Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Этот тотчас следует нэ того факта, что М обладает проектнвной реэольвентой длины < л,и нэтеоремы!,с. 103. П р е д л о ж е н н е 1. Пусть М вЂ” А-модуль и л — целое число > О. Следующие условия эквивалентны: 1 В. Гоиавагическач размерность (!) дрл(М) < л (т.е., ло определению 1, М обладает лроективной реэольвентой длины <л); (й) Ехал(М, Х) = 0 для всякого А модуля Х и всякого целого числа г > л; (10) Ехга '(М, Х) = 0 для всякого А-модуля Х; (Ь) для всякой точной последовательности Рл — г в которой модули Рг лроективны, модуль К лроективен. (!) «(!1); это следуетизлеммы1. (й) '(!!!): это тривиально. (ш) ° (зч): в ситуации, описанной в (!ч) дпя всякого А-модуля Х имеем изоморфизм Ехт,' (К, Х) на Ехта (М, Х) (с.
132,следствие 4); если условие (!И) выполняется, то Ехт'(К,Х) =0 дпя всякого Х н, следовательно, модуль К проекгивен (с. 97. предложение 10) (!ч) «(1): рассмотрим точную последовательность (с. 5б) О Е„,(М) 1,(М) ... 1ч(М) О. Если (!ч) выполняется, то модуль Х„!(М) проективен и М обладает проектнвной ре. зольвентой длины <л, С л е д с та н е 1. Пусть (М;)гн и — семейство А-модулей. Имеем др„( Е М,.)= рдр„(Мг).
!и и 1не Это следует нз эквивалентности условий (!) н (ш) препложенин 1 н нз предложения7,с. 94. В следующей формулировке принимается, что -' ' ь 1 = + ' — 1 = -+ ". Следствие 2. Пусть 0 -+ М ' - М -ь М " - 0 — точная лоследовагельносгь А-модулей. а) Имеем: дрл(М) < анр(дрл(М'), йрх(Мь)).
Если дрл(М") Ф дрл(М') + 1, то имеет место равенство. б) Имеем: дрл(М ") < игр(дра(М), дрл(М') + 1) . Если др„(М) Ф дрл(М'), то имеет место равенство. в) Имеем дрл(М') < энр(др~(М), дрл(Мь) — 1), Если дрл(М) чь дрл(М"), то имеетмесго равенство, Докажем, например, а), поскольку доказательства утверждений б) и в) аналогичны. Если Х вЂ” произвольный А-модуль и л — целое число > О, то имеем точную после- довательность Ехга(М', Х) -+ Ехг,ч (М", Х) -+ Ех!а (М, Х) — Ехг" (М', Х) -ь -+ Ехг,, (М", Х) -+ Ехга (М, Х), если дрл(м) дрл(м ) <л, то ехтл (м'„х) = 0 н ехт„(м",х)=0 (прелложе. ние 1),следовательно Ехгл (М, Х) =0 и бра(М) <л (предложение 1),так что др„(М) < р(др„(м'), др„(Мь)). Если дрл(М) ( эцр(дра(М ), дра(М )), то дрл(М) С +«. Длявсякогол Р' дрл(М) 144 а 8.
Гомоггогччеекая размерность и всякого А-модуля 6!имеем: Ех1х (М", !ь!) ФО Ехг (М', Ь!) ФО и Ех1л (М', Ь!) чь О ~ Ех1х (М", Ь!) Ф О, согласно предыдущей точной последовательности; согласно предложению!, отсюда немедленно следует, что дря(М ) = дря(М ) + 1, так как одна из величин бр„(М'), бр„(Мл) > др,(М). П р и м е р. Пусть а — элемент из А, который не является ни обратимым справа, ни правым делителем нуля. Тогда г!р,(А/Аа) = 1. т Действительно, согласно точной последовательности Π— А, — А, — А/Аа - О, где ьо(х) = ха, имеем: йря(А/Аа) < 1.
Если др, (А/Аа) ( 1, то модуль А/Аа проективен и существует А-линейное отображение чг; А, -' А„для которого Ф ь чт л!д; о~сюда следует, что 1 = Ф(р(1)) = чг(а) = а Ф(1), и а обратим справа. П р е д л о ж е н не 2. Предположим, что кольцо А нетерово слева Пусть М --А-мо- дуль конечного типа и и — целое число > О.
Следующие условия эквивалентны: (!) Йрх(М) (п. (1Ьгз) М обладает проективной резольвентой Р длины < п, в которой Рь — А-модуль конечного типа для каждого 1. Г (й) Ехгл(М, !ь!) = О для всякого А-модуля конечного типа Ь! и всякого г > п. ль1 (й!) Ех1х (М, Ь!) = О для всякого А-модуля конечного типа !ь!. (!ч) Тот~~(Р, М) = О для всякого правого А модуля Р и вся кого г > и. (ч) Тот л ь, (А/ а, М) = О для всякого правого идеала конечного типа а в А. (! Ь!ь) .
(1): это тривиально. (1) (й): это следует из леммы 1. ль1 (П!) = (!): согласно (1й) и предложению 5, с. 108, имеем: Ехт, (М, М ) = О для вся. кого А-модуля Ь!, и, следовательно, справедливо (!) согласно предложению 1. (!) ~ (1ч): это следует из леммы 1. (!ч) . (ч): это тривиально, (ч) (1Ь!з): пусть (Е, е/) — свободная резольвента модуля М, в которой Ее — мо- дуль конечного типа дпя всякого г (с. 59. предложение 6). Положим К = Х„,(Е), тогда К имеет конечный тнп как подмодуль в ) л,, и получаем точную последова- тельность О К 1 1.„...
