Главная » Просмотр файлов » Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра

Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 52

Файл №947363 Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (Бурбаки Н. - Начала математики) 52 страницаБурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363) страница 522013-09-15СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 52)

1 9. Комилексы Козюля. образом, вид: "ке' К, влНр(С) — -+ Къ влНр(С) Нр(К ЛС) аке! «'К! елНр !(С) + Ко елНр ! (С), откуда а). Применяя лемму З,а) к комплексу К(и) и используя изоморфиэмы коммутирова- иия, получаем: П ре дл о же ни е 4. Дэя всякого комплекса С имеют место точные последова- гельлости 0 -+ А/хА вл Н„(С) .+ Н„(х, С) -+ Нопэл(А/хА, Нг э(С)) «О.

С л е д с т в и е 1, Яля того чюбы Нр(х, С) = О, необходимо и досташчпо, чтобы гомотетия относительно х в Нг(С) была сюрьективна, а в На !(С) — инъекгивпа Сл ед ств и е 2. Пусть х= (х„..., х„) — лоследоватгльность элемепшв из А, М вЂ” А модуль, х — последовательпость (х,,..., х„!). Имеют место точные после- дователълости: 0 А/х„А ~яНр(х', М) Нр(х, М) Нощл(А/х„А, Нр э(х', М)) О. Сл е д с т в и е 3. Дая того чтобы модуль Н!(х, М) был нулевым при всех ! >О, необходимо и достаточно, чтобы гомотетил относительно х„в Н;(х', М) была биекгив- иа при всех 1> 0 и чтобы гомотетил относительно х„в М/(х/) М была иньекгивна.

6. Полиые пересечеиия Пусть Л вЂ” кольцо, М вЂ” А модуль, х = (х!) !и ! — семейство элементов из А. Определение 2. Семейство х называется полным пересечелием для М, если Нэ(х, М) = 0 при !' > О. Если множество 1 конечно, то зто равносильно (с. 159) тому, что Нэ(х, М) = 0 при !'( Сагд(1). Следующее предложение позволяет дать примеры полных пересечений. Предложение 5.

Пусть х=(х,, ..., х„) — последовательность элементов из Л. Если при 1 = 1,..., п гомо тетия относительно х в А модуле М/(х М+... + хэ, М) инъективла, то последовательпость х представляет собой полное пересечение для М. Последовательность, удовлетворяющая условиям предложения, называется регулярной относительно М, или М-регулярной. Отметим, что это свойство зависит, вообще говоря,от порядка элементов х!, например,последовательность(1,0)всегда М регулярна, тогда как последователъность (О, 1) регуляриа, только если модуль М нулевой. Зато тот факт, что последовательность представляет собой полное пересечение, не зависит от порядка ее членов.

Докажем предложение индукцией по п, причем случай п=О очевиден. Положим х = (х,,..., х„,); если последовательность х М.регулярна, то последовательность х' М-регулярна и умножение на х„в М/(х )М иньектини; согласно индуктивному предположению, Н! (х, М) = 0 при ! >О; из следствия 3 теперь вытекает, что Н!(х, М) =Оприэ>0. П ри м е р. Пусть /с — кольцо; возьмем А = й)Х!, ..., Х„) и х= (Х,,..., Х„). Последовательность х Л-регулярна, и предложение дает новое доказательство ацикличности в степенях) 0 комплекса бь(йп) въЛ(/сп) (см.

с. 161, предложение 3). е Аналогично, в кольце степенных рядов А =/с))Х!, ..., Х„)) последовательность (Х!, ..., Х„) А-регулярна, следовательно, является полным пересечением для Л. Предложение 6. а) Если 2" хэА=А, ш семейство (х!)эп! яредсгавляет !и ! собой полное пересечение для М. б) Пусть х = (х,,..., х„) — аоследовательность элементов иэ А.Пусть (аб) Е О$,„(А); положим у; = Еаахр 1 ! 9. Комплексы Козюля Если последовательность х является полным пересечением для М, то тем же свойством обладает и последовательность у = (у !,..., у„) . в) Пусть й,,..., /с„— целые числа > 1; для того чтобы последовательность (хь!',...

