Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 52
Текст из файла (страница 52)
1 9. Комилексы Козюля. образом, вид: "ке' К, влНр(С) — -+ Къ влНр(С) Нр(К ЛС) аке! «'К! елНр !(С) + Ко елНр ! (С), откуда а). Применяя лемму З,а) к комплексу К(и) и используя изоморфиэмы коммутирова- иия, получаем: П ре дл о же ни е 4. Дэя всякого комплекса С имеют место точные последова- гельлости 0 -+ А/хА вл Н„(С) .+ Н„(х, С) -+ Нопэл(А/хА, Нг э(С)) «О.
С л е д с т в и е 1, Яля того чюбы Нр(х, С) = О, необходимо и досташчпо, чтобы гомотетия относительно х в Нг(С) была сюрьективна, а в На !(С) — инъекгивпа Сл ед ств и е 2. Пусть х= (х„..., х„) — лоследоватгльность элемепшв из А, М вЂ” А модуль, х — последовательпость (х,,..., х„!). Имеют место точные после- дователълости: 0 А/х„А ~яНр(х', М) Нр(х, М) Нощл(А/х„А, Нр э(х', М)) О. Сл е д с т в и е 3. Дая того чтобы модуль Н!(х, М) был нулевым при всех ! >О, необходимо и достаточно, чтобы гомотетил относительно х„в Н;(х', М) была биекгив- иа при всех 1> 0 и чтобы гомотетил относительно х„в М/(х/) М была иньекгивна.
6. Полиые пересечеиия Пусть Л вЂ” кольцо, М вЂ” А модуль, х = (х!) !и ! — семейство элементов из А. Определение 2. Семейство х называется полным пересечелием для М, если Нэ(х, М) = 0 при !' > О. Если множество 1 конечно, то зто равносильно (с. 159) тому, что Нэ(х, М) = 0 при !'( Сагд(1). Следующее предложение позволяет дать примеры полных пересечений. Предложение 5.
Пусть х=(х,, ..., х„) — последовательность элементов из Л. Если при 1 = 1,..., п гомо тетия относительно х в А модуле М/(х М+... + хэ, М) инъективла, то последовательпость х представляет собой полное пересечение для М. Последовательность, удовлетворяющая условиям предложения, называется регулярной относительно М, или М-регулярной. Отметим, что это свойство зависит, вообще говоря,от порядка элементов х!, например,последовательность(1,0)всегда М регулярна, тогда как последователъность (О, 1) регуляриа, только если модуль М нулевой. Зато тот факт, что последовательность представляет собой полное пересечение, не зависит от порядка ее членов.
Докажем предложение индукцией по п, причем случай п=О очевиден. Положим х = (х,,..., х„,); если последовательность х М.регулярна, то последовательность х' М-регулярна и умножение на х„в М/(х )М иньектини; согласно индуктивному предположению, Н! (х, М) = 0 при ! >О; из следствия 3 теперь вытекает, что Н!(х, М) =Оприэ>0. П ри м е р. Пусть /с — кольцо; возьмем А = й)Х!, ..., Х„) и х= (Х,,..., Х„). Последовательность х Л-регулярна, и предложение дает новое доказательство ацикличности в степенях) 0 комплекса бь(йп) въЛ(/сп) (см.
с. 161, предложение 3). е Аналогично, в кольце степенных рядов А =/с))Х!, ..., Х„)) последовательность (Х!, ..., Х„) А-регулярна, следовательно, является полным пересечением для Л. Предложение 6. а) Если 2" хэА=А, ш семейство (х!)эп! яредсгавляет !и ! собой полное пересечение для М. б) Пусть х = (х,,..., х„) — аоследовательность элементов иэ А.Пусть (аб) Е О$,„(А); положим у; = Еаахр 1 ! 9. Комплексы Козюля Если последовательность х является полным пересечением для М, то тем же свойством обладает и последовательность у = (у !,..., у„) . в) Пусть й,,..., /с„— целые числа > 1; для того чтобы последовательность (хь!',...
