Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 51
Текст из файла (страница 51)
П р е дл о ж е н и е 3. Если А-модуль Ь плоский, го последовательности (ба) выисе являются точными ири л ) О. а) Отметим сначала, что если р!. обозначает композицию гомоморфизмов $(1-) вя Л(Ь) - $о(Ь) в,„Л~(Ь) А, где а — тензорное произведение канонических проекций, а 8 — канонический изомор. физм, то нужно доказать, что отображение Н(р! ) биекгивно.
б) Если Ь = О илн если 1. = А, то предложение очевидно. в) Предположим, что Ь вЂ” свободный модуль конечного ранга; представим его как прямую сумму 1, е ... в Ь„свободных А-модулей ранга 1. Согласно замечанию, предшествующему предложению, комплекс 8(Ь) вя Л(Ь) изоморфен тензорному н свободных комплексов 8(1.!) вя Л(Ь!), гомология которых, со~ласло б), представляет собой свободный модуль. Согласно следствию 4, с. 84„канонический гомоморфнзм в Н($(1.;) на Л(1!)) - Н(8(1) юнЛ(Ь)) ч= 1 бнективен. Согласно б),отображение Н(рь!) биективно для всякого !.
Так как в Н(р!..) = Н(рь)в7, то гомоморфнзм Н(рь) биективен. ч=! г) В общем случае Ь представляет собой индуктивный предел направленной индуктивной системы (Ь!)!и ! свободных модулей конечного ранга (с. 18,теорема 1). Так как канонический биектнвный гомоморфизм 1лп8(Ь!)вя Л(Ь!) - 8(Ь)вя Л(1) представляет собой изоморфизм комплексов, то предложение следует из предложения 1, с. 34. 3 а м е ч а н и я. 1. Мы увидим ниже (с. 1б5,пример) другое доказательство части в) предложения 3.
2. Если А — Я-алгебра, то заключение прешщжения 3 остается справедливым без ограничения на 1. (см, с. 173, упражнение 1) . ЯЗ. Пусть С - группа и р: С ~ СЬ(Ь) — линейное представление группы С в плоском А-модуле Ь. Тогда (8 я) представляют собой точные последовательности линей- 1 Д КомняекеыКозюля 1Ь2 ных представлений.
Предположим, что Ь вЂ” проективный модуль конечного типа и обо- значим чсрез КА(О) кольцо представленной группы О в проективных А-модулях конеч- ного типа. Из предложейия 3 следует, что в КА(О) имеют место соотношения ~ (-1)г[В'(Ь)ПЛ" г(Ь)[ = О, г= е Рассматривая формальные ряды (10) и > О.
з(Т) = Х [Вг(Ь)[Т'сКА(О)[[Т[[, г е Л(Т) = ~ [Л'(Ь)[Т'~К„(О)[[Т[), г= 0 соотношения (10) можно записать в виде з(Т)Л(-Т) = 1. е 4. Пример 2: случай свободного модуля Пусть й — кольцо, М вЂ” й-модуль, 1 — некоторое множество и р целое число 2 О. Отображение нг: 1Р -+ М называется кососимметрическим (или энвкояеременным), если оно удовлетворяет следующим двум условиям: а) для всякой перестановки аЕ Вр и всякой последовательности (а„..., а,) Е 1» ш(ао!1>, ..., ае(р>) = еош(аг, ..., ар), А: Сг(М) Мв Л 1 йс Ноша(А»Ьо, М) — Сг'(М), следующим образом: если г ю ноша(Л»ьо, м), то положим: й(У)(аг, ..., ар) = г'(ео Л ...
Л е,„); пУсть гн Е С»г(М), опРеделим й(т) Е М аал»1,9. ДлЯ всЯкой последовательности (а,, ..., ар) ~ 1 элемент нг(а,, ..., ар) в (е,„, Л ... Л еч ) из М еа Л ЬеРавеннУлю, если Сагд(аг, ...,ар) < р,и не зависит от порядка элементов а„...,ар, если Сагд(аг, ..., ар) р. Он зависит только от подмножества 1 = (а„..., ар) в 1; обозначим его через Аг (нг); имеем: йг(ги) = О,если Сагд(1) <р; положимтеперь: й(ш) = Х Аг(ш), где 1 пробегает подмножества в 1, имеющие р элементов. Л е м м а 2.