!о 1 М О. (1) Согласно (ч) и следствию 3, с. 136, имеем Тот',ь(А/ а, К) = О для всякого правого идеала конечного типа а в А, Согласно теореме 2, с. 81, А-модуль К плоский; так как он конечного типа и, следовательно, конечно представим (с. 14, предложение 5), то он проективен (с. 17, следствие), следовательно, (1) представляет собой проективиую резольвенту для М. С л е д с т в и е. Предположим, что кольцо А нетерово слева, и пусть Уо (соответственно Ж ) — множество классов проекгивных А-модулей конечного типа (соответственно А-модулей конечной проективной размерности и конечного типа).
Тогда гомоморфизм групп Гротендика К( Жо) — К( В) биективен. Это следует из теоремы 1, с. 63 (отметим, что множества го'о и '6 точные слева согласно следствию 2) . 2. Гомоморфизм Тот„(Р, М) - Ногая(Ехт А(М, А), Р) Пусть М -левый А-модулть Р— правый А-модуль, п — целое число р> О. й-билинейное отображение (с. 134) ср, и я '. Ех1л(М, А) Х Тог (Р М) ь Ри А а 8. Гонолон(ческая размерность соответствует некоторому й-линейному отображению Тот„(Р, М) -+ Ноша (Ехг „(М, А), Р). (2) Кроме того, если я-модуль Ехта(М, А) наделен структурой правого А-модуля, происхо- дяшей из структуры бимодуля на А, то, как легко проверяется, образ гомоморфиз- ма (2) состоит из А-линейных отображений; отсюда получаем й-гомоморфнзм, назы- вммьгй гганоническим Тот„(Р, М) Ноша(Ехг~,(М, А), Р).
(3) П р е д л о ж е н и е 3. а) Если бря(М) < и, то канонический гомоморфизм (3) иньективен. 6) Если бр~,(М) ~ н, если кольцо А нетерово слева и если М вЂ” модуль конечного тин(а то канонический гомоморфизм (3) биективен. Проводим индукцию по и. Если н = О, то модуль М проективен, гоыоморфнзм (3) отождествляется с каноническим гомоморфнзмом Р вя М - Ноп(я(М', Р) иэ П, р. 77, и предложение следует из П, р. 77, сот. Если н) О, то пусть О-»Х- Е-'М-+О (4) - точная последовательность А-модулей, где модуль 1.
свободен (и конечного типа в случае 6)); тогда браН< н — 1 (с. 143, следствие 2, в)) и Н конечного типа в слу- чае 6). Пусть д е Ехта~,(М, М) — класс, ассоциированный с точной последователь- ностью (4) (с. 124, определение 1) . Обозначим через и„: Ехт,, (М,А). Ех1 (М,А), о„: Тот„(Р,М)- Тот„(Р,Х) отображении, определяемые по формулам: и„(а) =а» 9 н с„(6) = д» 6.
Имеем: (и 8) 6 =а (О ° 6) »-г А ддя любых а Е Ехтл (Х, А), 6 Е Тот„(Р, М) (с. 134, предложение 6), так что диаг- рамма Тот„' (Р, М) Ношь (Ех1,", (М, А), Р) !э н (»„. (г~ () Тога» г (Р, Х) — Ноша (Ехг~ ' (Х, А), Р), в которой горизонтальные стрелки представляют собой канонические гомоморфизмы, коммутатнвна. Если л = 1, то имеем, таким образом, коммутативную диаграмму О О Т, (Р, М( Н~,(»»((М,А(,Р( », нот (»,, г)~ »е ь» Н, .(»,»( Р Зь 1 Нош„(1.', Р), в которой столбы точные; из нее получаем искомьщ результат в этом случае.
Если л > 2, то отображения и„и о„биективны (с.132,следствие4, ис.136, следствне3). Согласно индуктивному предположению, кыюнический гомоморфизм Тот„г (Р, ((() - Ногль(Ехгян (г(1, А), Р) иньективен (соответственно биективен); диаграмма (5) показывает, что тем же свойст- А П вом обладает и канонический гомоморфиэм Тот„(Р, М) - Нота(Ехтх(М, А), Р), что завершает доказательство. (л 10. Н. Бурбаки Е 8. Гомолоея ческая размерность 146 3. Гомолоппюская размерность кольца О п р е д е л е н и е 2. 2 ояюлогической размерностью кольца А называется верхняя грань в г. множества целых чисел и, для которых существуют такие два А-модуля М и Х, что Ехтя(М, Х) ФО она обозначается через дЦА) ').
Имеем; дЬ(0) = —, ЩА) > О, если А Ф О. Мы увидим ниже, что дЬ(А) = 1, если А — кольцо главных идеалов, не являющееся полем, и что если К вЂ” поле, то а(к(х!,..., х„]) = . Предло жение 4. Пусть и — целое число > О. Следующие условие эквивалентны: (1) ЙЦА) < п,' (й) дря(М) ~~я для всякого А-модулям; (и ) Йря(м) <и для всякого А-модулям конечного типа: (ш) дпя всякой точной последовательности 0 -+ К -ь Р„! -ь Р„з ~... -ь Ро, в которой Р! проекгивны, модуль К проекгивен; (Ь) для всякой точной последовательности !о „+!1 ь +!и — ! +Х ~0 в которой 1' инъекгивны. модуль Х инъекгивен; (ч) всякий А-модуль обладает инъекгивной резольвенгой длины < п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