..., !/„") была полным пересечением для М, необходимо и достаточно, чтобы последовагельйость х была полным пересечением для М. Утверждение а) вытекает из следствия 1, с. 157. Докажем б). Пусть у': А"- А" — изоморфизм, определяемый матрицей '(а,1); из сказанного на с. 150 следует, что 1м э Л(т ) есть изоморфизм комплекса К. (у, М) на комплекс К. (х, М), откуда вытекает б) . Для доказательства утверидения в), очевидно, достаточно доказать, что если 1с— целое число > 1, то последовательность (х„..., х„„!г'„') является полным пересечетщем в том и только том случае, если зтим свойством обладает последовательность х. Пусть х' = (х,,..., х„,); согласно следствию 3, с.
165, первое (соответственио второе) условие означает, что гомотетия относительно х„" (соответственио х„) биективна в Нг(х, М) при 1>! и инъективна в М/(х ) М. Зги два условия, очевидно, эквивалентны, откуда следует в). Замечание 1. Утверждение, аналогичное в), справедливо и для регулярных последовательностей (с. 173, упражнение 5) . П ре дл о же ние 7. а) Пусть Х вЂ” плоский А-модуль. Если семейство хявляется полным пересечением для М, то оно обладает тем же свойством и для М эя Х. б) Пусть 0 ~М'-~М ~М"-+Π— точная носледовательность А-модулей. Если семейство х является полным пересечением для М' и М", то оно обладает тем же свойством и для М. Комплекс К,(х, М эя Х), изоморфен, по определению, комплексу К.(х, М) эАХ; так как модуль Х плоский, то отсюда получаем изоморфизм Н.(х, М)эяХ - Н.(х, М эя Х) (с.
74, следствие 2), откуда следует а). Так как комплекс К.(х) плоский, то имеем точную последовательность комплексов О- К.(х,М)- К.(х,М)- К.(.,М") О; Утве ржцение б) следует из ассоциированной гоьюлогической точной последовательности. 3 а ме ч а ни я. 2. Утверждения, аналогичные а) и б), для регулярных последовательностей о ювидны. 3. Если семейство х представляет собой полное пересечение для А, то комплекс к.(х, А) определяет свободную резольвенту А.модуля А/г, где г= 2; х;А; следо!н! вательно, для всякого целого 1> 0 и для всякого А-модуля М имеют место изомор.
физмы: Ехг," '(А/г,М)-+Н" '(х,М)-+ Н!(х, М)-~Тот! (А/9,М). (15) 4. Последовательность х= (х!, ..., х„) назьвается М-корегулярлой, если (через (х!)ьг обозначается гомотетия относительно х, в М) гомотетия относительно х! в модуле Кег(х, )и г!... г! Кег(х!,)„ сюръективна при ! = 1,..., и. В атом случае Нг(х, М) = 0 при 1( и; зго доказывается тем же способом, по и предложение 5. Возьмем, например, кольцо А 1с[!3!, ..., Па), где 1с — !г-алгебра,и /с-модуль М = = !с 1Т!,..., Т„), наделенный структурой А-модули, относительно которой !3!Р=дР/ЭТ, для всякого Р Е М (1 < !' К и). Тотчас проверяется, что последовательность (П„...
..., Пч) М-корегулярна; припивая во внимание пример на с. 1б4, получаем отсюда, что компаекс де Рама алгебры /с 1Т„..., Т„! над 1с ацикличен в степенях > О. 7. Критерий длл полных пересечений Пусть А — кольцо, М вЂ” А-мздуль, à — идеал в А. Ф .одической топологией на М назьвается топология, совместимая со структурой группы на М, для которой мно. жество подмолулей з'М (т > 0) образует фундаментальную систему окрестностей нуля (ТС, 1П, р.
5, ехетр1е; Общая топология, П1,с.102, пример 2). Зта топология ! Д Комплексы Козюля отделима, если и только если т«О «во Предположим тепе рь, что идеал 9 по ро ждав тся последовательностью х = (х,,..., х„) элементов из А. Рассмотрим градуированный А-модуль ю 9«М и градуированный эв А-гомэморфиэм степени О а": А(Х,,...,Хя!еАМ-«ю у'М, ьв при котором а~~ (Р и тп) = Р(хю..., х„) т, где Р— однородный многочлен от Хю... ..., Х„, а т б М. Обозначим через Ь идеал в А (Х„..., Х„(, порожденный элементами (х1Х1 — х1 Х~) для 1 < ! < 1 < п. Имеем: Р(х,, ..., х ) =О, если Р~ Ь, так что отображение а „", дает посредством перехода к фактормодулю градуированный А-гомоморфизм степейи О пй.' (А(Хю...,Х„(/Ь )вАМ-«Ф 9"М.
