Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 47
Текст из файла (страница 47)
в) Утверждение тривиально, если йрл(х1(М) = з', а также если йрА(х1(М) = 0 (что невозможно, поскольку ХМ =0). Можно, следовательно, предполагать, что йрл(х1(М) = п > О. Рассматривая, как и выше, точную последовательность 0 -+ -+ и- 1. м- О, гле ь — свободный А[х]-модуль, получаем точную последовательность О М- И/ХИ- Ь/ХЬ М- О. Согласно б), йрА(И/ХМ) <йрА(х1(г1) кйрА1х1(М) — 1 оп — 1; так как йрл(1/Х1) =О, то из предыдущей точной последовательности, применяя лва раза следствие 2, с.
143, получаем, что йрА М <и — 1. Но, согласно а), имеем: йРА(М)Э йРА(х1 (М) — 1 =и — 1, откуда следует утверждение в) . Т е о р е м а 1. Предполояеим, что кольцо А колемугагивно ') . Тогда й)з(А [Х])=й)з(А)+1. Лля всякого А [Х] -модуля М имеем (лемма 3): йРА1 х 1» йРА (М) + 1» й)т (А) + 1 следовательно, й)з(А[Х]) '~ й(з(А) + 1; обратно, если М вЂ” любой А-модуль, то пусть М вЂ” А [Х]-модуль, получаемый введением на М структуры А [Х]-модуля, Лля которой ХМ =0; тогда (лемма 3) "РА (М) = йРА(х 1 (М) — 1 С й)з (А) — 1, таким образом, йй(А) < й)1(А [Х] ) — 1. ') Требование коммутатнвности кольна А в зтои лемме, а также в теореме 1 и следствии 1 является излишним.
— Лрямеч. лер. а 8. Гомологочесная размерность С л е д с т в и е 1. Предположим, что кольцо А коммутативно '), Имеем: дл (А 1Х „..., Х„1) = дЬ (А) + п. Это вытекает из теоремы с помощью индукции ло п. С л е д с т в и е 2. Пусть К вЂ” поле (соответственно кольцо главных идеалов * или дедекиндово кольцо °, не являющееся полем) . Тогда гомологическая размерность дй(К(Х„..., Хн1) равна п (соотватпиенно и + 1).
Это следует из того, что дл (К) = О (соответственно дй (К) = 1) . 7. Гомопогнческен размерность градуированнтах модулей В этом пункте мы предполагаем, что А — градуированное кольцо со степенями > О. Обозначим через (Ан)н и т. его градуировку; имеем, таким образом, что А„= О при и < О, Ао — подкольцо в А, эо = е А„— двусторонний идеал в А и градуированное н> о факторкольцо АДо отождествляется с Ао. Л е м м а 4.
Пусть М вЂ” градуированный А-модуль, ограниченный снизу (с. 61). Если Ао ел М=О,то М =О. Так как модУль Ао ея М изомоРфен М/ЮоМ, то зто следУет из П, Р. 171, РгоР. 6. Л е м м а 5. Пусть М вЂ” ограниченный снизу градуированный А-модуль и пусть э: А ел МПо М ~ М вЂ” градуированный А-гомоморфиэм, для которого отображение 1 ея т: Ао еА (А ен, МДоМ) -+ Ао ен М представляет собой канонический иэоморфиэм. Тогда гомоморфизм э сюръективен. Если Тот(ь (Ао, М) = О, то гомоморфиэм э биективен.
Имеем точную последовательность О -' Кег т -' А ел МАМ -' М .+ Сонет т -+ О, но причем градуированные А-модули Кег т и Со$гет э ограничены снизу. Из точной последовательности Го о Ао ен (А ел, ЮоМ) — ' Ао ен М ~ Ао е Со1сегт -' О заключаем, что Ао ен Со1сегэ =О, следовательно, гомоморфизм т сюръективен (лемма 4) .
Имеем теперь точную последовательность: !от Тот~~ (Ао, М) -+ Ао ен Кег т -ь Ао ен (А ен, МПо М) Ао ен М. Если Тот|~ (Ао, М) = О, то Ао ен Кетэ = О и гомоморфизм э инъективен (лемма 4). П р е ц л о ж е и и е 8. Пусть М вЂ” ограниченный снизу градуированный А-модуль а) Следующие условия эквивалентны: (1) М иэоморфен градуированному А-модулю вида А еи, Х, где 1ч — нроективный (соответственно градуиров анны й свободный) градуированный Ао -модуль; (И) М вЂ” проективный (юответственно градуированный свободный) А-модуль; (ш) МДо М вЂ” проективный (соответственно градуированный свободный) Ао-модуль и Тот~1 (Ао, М) =О.
б) Предположим дополнительно, что М обладает системой порождающих, образованной иэ однородных элементов ограниченных степеней Тогда следующие условия эквивалентны: (О Градуированный А-модуль М обладает конечным композиционным рядом, факторы которого иэоморфны градуированным А-модулям вида А ел, 1Ч, где М вЂ” плоский градуированный Ао-'модуль; (П) М вЂ” плоский А-модуль; (ш) МАМ вЂ” плоский Ао-модуль и Тог1 (Ао, М) = О. В каждом из двух случаев, имеем, очевидно, импликации: (1) ~ (И) ' (ш) .