Если 1,9 — свободный к-модуль с базисом (е,), и г, пэ й-линейные отображения я и А биективны. б) для всякой последовательности (а,, ..., ар) Е 1», в которой два нз элементов аг, ..., ар равны, ш(аг, ..., ар) О. (В случае, когда ! — й-модуль и отображение т полнлинейное, мы приходим к понятию, введенному в П1, р. 80; Алгебра, П1, с. 392.) Предположим, что множество 1 конечное, и обозначим через Сг (М) !г-модуль косо- симметрических отображений из! в М. Пусть Ье — й-модуль, (ег); а г — семейство элементов нз Ье, определнм два к-линейных отображения В 9.Комллексмкозкня 1бэ Это следует из 1П, р, 79, 1)т. 1 (Алгебра, П!, стр.
397, теорема 1). Пусть теперь М вЂ” к-модуль и х = (х;); н 1 — семейство попарно перестановочных л-знломорфизмов модуля М. Рассмотрим кольцо многочленов А = й((Х!)! 1] и наделим М структурой А-модуля, относительно которой Р(Х!)т = Р(х;)т лля РЕ А и т Е М. Пусть, с другой стороны, Ь вЂ” свободный А-модуль А, (е! ), и ) — его канонический базис и и: Ь -+А — линейная форма, которая отображаете; в Х! цпя всякого ( Е 1.
Рассмотрим комплексы й-модулей К. (и, М) и К«ь(и, М); имеем канонические А иэоморфиэмы Кь(и, М) = Ноюя(ЛАР(А ), М) . Нота(Ла(й ), М), Мна Ла(й ) -+ М вл Лл(А ) = Кр(и, М); р 1 р 1 А из них посредством композиции с изоморфизмами В и )з получаем изоморфизмы й-модулей В: С(р(М) — К (и, М). В: К«,(и, М) -ь С)(М), Обозначим через д": СР((М) -+ С)Р (М), д: СР)(М) -' С) (М). й-гомоморфизмы, получаемые переносом дифференциалов из К«,(и, М) и К~ (и, М) посредством изоморфиэмов В. Имеем, например, р+ 1 (длт)(а„...,ар+,)= 2' ( — 1)«'тх т(а!,...,а«!,а«+з,...,ар„).
!'=1 Комплекс, образованный модулями С(Р(М) и гомоморфизмами ВР (соответственно др) обозначается через К (х, М) (соответственно К. (х, М)) и называется верхним (соответственно нижним) комплексом Козюля, ассоциированым с модулем М и последовательностью энцоморфизмов (х,,..., х„) . Имеем, таким образом, изоморфизмы комплексов )с-модулей В': К«,(и,м)-+К'(х,м), В.: К.(х,м)- К~(и,м). 3 а м е ч а н н е. Обратно, пусть  — й-алгебра; Ь вЂ” свободный В-модуль с базисом (е!) ! н 1 н М вЂ” В-модуль. Задание линейной формы н: Ь В зквнвалентно заделаю семсйсеа х= (х!) элементов нз В посредством соотношення х! =и(е!).
Тогда комплекс й-модулей Кв(н. М) (соот- ветственно Кв (и, М)) отождссгвлается посредством нзоморфазма в' (соответственно а,) с комп- лексом Козюля К (х, М) (соответственно К. (х. М) ). Надрнмер, комплекс Кв (и) отокдествллетсл сК.(х, В). Так же как н в и.1 (с. 157), вводим обозначения Н. (х, М), Н'(х, М)и т.д.,и с надле- жащими изменениями к этим модулям применимы все результаты иэ п.1 н 2, в которых в качестве модуля Ь берется свободный мо)гуль А(. Например, имеем изоморфизмы Но(х, М) -+ М/(х) М, Но(х, М) -+ Нот«ь(А«(х), М), гле (х) обозначает идеал ХАх(в А. Еще один пример; есликомплекс К„(х, А) ацнклн. чен в степенях> О, то имеют место нзоморфиэмы Н,(х, М) - Тот„л(А((х), М), Ех1 «,(А~(х), М)-+ Н" (х, М).
Наконец, предположим, что множество 1 (конечно и) линейно упорядочено, напри- мер, 1 = (1,..., л); отожцествим А-модуль Л" (А ) с А с помощью базисного элемента е ! Л... Л е„и переведем в новые обозначения иэоморфизм Кр (и, М) - К ", Р(и, М) со с. 159. Посредством переноса с поьвщью Вр и В" Р он превращается в иэоморфизм ср(м) с" р(м), й 9. Комилексы Коэюли сопоставляющий элементу тЕ С)(М) элемент тиз Си «(М), дяя которого т(а«,..., ар) = т(«)«,..., 1)и р), (1 3) если (а,, ..., ар, «)«,..., р' р) есть четная перестановка множества (1,, и).
Заметим также, что когда 1 =(1, ..., и), можно отождествить С«Р(М) с множеством семейств т (а,, ар) элементов из М, где а, < а, «... ар., формула (12) остается справедливой, так же как и аютиошенне (13) . П р и м е р. Возьмем М = и 1Т«,..., Т„); комплекс Козюля К '(д/дТ, М), ассоциированный с последовательностью эндоморфизмов (д«дТ,,... „д«дТи), отождествляется с комплексом де Рама алгебры«с(х«,...,хи) надА (с. 46); элементу тЕ С", (М) соответствует дифференциальная форма щ(т) = 2' т(а,....,ар)с«х Л ..
А с«х„, ас «,,,ор см. формулу (12) и пример 1, с. 46. 5. Пример 3: случай Ь = А Если 1. = А, то положим и(1) ыхЕ А, Комплекс К(и) имеет в этом случае д««ину 1, Ке(и) =К,(и) юА и д«(а) =ха, следовательно, лля всякого А модуля М модули Ке(и, М). К,(и, М), Ке(и, М) и К'(и, М) отождествляются с М, причем дифференциалы Х«: К,(и,М)- Ке(и,М) и с(а: Ка(и,М)- К'(и,М) представляют собой отображение п«х«п, Имеем, сэ«едовательно, нзоморфизмы: Но(х, М). Ас«хАэ«сМ с-Н'(х, М), Н, (х, М) -+ Но«п«т(А/хА, М) — Н ь(х, М).
Докажем утверждение а), поскольку утверждение б) доказывается аналогии«о. Для всякого «обозначим через КН) комплекс К«( — «). Имеем точную последовательность комплексов, расщепляемую как точная последовательность А-модулей: о о к(,) к к(о о; последовательность О -+ К(с«) эя С вЂ” — + К эя С вЂ” — ' КО) эя С -+ О точная, и так как комплекс К плоский, гомо ма рфизмы 7о,р(К«о), С): К(о) эянр(с) Нр(К(о) эАС), (14) 7«,р «(К(«), С): К(«) эл Нр «(С) Нр(КО) эе„С) биективны (с.
74, следствие 2). Вычислим связывающий гомоморфизм д(а э!, «) э 1); по определению, он отображает класс цикла Х а«эЬ«на класс цикла Хс«а«эЬ«, а зто означает, что д(а э 1, )) э 1) е 7(к(«), С) " 7(К(о), С) е (с«к э 1) . Гомологическая точная последовательность, ассоциированная с (14), принимает, таким Л е м м а 3. Пусть К вЂ” комплекс, для которого К; = О при «' Ф О, 1, и пусть С вЂ” комплекс и р — целое число. а) Если комплекс К плоский, то для всякого р Е заимеем точную последовательность О ~ Нс«(К эя Нр(С)) ~ Нр(К эл С) > Н«(К эя Нр «(С)) "+ О. 6) Если комплекс К ироектнвньй, то для всякого рЕ )ч имеем точную последовательность О Н'(Н я (К,Н '(С))) Н (Н я (К,С)) Н (Н и (К,НР(С)))- О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
