Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 42
Текст из файла (страница 42)
101, это морфнзм комп- лексов ') . Иэ него получаем градуированное )г.линейное отображение степени 0 Н(Нопгйгл (1.( ), )-(О))) е„Тот (Р, М) -+ Тгн (О, М), следовательно, посредством изоморфизма Ф (1.(Р), 1. (0)) из а 6 (с. 103, теорема 1), градуированное )г-линейное отображение степени 0 Ехг, (Р, О) е» Тот л (Р, М) .+ Тогл (О, М), (10) соответствующее гг-билинейным отображениям ср, ° ЕХ1 (Р О) Х Тот (Р М) 'ч Тот' (О, ), (11) обРаз паРы (а,;У) пРи отобРажении ср гу, ьг называетсЯ композиционным лРоиэведе- иием элементов а и у и обозначается через а 'у. По построению, а с г получается следующим образом: а представляется некоторым морфизмом коплексов у: Е(Р) о 1.(0) ( — л), 7 — элементом г Е я. (1,(Р) е 1,(М)), и а с 7 есть класс элемента (г е 1) (т) Е Лги (1 (О) ( ") еА 1 (М)) с„-«(1-(0) еА )-(М)).
Например, если ак Нопг„(Р, О), то а 7 = Тот(а, 1) (у). Заме чан и я 1. Если использовать иэоморфизмы Ф, рассмотренные на с. 16, то можно также определить композиционное произведение посредством коммугативной диаграммы тч(го) т (Р,иг "" те,~ам~ ик, °,ММ)~ ~рч(м) Н" (Н йг„(Е(Р), ЦО))) Н (1.(Р) (Е) М) Н „(1.(0) (Е) М); другими словамн, мы представляем а морфизмом у из 1,(Р) в 1.(0) (-л), 7 — циклом хЕ 1.
(Р) е М,и а у есть классцикла (У'м е 1 и) (х) ж )т« — «(О) еА М. ') Если Ц, 5 — комплексы правых А-модулеа и Т вЂ” комплекс левых А-модулсд то тзк же, кзк нз с. 101, легко проверяется, чта каноничсскна гомоморфнзм и: Намаз (И,З) Ноыаг»(И в Т, 5 и Т) А ' А представляет сибов морфнзм комплексов. Использусмыа в тексте морфизм комплексов получается квк композиция морфизмз и и 1П и т н морфизмз (18), с. 101. Отметим, что канонический гомоморфизм Ног«агл (5, т) - Ногиаг» (Ц А 5, Ц «А т), глс и — комплекс правых А-модулса и 5, т — комплексы левых А-модулей, нс являстсн морфизмом комплексов. Поэтому гомаморфизм г А А Ехг (М, Н) и Тот (Р, М) Тат (Р, Н) определяется нике (с.
134) с помошью изаморфнзмав коммутирования. — Примеч. пер 134 1 7, Композиционное произведение 2. Можно также использовать резольвеиты 1(Р) и 1(0). Анаяопгчно, еоги 1ч — второй левый А-модуль, то определяется композиционюге произведение (д, 7) + д ч у, обозначаемое через сю и н ( Ехс гг(М, Щ Х Тог~ю(Р, М) -+ Тог~м „(Р, 1(1), посредством коммутативной диаграммы е~'„(м,щ т~ (Р,м( '' т с,а,((( ! м чне„~ ~ю „ (1г) Е гг (Мч 1((о) '1' ь (М~ р~) ~~' н 'Т А (1((о рч) где о обозначает гомоморфизмы коммутирования (с. 78), Если д(- :Ехтх(М, 1ч) — класс морфизма О: Ь(М) -+ Ь(1(1)(-г) и если 7Е А У Е Тот„,(Р,М) — класс цикла т = Х тц,где зри Ьг(Р) е,(Ь;(М)),то и ч уесть, таким ау образом, класс цикла Х( — 1)и(1 ей) (тй).
(,1 Можно также представить 7 циклом у Е Р е Ь„,(М), и д о 7 есть в этом случае класс цикла (1 ей) (у) Е Рэ 1 „(М). П р е дл о ж е ни е 6.Пусть К,М,1ч — левые А-модули, Р,0,К вЂ” правые А-модули, оЕ Ехсх(Р,0), Ое Ехг~л(0, К)„ЛеЕхгл(К, М), д Е Ехгл(М, М), 7 Е Тот„,(Р, К). Тогда (Очи)чу йо(по 7) в Тогщ а н(К,К), (13) (Ич Л) ч 7 Ич (Лч 7) в То~т — ( г(Р, 1Ч), (14) пч(Лч7)и( — 1)""Хч(ио 7) в Тоге „„(0,М). (15) Формулы (13) и (14) немедленно следуют из определений. Докажем (15).