Остается, таким образом, доказать импликацию ((и) н (1) . ' ) См. ояоону ва о. 149. — Примеч. нор. 5 Ю. Гомологнчгеная размерность а) Градуированный А-модуль А ел М/ХеМ представляет собой проективный А-мо- дуль, так как М/ХьМ вЂ” проектнвный Ае-модуль. Канонический гомоморфизм А-мо- дулей р: М- М/Хеи сюръекпвен; следовательно, существует градуированный А-гомоморфизм степени нуль г: Аея М/ХьМ-+М, для которого р о г (а е х) = ах при а Е А и х Е М/Хе М. Согласно лемме 5, з представляет собой нзоморфизм А-модулей из А ея М/ХьМ на М, откуда следует (1) . б) Согласно сделанному относительно М предположению, существуют такие целые числа а, Ь, причем а <Ь, что М порождается множеством е М1.
Проводим индука К1КЬ цню по положительному целому числу Ь вЂ” а. Если Ь вЂ” а = О, то М порождается множеством М и канонический Ае-гомоморфизм М вЂ” М/ХьМ биективен; из А-гомоыорфизма А ея М, - М, определяемого структу- рой А-.модуля на М, получаем градуированный А-гомоморфизм з: Аея М/ХоМ -> М, удовлетворяющий условию леммы 5.
Согласно лемме 5, гомоморфизм г биективен, откуда следует (1) . В общем случае пусть МОΠ— (градуированный) А-подмодуль в М, порождаемый множеством М„, и М вЂ” фактормодуль М/М('1. Имеем точную последовательность о МОО и и' о, У г нз которой, так как, по предположению, Тот~~(Аь, М) = О, получаем точные последо- вательности Тогзг (Аь,М')- ТогГ(Ае,и®)- О, (6) 1ьУ ~ьт О -+ Тот ~ (Аь, М ) -+ М1ь1 Дь М141 — + М/Хь М вЂ” + М /Хе М' -+ О. (7) Но канонический гомоморфнзм М вЂ” М(в) /ХеМОО биективен.
Отсюда следует,чтого- моморфизм 1 е Х': М1"1/ХьМ("1 ~ М/ХеМ инъективен н что его образ — прямой множи- тель Аь-модуля М/ХьМ. Поэтому из точной последовательности (7) вытекает, что Тот1~(Аь, М') = О и что Ае-модуль М'/ХеМ' плоский, так как он изоморфен прямому множителю Аь-модуля М/ХеМ. Согласно индуктивному предположению (которое при- менимо к модулю М, так как ои порождается множествами М1 для а < / <Ь), модуль М' удовлетворяет условию (1), следовательно, плоский. Из точной последовательнос- ти (6) теперь получаем, что Тот~~(Ае, М(а1) = О; но М(в)/Хьи(а) отожцествляется с М, который является плоским Аь.модулем (как прямой множитель Аь-модуля М/ХьМ); согласно уже доказанному', градуированный А-модуль М1в) изоморфен А ея М н, следовательно, толсе удовлетворяет условию (1), что завершает доказае тельство.
С л е д с т в н е 1. Пусть М вЂ” градуированный А-модуль конечного типа. Если Аь-мо- дуль М/Хе М проективный (соответственно градуированный свободный, соответственно плоский) и если Тот~~ (Ае, М) = О, то А-модуль М проективный (соответственно градуи- рованный свободный, соответственно плоский) . С л е д с т в и е 2. Предположим, что всякий проективный Ае-модуль свободен (со- ответственно, что кольцо А нетерово и что всякий проективный Аь-модуль кднечного типа свободен). Пусть М вЂ” ограниченный снизу градуированный А-модуль (соответст- венно градуированный А-модуль конечного типа) и п — такое целое число > О. что дрАМ < п. Существует точная последовательность градуированных, А-/нодулвй и гра- дуированных гомоморфизмов степени О О Г 1.„1 ...
Х М О, 1 В. Гомолоац ческая размерность 152 в которой 1» — ограниченные снизу свободные градуированные А-модули (соотестственно свободные градуированные А-модули конечного типа) . Действительно, существует (с. 61, предложение 11) точная последовательность градуированных А-модулей и гомоморфизмов степени 0 О 1 1, ... 1.о М О, в которой модули Ег ограничены снизу (соответственно конечного типа) при 0 <1 <л н являются грацуированными свободными при 0 ц',( < п — 1. Так как йрд (М) < л, то А-модуль 1„проективен, следовательно, Ао иА 1„, — проектнвный Ао-модуль, следовательно, градуированный свободный; так квк А-модуль 1аа ограничен снизу и Ао-модуль Ао ил Ел градуированный свободный, то (аа — градуированный свободный модуль (предложение 7) .
С л е д с т в и е 3 (теорема Гильберта о сизигиях) . Предположим, чю Ао — лоле и что А порождается как Ао-алгебра п алгебраически независимыми однородными злементами степеней > О. Яля всякого градуированногоА-модуля М, ограниченного снизу (соответственно конечною типа), существует точная последовательность градуированных А-модулей и градуированных гомоморфизмов степени 0 О 1 1, ... 1о М О, в которой 1» — свободные градуированные модули, ограниченные снизу (соответственно конечного типа) . Действительно, д)г (А) = и согласно теореме 1, с.
149, и можно применить следствие 2. 3 а м е ч' а н и е. Следствие 2 применимо равным образом к следующим случаям: а) Ао — кольцо главных идеалов и А = Ао [Х,...., Х„, ), б) ' Ао — регулярное локальное нетерово кольцо размерности г и А = Ао [Хм... ...,Х„г].. С л е д с т в и е 4. Предположим, что Ао — полупростое кольцо. Пусть М вЂ” ограниченный снизу градуированный А-модуль и и — целое число > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
