Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Эквивалентность условий (!), (И) и (ш) следует из предложения 1. Очевидно, что (й) м(п ). Нам достаточно, таким образом, доказать импликации (и ) м(зре) м м(ч) м(1). (и') = (1ч): в обозначениях иэ (Ре) пусть К вЂ” ядро гомоморфизма 1 — 1'. Согласно следствию4, с. 132, для всякого А-модуля М имеем изоморфизм Ехтл(М,Х)- -+ Ех!л (М, К); нз (и') тогда следует, что Ехт,'~(М, Х) = 0 дпя всякого А.модуля М ко- нечного типа. Согласно предложению 11, с.
97, это влечет за собой, что модуль Х инъективен, откуда следует (1ч), (!ч) м (ч): пусть М вЂ” А-модуль. Применяя (зч) к точной последователыюсти О М 1 (М) )!(М) ... 1" '(М) К" '(М) О, с. 58, заключаем, что модуль К" '(М) иньективен, откуда следует (ч) (ч) м (1): это следует из теоремы 1, с.
103. А 3 а меч а ни я. 1. Если дЬ(А) ~п (+, то То!я~!(Р, М) =0 для всякого Амоду- ля М и всякого правого А-модуля Р, так как драм < и (ср. лемму 1) . 2. Для того чтобы гомологическая размерность дЬ(А) была конечной, необходимо и достаточно, чтобы проективная размерность дрх(м) была конечной для всякого ненулевого А-модуля М.
Действительно, это следует из предыдущего и из следствия 1, с. 143. С л е д с т в и е. Предположим, что кольцо А негерово слевд и пусть и — целое число ~ О. Следующие условия эквивалентны: (1) дЦА) < и; (й) для всякой пары А-модулей М и Х конечного типа Ех1,, (М, Х) = О, (!и) для всякого левого А-модуля М конечного тина и всякого правого А-модуля Р л конечного типа Того~!(Р, М) =О. Зто следует из предложений 2 и 4. Заме чалке. Согласно эквивалентности условий (1) и (зИ), имеем: д)з(А) = = ЙЬ(А'), если кольцо А нетерево справа и слева. Это равенство не выполняется в общем случае (с. 155, упражнение 20) . ') Гомолощюскую размерность кольца често называют текже глобальной размерностью колщв н обозначают ю роз а!.
щт !А). — Г)рпмеч пер. 1 8. Гомологаческая раэмермост« !47 П р е д л о ж е н и е 5. Предположим, что кольна А петера во слева и имеет конечную гомологическую размерности и пусть Жь (соответственно г«) мноэгество классов проективных А-модулей конечного типа (соответственно А-модулей конечного типа). Тогда канонический гомоморфизм групп Тротендика К(Ъь) - К( У) биективен. Это вьюодится из следствия, с.
144. 4. Кольца гомологнческой размерности О П ре дло жение 6. Следующиеусловия эквивалентны: (1) всякий А-модуль проективен; (й) всякий А-модуль иньективен; (ш) всякий идеал в А представляет собой иньективный модуль; (!ч) Ж(А) < 0; (ч) кольна А полупросто; (ьб) А нетерово и всякий А-модуль плоский, (ч!1) всякий комплекс А-модулей расщепляем; (ч!!!) всякая точная последовательность А-модулей расщепляема Согласно предложению 4, (!) < «(!!) «=«~(!ч); согласно следствию предложения 4, (ьб) ««(1ч). Согласно, примеру 4, с. 39, (!) ~(ч!1); так как импликации (й) ««(1!!) и (ч!!) = (ьбп) тривиальны и так как имплнкация (чл!!). ~(!) следует из П, р. 39, ргор. 4, нам остается доказать импликацни (!Н) ~(ч) и (ч) ~(ч!), последнее утверждение следует из Ч(Н, 1 5, и'1, ргор. 1, 2; наконец, если всякий идеал в А ннъективен, то он является прямым множителем в А, откуда следует справедливость (!п) (ч).
