Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 49
Текст из файла (страница 49)
ПОКаЗатЬ, ЧГЦ ЕСЛИ дРА (Мо) С Л ДЛЯ ВСЯКОГО а П 1, та дРА (М) С Сл+ 1 (свестн к случаю л = 0 и 1= 8(, затем найлсатьточнуюпоследовательностьО иМл пМ„ л л М 0). 6) Пусть Р— плоский модуль, аблапюощий представлением А .. А Р О. где множест- (8) (Т) во $ счетное. Вывести из а),что дрл(Р) с1. в) Предположим, что вслкнй левый идеал кольца А порождается счетным множеством элементов. Наказать, что дрд(М) с бр!А(М) + 1 длв всякого Аееодуля М, порождаемого счетным семействам элементов. Вывести отсюда неравенства: дн(А) Сед(А) + 1 и ! дн(А) — ди(А ) ] С1. (Использовать упражнение 12, с.
67. упражнение 8. с. 153, а также пункт 6) .) $19. а) Пусть л — целое число Ь О, (Ми) а е ! — щщуктивная система А модулей, М вЂ” ее предел. Предположим, что Сыд(1) Сил (Е, Н!,р.87,ехетс1се10; Теория множеств, 1П, с. 231, упражнение 10) и что сУществУет цеЛое число г, длв катоРого дРА (Ма) Сг пРи всщсом и П 1.
ПакаэатЬ, что дрл(М) С г+ л + 1 (провести щщукпию по л, исщщьзуя упражнение 18, э), и упражнение 17). 1 8. Гомолоенческая размерность 155 б) Предположим, что всякий левый идеал колина А порождается семейством элементов мощностл С И „. Показать, что ЙРА(М) С ЙР16,(М) + я + 1 для всякого А.модуля М, порождаемого семейством элементов мощности с к„. Вывести отсюда неравенства Йй(А) СГЙ(А)+я+1 и ! ЙЬ(А) — ЙЬ(А')1Сл+!. 1 20. Пусть К вЂ” колыю главных идеалов, К вЂ” его поле частных.
Обозначим через В подкольцо га Оч в М, (К),образованное матрицами ~ /),гдеап К, х,уы К. хх у/ е) Показать, что кольцо В нетерово слева, ио ие является назаровым справа. б) Показать, что Й)г(В) = 1, а Й)г(В') = 2. 5 21. Пусть à — радикал кольца А. Показать, что следующие условия эквивалентны: о) Кольцо А/Г полупросто и длм всякой последовательности (а„) л ъ ! элементов иэ т существует такое целое число л, что а,...ал = О. Й) Всякий А-модуль обладает проективным накрытием.
т) ЙР1А(М) ЙРА(М) (с. 153. Упрюхнение 7) для всякого А-модуля М. 6) 2(лл всякой иыдУктивной щстемы А-модУлей (М,„, Где) е и 1 ЙРА(!!им ) С Шр ЙРА(М,). аи! е) Всякий плоский А-модуль проектявен. и) Всякаы убывающая последовательность моногамных правых идеалов кольца А стационарна. (Для локеэательств зквнвалеытности условий о) и 8) см.
Ч!П, б 8, ехегсюе 2б. Чтобы покшать, что яз а) следует г), заметить, что М обледаег минимальной проектявной реэольвеыгой Р и по мопуль Рк/ г Р„изоморфен тога (А/ г, м) . 2)дя доказательства имплнкапии е) и) пусть (1л)„э !в А убывающая последовательносп моногенных правых идеалов, так что 1л = а, ... алА, где а(п А. В свободном модуле А рассмотреть подмодуль Хр, порождаемый элементамк е,-а,г„... (М) ..., ер — арер+!.
Вывестинзе), что Х ОРГ предстевляетсобой прямой млоюпельв А(Р)); отсюда р сделать вывод, что 1„+1 = 1„при достаточно большом л. Для доказательства пмплнкацнн и) о) использовать Ч1П, 6 9, ехегс)се.12.) 22. Показать, по птелуюпгне условия эквивалентны: о) Всякий конечно представимый А-эеодуль конечной щюекзивкой размерыостн проективен. р) Всякий ныьективный А-гомоморфпзм Ар А допускает ретрекшпо. т) Лля всякого праваца идеала комечяого типа а, отличного от А, существует ненуиевой элемеыт х П А, лля которого х а = О. 6) Всякий конечно представимый простой щивый А-модульизоморфен (минпмалыюму) прагюму идеалу кольца А. (Заметнть, что условме т) эквивалентно условию р) в случае р =!.) $ 23.
Показать, что следующие условна эквивалентны: о) Всякий А-модуль конечной проектнвной размерности проектнвен. Й) Кольцо А удовлетворжт эквивалентным условиям упрюмнеипя 21, и для всякого правого идеала конечного типа В, отлнчного от А, существует элемент х Ф 0 в А, для которого ха О. -г! Кольцо А удовлетворяет эквивалеятыым условиям улрюхиенил 21, и всякий простой А-модуль юшяется фактормодулем ниъектявного А-модуля. (Исполыпя доказагепаство упрюанемия 21, показать, что иэ условяя о) следует, что всякая убывавыил поспедовательюсть моногеныых правых идеалов в А станионарпа.
Затем вывести иэ упрюю иенца 22 зквпвалыпиость условий о) и Й) . Чтобы увидеть, что из условия о) следует т), рассмотреть проективыое ыакрытае Р проегого модуля М, инъектявный модуль 1, содерллшлй Р, и проектнвюе иакрьыие () модуля 1; определять надлежащий А-гомоморфюм иэ О в Р и получить отсюда сюрьекцию модуля 1 на М. Чтобы вывестн, что из т) следует о), показать, что А-модуль М, лдя которого Йрд(М) С 1, проектмвен, рассмотрев проектмаыое накрытые р: Р М и сюръекцмю модуля Кег р.на некоторый простой модуль.) 24.
