Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Показать, что отношение, таким образом определенное, представпмет собой отношение эквиваленткости на Е'(С, М); соответствующее фактормпожество обозначается через Н'(С, М) . Класса Н'(О, М) отображения с ш Е'(С, М), при котором Пг) = гы Длм всЯкого у Ш С, обозначается через ес м нлп просто ем. б) Пусть у: М ь Н вЂ” гомоморфизм С-групп (1, р. 30, бе(. 3); показать, что г' индуцирует гомоморфизм групп ге с Н'(С, М)~ Н'(О, Н) и отобрамсеиие /сс Н'(О, М) -«Н'(О, Н). при котором /'(г„) = Р в) Пусть М-~Н (2 — последовательность С.групп н гомоморфиэмов, в которой гомоморфиэм с ннзективен, р сюрзективен и 1пс(с) = Кес(р) .
Показать, что группа Н' р с(Не(0,0)) действует на Е'(О, М) таким образом, что (л.») (8) = ел 'Л(8) ял для ля Н', Л ы Е'(С, М), 8 ы С, показать, что это действие определяет посредством перехода к фактормножеству действие группы Н'(С,О) на Н'(О, М). Отображение /'с Н'(С,М)-» -~ Н'(С, Н) переносится на фактормномсество н определяет биекцию Н'(О, М)/Н'(С, (2) иа йпб'). г) Пействие группы Не(С,(2) на Н'(С, М) позволяет определить отображение 3: Не(0,0) -ьН'(С, М) по формуле: д(9) =9 ем для 9 ы Н'(С,(2). Показать, что 1шб ) =кш(р ) 1ш(р ) = з (гм). 1пс(В) = (П )-'(е„), 1ш(с') = ( р')-'(е(1). д) Мы предполагаем в дальнейшем, что с(М) содермсится в центре группы Н.
Показать, что 3 — гомоморфизм групп; построить действие группы Н'(С, М) на множестве Н'(О, Н) таким образом, чтобы отображение р' переносилось на фактормножеатво и определяло биекцию Нс(С,Н)/Нс(С,М) на 1ш(р'). е) Пусть  — множество отображений Л группы 0 в Н, для которых р Нб Е'(С,О). Дия Лы Е показать, что суиюствует такой элементу»ЕЕ'(С,М),что /Ь/»(х, у))= /с(х) "Л(уНЛ(х. у)) ' для х, у ыС. Показать, что отображение Л ььг» определяет посредством перехода к фактормножествам отобр мнение 3 ': Н ' (С, Я) -ь Н' (С, М) . Показать, что 1т ( р' ) " ( 3' ) ' (0) .
6 6. Использование иекаиаиических резольаеит 24. Пусть К вЂ” поле, Š— конечное расширение Галуа папи К с группой Галуа С. Пусть Ч (соответственно Ч') — векторное К пространство, т (соответственно т') — тензор типа (р, д) на Ч (соответственно Ч') (П1, р,63). Кчрзоморфизмом (или просто изомарфизмом) (Ч,г) на (Ч', т') называется К-пннейнмй нзоморфизм и: Ч -р Ч', дпв которого (Ти(и) а ьТР(й)) (т) =т'. Мы будем обозначать через ЧЕ векторное Е.пространство Е ь Ч и через т К тензор типа (р, В) на Ч(„попучаемый из г расширением скавиров.
Через Г~ (К(Ч,т) обозначается множество классов атноснтеПЬНО НЭОМОРфизма пар (%,г), дпя которых пара (%е, те) 1.-изоморфна (Чз, т(,). а) Пусть М вЂ” группа 1..автаморфизмов пары (Че,т(,). Лпи тле М н ее С паножнм: щ=х (а)ртл а (а) ', где ч: С Аа1К(ЧЕ) обозначает действке С на ЧЕ ЕадЧ, попучаемае из действия С на Е.
Показать, чта таким способам на М определяется структура С-группы. б) пусть (%,т) — элемент нз ре(к(ч,», и пусть и и — е-изоморфизм (че,те) иа (%е,ге). Лпи об С обозначим чеРез )и(а) зпемент и ' в%(а) и чЧ(а) ' гРУппы М. Показать, что Г„е 2,'(С, М) (упражнение 23) и что его класс в Н'(С, М) не зависит ат выбора и; он обозначается через В (%, г) в) Показать, что отображение В: Ге)К(Ч,т) Н'(С,М) биектиаио ичтаа(Ч,т) "ем. (( 25. Пуси К вЂ” поле, Š— конечное расширение Гапуа папа К, С вЂ” его группа Галуа.