5. Кольца гомологнческой размерности 1 П р е д л о ж е и н е 7. Следующие условия эквивалентны: (1) й)г(А) < 1; (й) всякий подмодуль проективного модуля проентивен: (и') всякий идеал в А проективен; (Уй) всякий фактормодуль иньективного А-модуля иньективен; (!ч) для всякого проективного комплекса С существует такой гомологиэм Р: С. Н(С), что Н(Р) =!и!с1,. (ч) дая всякого инъективного комплекса С существует такой гомологизм р: Н(С) ~ — С, что Н(Ф) =1н!с!. из предложения 4 (с.
14б). (!1) ~(!ч): пусть С вЂ” проективный комплекс. Если условие (Е) выполняется, то подмодуль В(С) модуля С проектнвен, откуда следует (!ч), согласно замечанию б) на с. 40. (ш) (1ч): пусть С вЂ” инъективный комплекс. Если условие (ш) выполняется, то фактормодуль В„(С) модуля С„«, инъективен для всякого и, откуда следует (н), согласно замечанию а) на с.
39. (!ч) ~ (й): пусть Р— проективный А.модуль, М вЂ” подмодуль в Р, 1: М - Р— каноническое вложение. Пусть р: Ь ~М вЂ” сюръективный гомоморфнзм свободного модуля Ь на М. Рассмотрим проектнвный комплекс С, в котором С~ = 1., Сь = Р, С! = 0 при ! Ф О, 1, А = 1«р. Если удовлетворяется условие (1ч), то пусть р: С- Н(С) — гомологизм, для которого Н(р) = 1и(с>.
Так как Н,(С) = Кег р, то р~ представляет собой проектирование модуля 1. на Кегр, следовательно, точная последовательность р 0 — Кегр — 1. М- 0 расщепляема и модуль М изоморфен прямому множителю модуля 1., следовательно, проективен.
(ч) = (1и): пусть ! — ииьектнвный модуль, М вЂ” фактормодуль модуля 1, я: 1. М— каноническая проекция. Пусть 1: М- У вЂ” инъективный гомоморфнзм модуля М в ииъектнвный модуль Ю. Рассмотрим инъективный комплекс С, в котором С =1, С' =1, С'=0 при !чь0,1, а'ь =!«а, Если условие (ч) удовлетворяется, то пусть '/г !О а 8. Гомояогвчеекея реэмерлоегь ч): н(с) — с — гомопопгзм, дпя которого н(ч)) 1н(с). так как Н'(С) = Со)сег 1, то ч)' представляет собой сечение канонической проекции 3- Со1сегг', и модуль М является прямым миожнтепем в У, следовательно, инъективен.
(И) ю (И'): зто тривиально. (и') (И): зто следует из ЧП, $3, Иь. 1, сот. 1, При ме р. Если А -ковщо гневные идеалов,то бй(А) н 1. 3 а м е ч е н и е. Есин кольцо А целостное (коммутативвое), то вредывущие условна зквивевент- ны таквв слевуюцюм: (гй ') всякий ценимый А-модуяь инвектив си; (И) всякий А-модуль без кру юаня юья ветен цвоекнм н кольцо А вегеров о. 1(елостиью кольца, удоввепюрюощие этим условиям, неэывеютея дедекиндовымн (ем.
е. 154, упрюввение 12, и АС, УБ, б 2, и'2. Ис 1; Коммутативиья алгебра, ЧП, с 571, теорема 1) . С и е д с т в н е. Б)~сгь А — кольцо гомологической размерности <1, С вЂ” комплекс проекуивяых А-модулей, С вЂ” комплекс проективных правых Амодулей, С вЂ” комп- лекс ипьекгивных А-модулей, Р— правый А-модуль, М вЂ” левый А-модуль, п — целое число.
Тогда имеем раси(епляемые точные доследовательносги: 0 + ю Нр(С)нл Нч(С) + Нл(Сил С) + ю Тот~ (Нр(С) Но(С)) + О 0-+ ПЕх(А(Нр(С), Н" р '(С')) -+ Не(Ногпбг (С, С')) — + Ф П Ногпл (Нр(С) Н Р(С )) + 0 0 Рол Нл(С)-+Нл(Рея С) — +Тот, (Р,Нл,(С))-~0, 0 - Ехг ' (Нл, (С), М) — Н" (Нопщгл(С, М)) — + Нопь ь(Нл (С), М) -+ О. Так как комплексы Х(С), В(С), Х(С) и В(С) проективны, а ком)щеке В(С ) ннъективен, то зто следует из следствия 2, с.
83, спедствия 1 и следствия 2, с. 99, 6. Гомопопвюская размерность колец миогочпеиов Л е м м а 2. Пусть р: А - А' — гомоморфизм колец, М вЂ” А-модуль, М' — А'-модуль. Если правый А-модуль Аа плоский, го дрА (А' вл М) < бра (М). Если А-модуль А, проекгивек„го дря(М ) ~дрл (М'), первое утверждение очевидно, если дрям = а ', если дря (м) = и е х, то существу- ет точная последовательность А-модупей 0-+Рл-+Рл, -+...-+Ро М-+О, в которой модули Рг проективны; поспедоввтепьность А '-модулей О ь А в А Рл ь А' ва Рл, ~...
-ь А нл Ро ь А нл М ~ 0 Р является точной, так как правый А-модупь Аа плоский, н А -модули А иА Рг проек- тивны (П, р. 89, сот,); следовательно, дря (А' ия М) < п =дрл(М). Второе утвержде- ННЕ ОЧЕВИДНО, ЕСЛИ дрл (М ) = х; ЕСЛИ дря (М ) = ПЬ Е р(, тО СущЕСтВуЕт тОЧНая ПО- спедоватевьность А'-модупей, 0- Р,'„- Р,'„, - ...-'Ре -+М'-ьО, в которой модули Р) проектнвны; она представляет собой также точную поспедова- тепьность А-модулей.
С другой стороны, каждый А'-модуль Рг является прямым мно- жителем некоторого модуля А,, следовательно, является проективным А-модулем; г (1) таким образом, дря(М') <пь = дрл~ (М'). б о. Гомоаоеи ческая размерность Л е м м а 3. Предположим, что кольцо А коммутвгивно '), и пусть М вЂ” А [Х]-модуль. а) Имеют место неравенства: йрА (М) < йрА(х1 (М) < йрА (М) + 1.
б) Если гомогвгия Хм иньгкгивна, пз йрА (М/ХМ) <йрА(х1 (М) . в) Если ХМ = О, го йрА (М) + 1 = йрА(х1 (М) . а) Имеем точную последовательность А[Х]-модулей (111, р. 106 и УП, а 5, и'1): 0 -+ А [Х] эл М -+ А [Х] ил М -+ М -+ 0; утверждение а) следует теперь из следствия 2, с. 143, и из леммы 2. б) Если йрА(х1 (М) = +, то утверждение тривиально. Если А [Х] -модуль М проективный и ненулевой, то А-модуль М/ХМ отождествляется с А эА(х1 М, следовательно, ПРОЕКтИВЕН И йрА (М/ХМ) <0 ж йрА(Х1 М.
ЛНЛЕЕ ПРОВОЛИМ ИНЛУКНИЮ ПО йрА1Х1 (М) = П, предполагая, что и > О. Рассмотрим точную последовательность А [Х] -модулей 0 . Х- -+ Ь -+М -+О, гле 1. — свободный А [Х] -модуль; применяя к диаграмме 0 — е- М вЂ” Ь вЂ” М вЂ” 0 х„~ х„~ х„~ 0 — о [з( -» Ь -» М вЂ” о О предложение 2, с. 9, мы видим, что гомотетия Хн инъективна и что имеет место точная последовательность 0 -+ Х/ХМ -ч Ь/ХЬ -+ М/ХМ -+ О. Так как модуль Ь свободен над А [Х], то модуль Ь/ХЬ свободен на А, и имеем: йРА1х1 (1ч) = п — 1 йРА (М/ХМ) < 1 + "РА (1ч/Х1ч)' поскольку йрА (и/хи) < и — 1 согласно индуктивному предположению, то отсюда получаем неравенство йрА (М/ХМ) <и, которое и требовалось доказать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