Пусть я = Хга, тц Е 1.,(Р) э Ьг(К),— цикл, представляющий 7, Т: Ь(Р) 1.(0)( — п) и йс 1.(К)-' ЦМ)( — г) — морфизмы, представляющиеи и Л. Тогда Лч (ач у) есть класс цикла Х( — 1)б "~'(Тэй)(гц), а ао(Ло г) есть класс цикла Х( — 1)иЧеО)(г(г), откуда получаем (15) . 8. Компоппгионяые произведения и связывающие гомоморфиэмы дяя произведений кручении П р е д л о ж е н й е 7.
а) Пусть (6) 0 -+ Р' — + Р— + Р" - 0 — точная последовательность правьгх А-модулей, О Е Ехт~,(Р", Р') — ее ассоциирован- ный класс, М вЂ” левый А-модуль. Связывающий гомоморфизм Он(й, М): Тот„(Р", М) Тот„л,(Р', М) предслмляет собой отображение 7' О ч 7, б) Пусть (а) О М' М М" Π— точная последовательность левых А-модулей, О, Е Ехт~,(М', М') — ее ассоциирован- ный класс, Р— правый А-модуль Связывающий гозсоморфи: ч Он(Р,К(): Тоге (Р,М")-+Тога,(Р,М') предсг"являет собой отображение Г О, ч 7, 1 7. Композиционное нроимедочне 135 пусть т етог~(Р",м) — класс цикла г" е х„(ИР")ен Цм)), и пусть О~Р' — Р— » Р"-» О / о Ь,(1 ) А- Ьо(Р") Ж-1 Π— коммутативная диаграмма.
Мы будем обозначать через р: 1. (Р') - Р' и р": 1.(Ро)- - Р" канонические морфизмы комплексов. По определению, б( у) Е Тогнн г(Р', М) получается следующим образом: выбираем элемент х Е РэЬ„(М), дпя которого (Яе!)(х) =(Р" е1)(г") и б(У) естьклассцикловгЕЕ„г(ЦР)эЦМ)),длЯкотоРых (Г э!) (Р э!)(г ) (!»ь»"ч)(х) При О < г < л обозначим через г " компоненту элемента г" в Ьг (Р") е Ьч г (М), имеем О=13 «=Х(г(, 1~( — 1) д -)( ) 1 снедпвателъно, (»11 е 1) (гг') ( 1)геди г+г(гг' г), и, в часпюсти, (с(г е 1) (гг') = -1 э»(н(гон).
Теперь можно выбрать х =(ио е1) (го); в самом деле, имеем: (яэ1)(х)=(ро э1)го =(р э 1)(г ). Так как (! э с(н) (х) = (ио э 1) (1 э ь(ч) (го ) = — (ио е 1) (»(г э 1) (г,") = (~е 1) (и, е 1) (го), то отсюда следует„что б (т) есть класс циклов г' е Х„г (Ь(Р ) эн Ь(М)), для которых (р' е 1) (г)) = — (и, е 1) (гг ). Но, по определению, классВ соответствччетпри изомоРфизме Бхт',, (Р ', Р ) - Н' (Нопгйгн (1 (Рч), Р ) классУ моРфнэма 1»: 1.(Р ) (1)- Р, определяемого отображением — и„и нронэведенне В о у есть класс циклов г'Е2н г (1,(Р') е,, Ь(М)), для которых (р э 1)(Р)м(й е 1)(г")= — (и, э 1)(г,), что завершает доказательство утверждения а).
Утверждение б) выводится из а) с помощью иэоморфизмов коымутирования. С л е д с т в и е 1, Пусть О ° Р' -+ Р -«Р" -+ Π— точная носледоватетьность правых А модулей, О - М' -«М -+ М" - Π— точная последовательность левых А-модулей. Композиции связывающих гомоморфизмов Тогл(Р",Мл)-«Тогя г(Р",М')-«Тога э(Р',М) н Тогй(Р",М")- Тогй г(Р,Мо) — Тоглч э(Р,М ) противоположны друг другу. действительно, если В и В, — классы, ассоциированные с данными точными последовательностями, и если у С Тот~ (Р",М ), то образы у равны соответственной о о (В, «Г) и В» «(В «у) и, следовательно, противоположны согласно предложению б. Воспользуемся снова обозначениями со с.
132, и рассмотрим последовательность левых А-модулей ( $ ) и связывающие гомоморфизмы, соответствующие точным последовательностям (9): Тогню(Р,К1 1).+Тогн г(Р,Кг); нз них посредством композиции получаем итерированные связывающие гомоморф»»змга б (Р, ф ): Тоги (Р,М)~Тогн „(Р,Щ, Согласно предложению 7 и предложению 3, с. 125, имеет место 5 2 Композиционное нриизаагенне С лед от в н е 2. Есчи д (= Ехтя (М, Н) — класс, ассоциированный с точной последовательностью ( $ ), го д,„(Р, $ ) (о) = д и а для всякого а б Торна( (Р, М). С я е д с т в и е 3. Если все модули К(, 1 = 1,..., п.
плоские, го отображение а В и о из Тогл ии (Р, М) в Тогя (Р, Н) биекгивно для всякого правого А-модуля Р и всякого целого т > О. Это вытекает из следствия 2 н точных последовательностей а Тогнмин (и( (Р,к()-иТотямин (з( (Р,К; 1)- г '(огм+и-1(Р. К() То(м+и-((Р,К(), в которых крайние члены нулевые по предположению. Аначогично, если ($1) О 0 Зн Зн-1 -'81 +Р 'Π— точная последовательность правых А-модуяей и М вЂ” левый А-модуль, то опредепя.
ются игерированные связывающие гомоморфизмы д ($„М): Торя (Р,м)- Тот'~ „((),М) н имеет место: Следствие 4. Если д, ~ Ех(2 (Р, (г) — класс, ассоциированный с точной последовательностью ($ ), го д,„($1, М) (а) = д, и а для всякого а Е Тоги (Р, М). 9. Вычисяеиие композиционных произведений посредством сдвига резопьвент Пусть з о м к„к„, ... к, м'-о (16) -точная последовательность левых А-модулей и В Е Ехтхи (М', М) — ее ассоциирован.
ный класс. Пусть а: (К, д) -+ М вЂ” левая резояьвента дпя М; имеем, таким образом, точную последовательность а(, а( аи — К„К„, ...4Ки 'М О и„посредством сдвига на п (с. 32), точную последовательность (-1) аи (-1)" а( (-1)" аи ʄ— К„,, ' Ки — и М О. (17) Из (16) и (17) получаем точную последовательность (-1) ан (-1) а, (-1) 7~ а к, к„, ... 'к,— — 'к„к„,-... к, м'-о, дающую резопьвенту К' дпя М'; обозначим через ак К -+ К( — п) морфием, при кото- ромч(и =1п „дпя)г> п. Если 1(( — левый А-модуль н Р— правый А-модуль, то имеем, следовательно, гомо- морфизмы: Н(1р в р): Н(Р ох К ) Н(Р ея К) ( — п'), Н(Ноздря (ч(, 111)): Н(Нотдгл (К, Х)) (п) -и Н(Нощдгя (К', Н)). Пусть й — целое число.
П р е д л о ж е н н е 8. а) Следующач диаграмма, в которой Ае (п) = (-1) н(н ') (з О и и о, коммуизтивна( Т ...(Р,М( Т ((Р.М( н,,(зе з) '" наз и(. !37 1 7.Комлокинионное лроиэеедение б) Следующая диаграмма, в которой бе(б)=( — 1)Щл '177 б о В, коммутативна: нтн н„ек,нт ~к" "'" нккен н„<к,нт чо(а, щ~ ~е" ти; нт Ехткл(М, Х) Ех!'„'" (М', Х) . Пусть а: Ь(М) ~К вЂ” морфизм комплексов, для которого а о а = ры, и пусть ь„(м) 1.„,(м') ... — ь (м') м' о е ~ 1к ко~ ~! 0 М К„... К, М' 0 à — коммутативная диаграмма; выберем гомоморфизм и„: 1,Л(М') - Ьо(М), для которого ры о ол = ( — 1) "ил; согласно предложение 1, а), с.
54, ол продолжается до морфизма комплексов о: Ь(М') - Ь(М) ( — и) и ( — 1) л!л 'Н~ В есть образ при каноническом изоморфизме Нл(Нощйгк (1,(М'), Ь(М) -+ Ехт~х (М', М) класса о (с. 124, замечание 1). Онределим морфизм комплексов б: Ь(М ) -+ К, положив бр = ир при р ~ <и — 1,брлар л о ирпрнр> и; имеем: ое о рой( — и) о о, С другой стороны, по определению отображений р н Ф, имеем: оун(Р, К) =Ни(рреа), р (К, Н)л Н (Нопгйгя(а, ен)), ткн,„(Р, К') = Нн,л(рре р), р~+"(К',1Ч) Н"ол(Нозпйгя(Р, еи)). Наконец, по определению композиционного произведения имеем: йв Н(рр, 1ь(ы)( л)) о Н(1р е о) о Н(рр, 1ь(но)), йв Н(НопФгя(и, 1цн))).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