Определим действие группы С на группе С1.(п, Е), положив а(аб)=(а(а(1)) дпа аы С, (а;) еСЕ(л,Е). Всякаа подгруппа в С1.(п,Е), устойчивая относительного этого действия, надепастсятемсамым структурой С.группы (упрюкненне 23) . а) Показать, что множества Н'(С, С1.(п, Е)) и Н'(С, Я.(л, Е)) состоят из одного элемента (ср. Ч, 6 10, и'5, ртор. 9). б) Показать, что множество Н'(С,РСЕ(и, Е)) отождествляется с множеством классов относитепьно изоморфизма центральных простых апгебр 5, дпа которых алгебра Е ь 5 нэоморфиа М„(Е) (испоньзовать упражнение 24).
Сопсставпха такай алгебре ес класс в группе Вт(К, Е) и отождествпаи зту паспеднюю группу с НР(С, Е') (ЧП1, 6 13). получаем отображение Н'(С, РСЕ(п, Е)) Н'(С, 1.'), которое противопопожно отображению д' (уирюкнение 23, а), получаемому из расширения Е*-р СЕ(п, Е) РСЕ(л, Е). в) Показать что множества Н'(С Вр(2п, Е)) состоит нз одного зпемента (ср. 1Х, Я 5 п'1, 1)ь 1).
г) Пусть 0 — квадратичная форма на векторном Кчрространстве Ч, ОŠ— квадратичнаа форма, которая нз нее попучаетса на Е а Ч, Показать, что Н'(С, О(СЕ)) атаждествпиется с множеством квассов относительно изоморфизма квадратичных форм О' иа ч, двп которых форма Ое иэоморфна ОЕ 26. Обозначим через А й-алгебру АаиАр( всикий (А, А)бимодупь естественным образом иадепиетса структурой левого А -модуля, а также структурой правого А -модуля. Пусть М— (А, А)бимодупь, л — целое чиспо вО; попожим Нп(А, М) Тот (М, А), Н (А, М) = Виги (А, М). а) йх-модуль Нь(А, М) иэоморфен фактормодупю й модуля М по )р-подмодупю, порожденному элементами ат-юа дпи а б А, та б М; х модуль Н'(А, М) иэоморфен й-подмодупю в М, образованному зпементамн т, дпя которых атл =тпа прк всех а ы А.
Амодупь Н'(А, М) отождествпиетсяс фактормодупем А.модули дифференцирований Ви (А, М) па й-подмодупю внутренних дифференци. рованнй, т е. дифференцирований р(щ, опредепиемых дпи те М по формуле ргтл(а) =аж-ам дни всякого а% А (ср. П!,р. 132). б) Преппопожим, что А — праекгиаимй'А.модуль. Показать, чта стандартная резапьвента В (А) (с. 62) опредевиет проектнвную резоньвенту левого А -модуля А. Вывестн отсюда, что А.модупи Н (А, М) нзоморфны модулям гомопагии комппекса С(А, М), где прн р > О Сн(А, М) представ- лает собой )р.модуль й-попивинейных отображений Ар в М, С" (А, М) = О при р < О, а дпфференциан запаетси по формуле р-1 (а2') (хр,, хр) = хр Г(х,,..., хр) + Е' (-1) )'(х„..., х(х(.ты..., хр) + (=о +(-1) Г(хр,..., хр з) .хр, р+2 идн 2 Б С~(А, М), хр,..., хр б А.
2(ать аналогичное выражение дпн йародуней Нп(А, М), в) В предположениях пункта б) пусть р: й -+й' — гамоморфизм коммутативных колец, А'- й'.елгвбра й' аи А, М вЂ” (А', А') бимодупь Показать, что й модуни Н„(А, М') н Н„(А', М') (со- ответственно Н"(А, М') н Н" (А', М') ) нэоморфны. г) Предпопагаем в дальнейшем, чта х — поле. Пусть  — другая /еапгебра (ассоииативпаа н уни.
тариаа), М вЂ” (А, А) бимодунь, Н вЂ” (В, В) бимодунь. Дпи всякого и х О определить изоморфнзм !2О й б. Исдольэование неканонических реэольвенг ».модулей Нд(А е» В, Ме),Х) е (Нр(А,М) е!е На (В, Х)). рьч=д Если предпололщть дополнительно, что алгебры А н В конечной размерности иад», то показать, что существует также»мзоморфизм Нд(А е1, В, М е» Х) е (Н!'(А, М) е» (Н'!(В, Х)) рва=и для всякого л и О (использовать теорему 3, с. В2), д) Пуси, М, Х вЂ” два левых А модуля, Р— правый А.модуль, так что»-модули Нощ»(М. Х) н М е» Р имеют естественные структуры (А, А) Чимоделей. Определить для всякого л р О изоморфигмы»-модулей Нд(А,Ною!(М,Х)) Ех!1(М,Х) и Нд(А,М е»Р) Тоги(Р,М). ч 27.