..., !/„") была полным пересечением для М, необходимо и достаточно, чтобы последовагельйость х была полным пересечением для М. Утверждение а) вытекает из следствия 1, с. 157. Докажем б). Пусть у': А"- А" — изоморфизм, определяемый матрицей '(а,1); из сказанного на с. 150 следует, что 1м э Л(т ) есть изоморфизм комплекса К. (у, М) на комплекс К. (х, М), откуда вытекает б) . Для доказательства утверидения в), очевидно, достаточно доказать, что если 1с— целое число > 1, то последовательность (х„..., х„„!г'„') является полным пересечетщем в том и только том случае, если зтим свойством обладает последовательность х. Пусть х' = (х,,..., х„,); согласно следствию 3, с.

165, первое (соответственио второе) условие означает, что гомотетия относительно х„" (соответственио х„) биективна в Нг(х, М) при 1>! и инъективна в М/(х ) М. Зги два условия, очевидно, эквивалентны, откуда следует в). Замечание 1. Утверждение, аналогичное в), справедливо и для регулярных последовательностей (с. 173, упражнение 5) . П ре дл о же ние 7. а) Пусть Х вЂ” плоский А-модуль. Если семейство хявляется полным пересечением для М, то оно обладает тем же свойством и для М эя Х. б) Пусть 0 ~М'-~М ~М"-+Π— точная носледовательность А-модулей. Если семейство х является полным пересечением для М' и М", то оно обладает тем же свойством и для М. Комплекс К,(х, М эя Х), изоморфен, по определению, комплексу К.(х, М) эАХ; так как модуль Х плоский, то отсюда получаем изоморфизм Н.(х, М)эяХ - Н.(х, М эя Х) (с.

74, следствие 2), откуда следует а). Так как комплекс К.(х) плоский, то имеем точную последовательность комплексов О- К.(х,М)- К.(х,М)- К.(.,М") О; Утве ржцение б) следует из ассоциированной гоьюлогической точной последовательности. 3 а ме ч а ни я. 2. Утверждения, аналогичные а) и б), для регулярных последовательностей о ювидны. 3. Если семейство х представляет собой полное пересечение для А, то комплекс к.(х, А) определяет свободную резольвенту А.модуля А/г, где г= 2; х;А; следо!н! вательно, для всякого целого 1> 0 и для всякого А-модуля М имеют место изомор.

физмы: Ехг," '(А/г,М)-+Н" '(х,М)-+ Н!(х, М)-~Тот! (А/9,М). (15) 4. Последовательность х= (х!, ..., х„) назьвается М-корегулярлой, если (через (х!)ьг обозначается гомотетия относительно х, в М) гомотетия относительно х! в модуле Кег(х, )и г!... г! Кег(х!,)„ сюръективна при ! = 1,..., и. В атом случае Нг(х, М) = 0 при 1( и; зго доказывается тем же способом, по и предложение 5. Возьмем, например, кольцо А 1с[!3!, ..., Па), где 1с — !г-алгебра,и /с-модуль М = = !с 1Т!,..., Т„), наделенный структурой А-модули, относительно которой !3!Р=дР/ЭТ, для всякого Р Е М (1 < !' К и). Тотчас проверяется, что последовательность (П„...

..., Пч) М-корегулярна; припивая во внимание пример на с. 1б4, получаем отсюда, что компаекс де Рама алгебры /с 1Т„..., Т„! над 1с ацикличен в степенях > О. 7. Критерий длл полных пересечений Пусть А — кольцо, М вЂ” А-мздуль, à — идеал в А. Ф .одической топологией на М назьвается топология, совместимая со структурой группы на М, для которой мно. жество подмолулей з'М (т > 0) образует фундаментальную систему окрестностей нуля (ТС, 1П, р.

5, ехетр1е; Общая топология, П1,с.102, пример 2). Зта топология ! Д Комплексы Козюля отделима, если и только если т«О «во Предположим тепе рь, что идеал 9 по ро ждав тся последовательностью х = (х,,..., х„) элементов из А. Рассмотрим градуированный А-модуль ю 9«М и градуированный эв А-гомэморфиэм степени О а": А(Х,,...,Хя!еАМ-«ю у'М, ьв при котором а~~ (Р и тп) = Р(хю..., х„) т, где Р— однородный многочлен от Хю... ..., Х„, а т б М. Обозначим через Ь идеал в А (Х„..., Х„(, порожденный элементами (х1Х1 — х1 Х~) для 1 < ! < 1 < п. Имеем: Р(х,, ..., х ) =О, если Р~ Ь, так что отображение а „", дает посредством перехода к фактормодулю градуированный А-гомоморфизм степейи О пй.' (А(Хю...,Х„(/Ь )вАМ-«Ф 9"М.