«эо Беря тензорное произведение с А/у, получаем из а" градуированный А-гомоморфизм степени О бы. '(А/9)(Хю..., Хя! вяМ.«ю (т "М/т"+'М). «вв ГомомоРфиэмы ахы, охы и бых сюРъективны. Те о ре ма 1. /«ассмотрим следующие условия: (!) Последовательность х М-регулярпа (с. 165) . (й) Последовательнопь х представляет собой полное пересечение для М (с. 165, определение 2). (!и) Н,(х, М) =О (!ч) Гомоморфизм и,",: (А(Х, °, Хя(/Ь ) вя М э Ф' М биективеп.
«Э 0 (ч) Гомоморфиэм бм: (А/т) [Х1 °, Хя! илМ (т«М/т«+'М) биективен. ° ьв Имеют место импликации: (1) ~(!1) ~(!!!) ' ~(!ч) (ч). Если длЯ ! <1<п А-модуль М/(х,М+... +х~,М) отделим относительно у вдической топологии, то условия (!)-(ч) эквивалентны. Теорема будет доказана в п.8 и 9. «Следствие 1. Если кольцо А нетерово, А-модуль М имеет конечный тип и элементы хг принадлежат радикалу кольца А, то условия (!)-(ч) в теореме эквивалентныны.
Действительно, на каждом из модулей М/(х, М+... +х;,М) 9 -адическая топология отделима (АС, Ш, з 3, и'3, ргор. 6; Ко ммутативная алгебра, Ш, стр. 249, предложение 6). « С л е д с т в и е 2. Предположим, что А — градуированное кольцо с положительными степенями, М вЂ” ограниченный снизу градуированнтлй А-модуль и х« — однородные элементы степени ) О из А. Тогда условия (!) -(ч) в теореме эквивалентны.
Действительно, 9-адическая топология отделима для всякого ограниченного снизу градуированного А-модуля Х, так как если Ы„нО при п< п«, то т'ХС 2' Н! длявсякого а «О. Следствие 3. Предположим, что модули М/(х~М+... +х;,М) отделимы относительно Ф -адической тополоеии (1 < г< п); пусгь р — целое число, заключенное между 1 и и. Дгя того чтоб«а последовательность х была полным пересечением для М, необходимо и достаточно, чтобы последовательность (х,,...., хр) была полным пересечением для М и чтобы последовательность (хр„, ..., хя) была полным пересечением для М/(х, М+... + хрМ). Действительно, следствие очевидно, если в его формулировке заменить "полные пересечения" на "регулярные последовательности"; но оба эти понятия в данном случае совпадают, согласно теореме. 1 9.Комплексы Козюля 3 а ме ча ни е. Пусть х= (х„..., х„) — последовательность элементов из А, для которой Н~(х, А) «0; тогда ядро сюръективного гомоморфизма и: А"- у, при котором и(Баге~) Ха;хо порождается элементами х е; — х;е;; следовательно, А.алгебра А[Хм ..., Х„]/Ь изоморфна симметрической алгебре бл(у) (1П, р.
69, ргор. 4). Следовательно, из теоремы 1 вытекает, что гомоморфизм алгебр Б, (у) -+ю у", лолу- чаемый из канонического вложения модуля у в ю Г", представляет собой изоморфиэм. То же самое справедливо для гомоморфизма $А(а/г~) — ю у"/у" 8. Доказательство теоремы 1: первая часть Имппикация (1) «(й) уже доказана (с. 165, предложение 5). Импликация (И) «(ш) очевидна; то же самое относится к импликации (1ч) «(ч), так как гомоморфизм б~м совпадает с пм в1,/у. Чтобы доказать, что из условия (1ч) следует (ш), рассмотрим гомоморфизм (пхм) „ индуцируемый на компонентах степени! .