Понолнением»-алгебры А называется унитарный гомоморфнзм»влгебр а; А ы»; пара (А, «) называется лоловненной»-алгеброй Пополнение наделяет» структурой левого А.модуля. Пусть М - левый А.модуль, Х вЂ” правый А-модуль! положим Нд(А;и; Х) = Тот р(Х, ») и Н "(А, е; М) = Ех!А(71, М) для всякого л д О. а) Обозначим через М(„) (соответственно Х(„)) группу М (соответственно Х), наделенную структурой (А, А) -бимодуля, определяемой по формуле: адм' = е(а')аед (соотеетственно ада' = де(а)а') для а, а' ы А, т ы М, д ы Х. Показать.
что»еьодуль Не(А, е; Х) (соответственно Н'(А, е; М), соответственно Н'(А, и; М)) изоморфен».модулю Не(А, Х(е)) (соотеетственно Не(А, М(е)), соответственно Н'(А, М(„)), определенному в упражнении 26. б) Далее мы предполагаем, что А — дроекгивный »-модуль. Определить с помощью стандартной резольвенты (с. 62)»изоморфлзмы о„: Нд(А, Х(е)) Нд(А, и; Х) и од: Нд(А, М(е)) Н (А,а; М) длявсех др О. в) Предположим, что существует гомоморфизм»влгебр р: А А, который превращает А в проективный правый А.модуль и для которого левый идеал в Ае, порожденный множеством р(Кег(и)), совпадает сидром гомоморфнзма Ае» А' А, определяемого умнсскеннем в А. Показать, что лдя всякого (А, А)Чнмодуля О и всякого целого л д О существуют»ч1зоморфизмы Нд(А, е; О) Нд(А, Я) (соответственно Нд(А, е; Я) Нд(А, О)), где О рассматривается как правый (соответственно левый) А модуль при помощи гомоморфиэма ш (Использовать канонические гомоморфизмы (11), (12), с.
110). г) Показать, что предположения в пункте в) выполняются в следующих случаях; а) А — 1РУпповая алгебра (нап») некоторой группы О, р определяется условием: Р(ся) г р) А — тензорнея (соответственно симметрическая) алгебра проективного».модуля »г; р апре. делается усдовием; р(и) = и е 1 — 1 е ю 'т) А — обертывающая алгебра алгебры Лн й нац», которая свободна как».модуль! имеем: Р(х) х е ! — 1 ех длл хяя (использовать Е(Е,1, З 2, л'7, сот.5 аль.1; Группы и алгебры Ли, 1, с.
32, следствие 5 теоремы 1) ь) А — кольцо функций гладкой алгебраической группы Оющ полем»; полагаем » » О(Г) Е 1!'е),", гд 7(й» ')- Е У(у)1!"(») для й»ЫО,. 1=1 1=1 *28. Пусть б — алгебра Ли иад коммутативным кольцом», У вЂ” ее обертываюшия алгебра. Неделим» структурой левого () модуля, соответствующей тривиальному представлению алгебры Ли й . Пусть Х вЂ” правый й модуль, М вЂ” левый Я.модуль, л — целое число >О; положим: Н„(О,Х) = Тотд(Х,/с) и Н"(б, Х) Ехф(»,М). а)» модуль Не ( й. Х) (соответственно Не ( й, М)) нзоморфен Х/Х й (соответственно подмодулю в М. образованному элементамн, аинулируемыми алгеброй Лн й ). Обозначим через Е' ( й, М) (соответственно В' ( й, М))» подмодуль в Нощ»( В,М) образованный элементамн) лла котоРых У((х,'У)) =«У(У) — УУ(х) пРн х,УМ б (соответственно таклмн элементамнУщдлл щы М, что у„,(х) хт при хщ й ).
Показать, что Н' ( й, М) отождествляется с фактормодулем Е' ( й, М) !В' ( й, М) 121 6 1. Комнозняионное лронзееаелие б) Предполагаем в дальнейшем,что й — свободный Я-модуль. Показать, чтой-модули Н"( й, М) отождествляются с модулями гомологю» комплекса С(8, М), где для рва СР( й, М) представляетсобойе модулькососнмметрических полнлинейныхотобрюкеннй йрв М, СР( й, М)= 0 для Р < О, а дифференциал задается по формуле а/(хз ха+1) Е ( 1) х» у(х~ х» хр+1) + »С»СР+1 + Е (-1)»+»у([х»,х-[,х,,...,х»,...,хр...,х»,+1) 1С»</СР+1 длл 7 н С",( й, М), х„..., хр+1 о й (где знак " над буквой означает, что она должна быть опущена).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