Обознаигм через ЙМ(А) (оютветственио Й(Г(А), соответственно ЫГ(А)) верхшою грань проектнвных (соответственно ниьектнвных, соответственно плоских) размерностей А-модулей, лля которых зта размерность конечна. Если А имеет конечную гомологнческую размерность, то ЙВГ(А) = Й(Г(А) = Й)г(А) н гйГ(А) = ГЙ(А). Если Ы(А) <, то пМ(А) = Ы(А). а) Показать, что ЫГ(А) С Й!Г(А' ); если кольцо А нетерово слева, то имеет место равенство (псполыовать упражнение 3, с. 113) .
б) Предположим, что кольцо А нбгерово слева. Показать, что ЙН! (А) С Й1А(Ае) . Если размерюстн Й(а (Ае) и ЖГ (А) конечны то покаэап, что оюг равны (использовать упражнение 2, с. 152). в) Пусть С вЂ” конечная груши, не сводящаяся к одному нейтральному элементу, А — кольцо Е ( ). Показать, по ЙН(А) +, ЙВГ(А) = гВГ(А) ЫГ(А) = 1, Й!А(Ае) + (ср. упражнеиие20, с, 117). 11' 8 8. Гомологическая размерность г) Предположим, что кольцо А самоикьекглело (с. 28, упражнение 26), ио ие полупросго. Показать, что всякий непроективныц А-модуль имеет бесконечные лроектлвную и инъектнвную размерности.
Вывестн отсюда. Что йл(А) =+, йд((А) йн(А) Ж(А) = й(А(Аэ) = О. 25. Обозначим через А А-алгебру А еа А', и будем рассматривать А как левый А~-модуль Положим йэа(А) = йрде(А). Если л — целое число > О, то неравенство йаа(А) < л эквивалентно, таким образом, обращению в нуль Е-модула Н" ! (А, М) длл всякого (А, А)-бимодулл М (с. 119, упрюкненне 26).
Имеем: йаа(А) = йал(А' ) . а) Показать что йаа(мл(!) ) = 0 и йаа(ЦХ„,...Хл)) =л для всякого л > О, б) Если 8 — поле, то йаа(А) = О, если и только если А-алгебра А абсолютно лолупростэя (см Ч1П, 8 11, и' 3. Пк 2; Алгебра ЧП1, с 223 определение 2) . в) Пусть М вЂ” своболнмя й модуль.
Йоказазь, что йаа(Та(М)) =1 (если (е()(ц 1 — базис модуе ля М, то доказатгч ЧтО Элементы (е( е 1 — 1 е е!) образуют базис левого идеала алгебры А, служа- щего яцром умноженил Аеа А' А, где А = Та(М)). г) предполагаем далее, что А.модуль А лроекгиеел, пусть гл а Ф' — гомоморфизм коммута- тивюех колец; показать, что йам(А е вА') <йаа(А); Если гомоморфиэм л инъективеи и л(8)— примой множитель !'.модуля гг', то имеет место равенство (использовать упражнение 26, в), с.
119). д) Пусть  — вторая й-алгебра (ассоциативная и уиитарнэя), проективнэл над !'. Показать, что йаа(Аеа В) С йэа(А)+йаа(В). Если, кроме того, /с — поле и алгебры А и В конечномерны нац А, то имеет место равенство (лсполь. эовать улрюкнение 26, г), с. 119 — 120). е) Предположим, что А — поле.
Показать неравенства: йл(А) < йаа(А) и йЬ(А') < йаа(А) (ср. Упрюкнение 26, д), с. 120) . 26. Пусть А — пополненная Е-алгебра (с. 120, упражнение 27); предположим, чю существует гомоморфизм и: А А, удовлетворяющий условиям упрюкнения 27, в), с. 120. Показать, что йаа(А) = йрА(/г); если.крометого,lг — поле,то йаа(А) йрА(!) =йь(А)=Оп(А'). (Использовать упражнение 27, б) и в), с. 120, и упражнение 26, д), с.
120.) В частности, если Ч вЂ” ненулевое векторное А-пространство, то йд Та(Ч) = 1. 27. Предполоящм, что 8 — поле. Пусп 8 — алгебра Ли нэл ! Размерности л, () — ее обертывэющэл алгебра. Показать, что йд () = л. (Испольэовать улрэжнелие 26, улрюинение 27, г), с. 120, и упрюкнение 28, в), с. 121.) ° 9 28. Пусть С вЂ” группа. Коюмологвческой размерлосгью группы С нэзываетсл проективнэя размерность Х -модуля Х; она обозначаетсв через йс(С).
Если л — целое число, то, следователь- (С) но,йс(С) <л,если и только если НЧ(С,М) = Один всякого Х(С)-модуля Млвсакого Ч > л. а) Показать, что йаХ (Х ) = йс(С) (испольэовать упражнение 26 н упражнение 27, г), с. 120). (С) б) Есин С вЂ” свободная группа,несводящааслкнецтральному элемекту,то йс(С) =1. в) Пусть Н вЂ” подгруппа в С; доказать неравенство: йс(Н) < йс(С) . Если йс(С) < и Н имеет конечный индекс в С, то показать, что йс (Н) = йс (С) (показать, что длв 9 = йс (С) гомоморфизм гч: нч(н,м) нч(с,м) из упрюкнеиия 14, с. 115, сюрьективеи) . г) Показать, что когомолопгческая размерность конечной группы, не сводящсяся к нейтральному элементу, бесконечная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
