Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 54
Текст из файла (страница 54)
+х)м). О, (20) х 1+1 О М/(«1М + ° ° ° + х)М) — -Ф М)+1 ° ° ° + М М/(х) М О (21) которые представляют собой не что иное; как точные последовательности, соответст- вуюшие последовательности (х1,...,х)), которая регулярна для М, и последователь- ности (х)+1....х„), которая регулярна для М/(х,м+ ..;+х)М). Обозначая через 91х „. ) Е Ехг (М/(хэм +... + х)м ), М), 1х)«1 хх) б Е«1 (М/(х)М, М/(хэм +... +«1 М)) классы расширений, ассоциированные с (20) и (21), согласив прецложению 3, с.
125, имеем: (22) (х,...,хп) (х,...,х)) 1хм1 х ) . ') См. сноску на с. 170. — Примеч. пер. )г' 172 1 9,КомнлексыКозюля Кроме того, согласно предложению 5 (с. 165), комплекс Козюля К'(х, М) ацнкличен в степенях чь и, откуда получаем точную последовательность а' ь' ь' 0 -+ М --» К'(х, М ) — + Кэ(х, М ) — ... - К" (х. М ) "-+ М/(х) М О, (23) в которой мы отождествляем Ке (х, М) с М и в которой ц отображает каждый элемент тЕ К" (х М) на класс вМ/(х)М элементат(1,2,...,и) ЕМ.
П редл о же иие 8, Предположим, что последовательность х регулярна для М. Элемент из Ехт" (М/(х) М, М), ассоциированный с точной последовательностью (23), „,( 1) 1.— 1/*В„, Для 1 О, 1,..., и определим следующим образом А-линейное отображение а~: К~(х,М)-»М;= М/(х,М+...
+х1, М): если тЕ Кг(х М), то аг(т) есть класс в Мт элемента т(1, 2,...,1) Е М. Ясно, что ае — тождественное отображение модуля М н что ро а" =ц. Кроме того, аг+1 о д'(т) есть образ в М г+1 элемента 1+ э Х ( — 1)»+'х» т(1,2,...,Й вЂ” 1,/с+1,...,/+ 1). »-1 Так как х» аннулирует М,+, при й = 1,...,г', то а'+' о д'(т) совпадает также с обра- зом элемента ( — 1)гхы1 т(1, 2,..., 1), следовательно, а"' од'-(-1)'х;+, оа' Согласно следствиям 1 и 2, с.
126, элемент из Ехт" ,(М/(х) М, М), ассоциированный с я-1 (23), равен П ( — 1) г ° В, откуда следует утверждение. г=е С л е д с т в и е. Предположим дополнительно, что модули М/(х„М +... + х;, М) отделимы относительно(х)-одической топологии, и пУсть (аб) Е бйч(А) .Положим у;= Х абх/ и у=(у,,...,у„). / Тогда иоследовате»ьность у регулярна для М и В„= дет(а;) 'В„, Действительно, последовательность у регулярна для М согласно предложению 6 (с 165 — 166)н теореме! (с.!67); последнее утверждение следует из предложения 8 и из предложения 4 (с. 126) . П ре д по ж е ни е 9. Предположим, что последовательность х регулярна для М.
Если Х вЂ” А-модуль, для которого (х) Х = О, то Ехт' (Х, М) = 0 при 1 ( и и отображе- А ние а» Вх о а из Поп»я(Х, М/(х) М) в Ехт" (Х, М) (которое представляет собой также связываюитий гомоморц»изм, соответствую1иий точной последовательности (19), — см. с.132,следствие 3) биективно. Нужно доказать, что гомоморфнэм ч»~: а»+В, а иэ Ехт' "(Х, М/(х) М) в Ехт (Х, М) биективен при / <и. Проводим индукцию по и, причем утверждение три! виаяьно прн и= О, Положим М, = М/к~М, х =(х,,...,х„),так что последовательность х М, -регулярна.
Согласно индуктивному предположению, гомоморфизм ч» ' 1: а»-» В„, о а из Ехт "(Х М/(х)М) в Ехт '(Х,М~) биектнвен при/ <ж Кроме того, рассмотрим точную последовательность (я» )м О-+М вЂ” +М-М, -0; соответствующий связывающий гомоморфиэм Ехт' (Х, М, 1 ~ Ехт~+ (Х, М) представляет собой отображение ь»', б +В о В (с. 130, предложение 5); так как Ехтг(!н 6 9.
Компеексы Коэюня ГУЗ (хг ) м) - "Ехт ((х, ) ),, 1 м) = О, то получаем отсюда точные последовательности Ех(л(М'М) Ех!л(В)'М')~ Ех(л Так как Ехт ()4, М,) =О при ! < и — 1, то из этих точных последовательностей полул чаем, что ех!г+' (м, м) = О при ! < и — 1, т.е. 1 + 1 < л, отсюда следует, что гомомсофизм зэ' биективен при ! < л Так как ту (а) вд„е а =0«ч д«ч аж!э(' ' е т)1 ' (о) для аЕ Ех!! л(М.
М/(х) М),то гомоморфизм ф! биективсн при!' <и. Упри«следил 1. Пусть Л вЂ” кольцо, Š— Амодуль, К вЂ” комплекс $((! ел Л(Е) (с. 160, пример 1). а) Показать. что существует такой Л.линейный эндоморфнзм з модуля К, что т(т)ибр е "Ал" е и сгт(«)+зс((«) (р+е)« ДЛВЛЮбЫХ ЦЕЛЫХ Р,9 ж 0 И ВСИКОГО «П 8РЬ ЬЛ ЛЯЕ.