«эо Беря тензорное произведение с А/у, получаем из а" градуированный А-гомоморфизм степени О бы. '(А/9)(Хю..., Хя! вяМ.«ю (т "М/т"+'М). «вв ГомомоРфиэмы ахы, охы и бых сюРъективны. Те о ре ма 1. /«ассмотрим следующие условия: (!) Последовательность х М-регулярпа (с. 165) . (й) Последовательнопь х представляет собой полное пересечение для М (с. 165, определение 2). (!и) Н,(х, М) =О (!ч) Гомоморфизм и,",: (А(Х, °, Хя(/Ь ) вя М э Ф' М биективеп.

«Э 0 (ч) Гомоморфиэм бм: (А/т) [Х1 °, Хя! илМ (т«М/т«+'М) биективен. ° ьв Имеют место импликации: (1) ~(!1) ~(!!!) ' ~(!ч) (ч). Если длЯ ! <1<п А-модуль М/(х,М+... +х~,М) отделим относительно у вдической топологии, то условия (!)-(ч) эквивалентны. Теорема будет доказана в п.8 и 9. «Следствие 1. Если кольцо А нетерово, А-модуль М имеет конечный тип и элементы хг принадлежат радикалу кольца А, то условия (!)-(ч) в теореме эквивалентныны.

Действительно, на каждом из модулей М/(х, М+... +х;,М) 9 -адическая топология отделима (АС, Ш, з 3, и'3, ргор. 6; Ко ммутативная алгебра, Ш, стр. 249, предложение 6). « С л е д с т в и е 2. Предположим, что А — градуированное кольцо с положительными степенями, М вЂ” ограниченный снизу градуированнтлй А-модуль и х« — однородные элементы степени ) О из А. Тогда условия (!) -(ч) в теореме эквивалентны.

Действительно, 9-адическая топология отделима для всякого ограниченного снизу градуированного А-модуля Х, так как если Ы„нО при п< п«, то т'ХС 2' Н! длявсякого а «О. Следствие 3. Предположим, что модули М/(х~М+... +х;,М) отделимы относительно Ф -адической тополоеии (1 < г< п); пусгь р — целое число, заключенное между 1 и и. Дгя того чтоб«а последовательность х была полным пересечением для М, необходимо и достаточно, чтобы последовательность (х,,...., хр) была полным пересечением для М и чтобы последовательность (хр„, ..., хя) была полным пересечением для М/(х, М+... + хрМ). Действительно, следствие очевидно, если в его формулировке заменить "полные пересечения" на "регулярные последовательности"; но оба эти понятия в данном случае совпадают, согласно теореме. 1 9.Комплексы Козюля 3 а ме ча ни е. Пусть х= (х„..., х„) — последовательность элементов из А, для которой Н~(х, А) «0; тогда ядро сюръективного гомоморфизма и: А"- у, при котором и(Баге~) Ха;хо порождается элементами х е; — х;е;; следовательно, А.алгебра А[Хм ..., Х„]/Ь изоморфна симметрической алгебре бл(у) (1П, р.

69, ргор. 4). Следовательно, из теоремы 1 вытекает, что гомоморфизм алгебр Б, (у) -+ю у", лолу- чаемый из канонического вложения модуля у в ю Г", представляет собой изоморфиэм. То же самое справедливо для гомоморфизма $А(а/г~) — ю у"/у" 8. Доказательство теоремы 1: первая часть Имппикация (1) «(й) уже доказана (с. 165, предложение 5). Импликация (И) «(ш) очевидна; то же самое относится к импликации (1ч) «(ч), так как гомоморфизм б~м совпадает с пм в1,/у. Чтобы доказать, что из условия (1ч) следует (ш), рассмотрим гомоморфизм (пхм) „ индуцируемый на компонентах степени! .

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
3,59 Mb
Тип материала
Предмет
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Бурбаки Н
Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6559
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее