Рассмотрим канонические гомоморфнзмы (с. 110) ТогА(Р М) ТогВ(Р е, В М), н: ТогА(Р М)- ТогВ(Р В е, М) ш Ех(в(ВеАМ,Х)чЕх(А(М,Х).
р: Еьтв(м,ношд(В,Х))-~Ех!А(М,Х). ПУсть т: В еАМчМ, р: РеАВ Р и л: Х Нощд(В, Х) — В-гомоморфнзмы, определяемые ло формулам: т (Ь ех) - "Ьх, р(у е Ь) =уЬ и л(т) (Ь) = Ьг для Ь и В, хи М у и Р т и Х. дока- зать равенства: О ТОГ(1р,т) ч Н ТОГ(р,1М) Х, Е тч ЕХ!(т,!Х) =Ре ЕХ!(1М,Л). 2. Пусть А,  — две Ьалгсбры (ассоциативные и унитарные); пусть М вЂ” левый А-модуль, Р— правый В-модуль, Х вЂ” (А, В)-бимодуль. Рассмотрим гомоморфнэм а.
'Нощи(Х, Р) еАМ -ч Нощи(Нопзд(М„Х), Р), при котором а(нет) (е) =и е(т) для ии Ноши(Х, Р), си Ношл(М, Х), ми М (и, р. !90, ехегс!се 6). а) Заменяя М лроективной резольвентой, определить с помощью о Ь-гомоморфнзм т: Тог (Ношв (Х, Р), М) Ношагн (Ехсд (М, Х), Р). б) Предполагаем в дальнейшем, что кольцо А нетерово слева и что А-модуль М кояечного типа. Показать, что если В-модуль Р нньектнвен, то г — нзоморфизм. в) Показать, что существуют две спчктральные последователыюсти Е и'Е(с.49-51, упрюхне- ння 14-17), сходтциеся к одному и тому же градуированному а-модулю, для которых Езр'ч =Тот р (Ехгв (Хгр), М), 'Е~' Ехгв (Ел!А (М, Х), Р). 2, Пусть! — инъективный Ф-модупьч для всякого А-модуля М обозначим через (з(М) правый А-модуль Нощь (М, 1) .
Пусть М и Х вЂ” два левых А-модуля, Р— правый А-модуль. доказать, что пля всякого р В 0 Ь-модули Ехслл(Р, ))(М]) н !)(Тог (Р, М]) изоморфны; если кольцо А нетерово слева и М вЂ” А-модуль конечного типа, то й-модули Тогз, (0(Х), М) и 0(Ех(А(М, Х) ) иэоморфны (использовать упрюккение 2, б), и упражнение 6, б), с. 102) . 4.
для всякой группы С обозначим через ео: 2 В гомоморфизм колец. прн котором (С) ео(еа) 1 для любогоа И С; положим 1С Кет(ео). а) Показать, что группа Н, (С, Е) изоморфна 10/10з, б) Пусть (а!),и! — порождающее семейство дпя С; показать, что злементы (е — 1) для !и! лорохщают идеал 1С. в) Предположим, что семейство (ез) !и! базисное (1, р. 86). Показать, что (ее — 1)зи! естьбае! зис левого Х ( ]-модуля 1С. 8. Н, Бурбаки 114 6 б. Ислользвваиие неканонических реэольееиг 5. Пусть Х множество. С = Е (Х) — свободная группа. построенная на Х, М вЂ” Х -модуль. (С) Показать, что группы НЧ(С, М) н НЧ (С. М) равны нулю лрн Ч в 2 (использавать упражнение 4). 6. Пусть С - конечная группа порядка л, М - Х -модуль.
Показать, что для всякого Ч > 1 (С) Х-модули НЧ(С, М) и НЧ(С, М) аннулируются числом и (рассмотреть гомотапию й комплекса 0(С, М) в себя, определяемую ио формуле А/(8,.....ЯЧ) =(-1)Ч ~ /(я,,,яч.я) яЕС для/Е ГЧ (С, М) ив,я,,....яч е 0). Если М вЂ” Х-модульконсчнога типа. та группы Н (О, Ы) +! Ч и НЧ(0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