6) Предположим. что А- Я.алгебра. Показать, что комплекс К определяет резольвенту А-модуля А. 2. Пуси Л вЂ” кольцо, и: Е М вЂ” гомоморфнзм Л.модулей. а) Обозначим через е множитель коммутироваиня иа Е'. определвемый по формуле: е(ае! = =а,йз лля о Ви 2', а = (а,,а ). 9 (П, ° Вз). Показать, что сушестяует единственное (А е1 дифференцярованне (ИК р. 118) о' бнградуированпой алгебры $(М) ал л(Е) степени (1, -1), ири котором с((1 е «) и(«) з 1 лля «о е. показать, что и' и =О, так что модуль $(м) "А л(е), наделенный градуировкой, получаемой нз градуировкн модула л(е).
н дифференциалом А определяет некоторый комплекс К (и) . б) Если М ' Е н и = ЫЬ, то показать. что комплекс К(п) совпадает с комплексом, определенным в п. 3. с. 160-161. в) Пусть В $А(М). и пусть й." В ел Š — В.гомоморфизм. получаемый иэ и. Показать. что коплекс К(к) канонически отождествляется с комплексом К (и ). г) Пусть к': Е' М' — второй Л.гомоморфизм. Показать, что комплексы К (и еи' ) и К (и) ел ел 1С(и' ) изоморфны.
д) Пусть!: Е Е' и г: М М' — два А-гомоморфиэма, для котормх ге к=и' у. Показать. что гомоморфлзм $ (Г) "л (Г) предсшаллет собой морфизм комплексов лз К(и! в К (и '). В часзностн, если з: м Р— А.гомоморфизм. для которого е и = О, то получаем морфиям комплексов ь: К(и) Вл(Р). и е е) Предположим, что последовательность 0- ° !.-- М- Р 0 есть точная последовател пасть плоских А-модулей. Показать. чзо А — гомологнзм (свестн к случаю.
когда Е. М, Р свободныс модули конечного типа и испольэовать г)). Вывестн отсюда для всякого ли ! точную последовательность О Л"Е М ЛЛЯ 1Е ...-$" 1МеЛЕ-Влм ВлР О 3. Пусть л — целое число, й — кольцо л = й(Х„..., Хн1. Показать. что для всякого А.модуля М сушествует такой нзоморфизм градуированных Л.модулей.
6М: Тот (й, М) Е«ГЛ(й. М)( — л), что для чсякого гомоморфизма А-модулей и: и -~ н имеет место равенство: ех! (1я. и) ам = 6Н ч ТОГ(1Ь, И). 4. Пусть Л - кольцо, Š— А-модуль, и: Е Л вЂ” линейная форма. а) Показать, что комплекс К(я), нацеленный структурой алгебры л(ь), представляет собой градуированнуюпнфференциальиую А-алгебру (с. 69, упрюхиенис 18).
6) Пусть  — косокоммутативиая (ПК р. 53) градуированная дифференциальная А-алгебра. для которой Вр А, н пусть /: Е В, — Л-гомоморфизм. удовлетворявший условию и', = и. Показать, что существует сдинственнный морфизм градуированных дифференциальных А- алгсбр Е: К(и) В.для которого Ге = !А и Г, =/.
5. Пусть А — кольцо, М вЂ” А.модуль, «(«,,.... «„) — посяедовательность элементов из А, й = (й„..., йя) П 1Ч", «й = (хз~,..., «„Л)') . Доказать, что последовательносгь «Я М-регулярна в том только том случае. если этим свойством обладает последовательность «; в этом случае Л модуль М/(яй)М облапаст композиционным рядом.
факторы которого иэоморфиы М/(«) М. (Провести индукшпо по л) . ' ) Здесь предполагается,что/с!и 1,1= !,...и. — Примеч. и р 174 8 Р.КомллексмКозюля 6. Пусть А — кольцо, х = (х,,...,х„) — последовательность элементов из А. У вЂ” идеал г х(А. Пусзь ( 0 М' М М"-~0 -точнаа последовательностьА модулей. Предположим, что последовательность х представляет собой полное пересечение для М и что А-модули М" /(х, М" +... + х( 1М") 'отделимы относительно у -адической топологии (1 Сз к л) . Показать, что следующие условия эквивалентны: о) Последовюельность х является полным пересечением для М", р) Гомоморфизм е ( у" М'/ Углам') -~ е ( Угм/ 8 "~1М), ющупировэнный вложением г г /. ииъективен.
т) Гомоморфнзм М'/ у М' -~М/ у М, иццуцированиый вложением ~', ннъектнвен. 7. Пусть А — кольцо, М вЂ” А-модуль, х = (х„..., хл) — последовательность элементов из А. а) Показать, что существует спектральная последовательность Е (с. 49-51, упражнения 14-17), сходящаяся к Н. (х, М), для которо» Е~~ ТогА(Нч(х, А), М) (использовать упражнение 8, с. 87). б) Пусть р — целое число Ц л; положим х' = (х„..., х ) и х" = (х +1,..., хл). Показать, что существует спектральная последовательность Е, сходящаяся к Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
