Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Т„(М, Ы) фактоРмножесшо мио1кества 'Уи(М, Н) по самому тонкомУ отношению эквивалентности, для которого два связанных элемента эквивалентны (ср. П, р. 52, ехегс!се 9). а) Показать, что Т„(М. И) отожлествлаетсл с Тоги (М, Н). А 1 \г б) Пусть (й): О М' М М" Π— точная последовательность правых А-модулей.
Описать свазывающий гомоморбжзм ь: т„(м", н) Т„г(М', Н), получаемый из 9(д, н) с помощью предьщущих отожпествлеинй. (ЕСЛН (Р, Р, а) П Ьл(М", Н),та ПсиааПЬ, Чта а(Р, Р, 9) = (Р, Р, 7), ГЛŠР— КОМПЛЕКС, ПОЛУЧаЕМЫП заменой Р„иа О в Р, р — морфизм, получаемый из р, и гомоморфизм (9) 1: Р,', 1 М' равен ил, где и — морфизмнэр в комплекс (Сопб)) (л),для которого л и =9 .) ( 7. Пусть А' — »-алгебра (ассоциативная н унитарная и В = А эг, А'.
а) Пусть М вЂ” левый А-модулгь Π— правый А-модуль, М' — левый 'А'-модуль, О'-правый А'-модуль. Пусть (Р, р) (соответственно (Р', р'), соответственно (К, г)) — проектявная резольвента А-мопуля М (соответственно А'-модуля М', соответсшенно В-модуля М эг, М').
Показать, что существует единственный с точностью до гомотопии морфием В-комплексов и: Рэ„р' К. для которого г и " р э р'. Определить с помощью и гр1щуиранаилЫИ»-гомоморфиэм степени О Т: Тог Я,М)э(,Тог (О',М') Тот Яв»О',Мэ(,М'). л А' В Показатц что Т не зависит от выбора реэольвент Р, Р', К и морфиэма и. Если а с Тог (О, М) и А а'НТог (О'.М') топололагмТ(аэа')-"аТа'. А' б) Предположим дополнительно, что»-модугш А и А' лроекгивиы и что Тот „(М, М') = О ппг » л > О. Показать, что тогда Р эг, Р' представляет собой проектнвную резольвенту В-модуля М эг, М', полу ыть отсюда для всякого А-модуля н и всякого А'-модуля х ' градуированный»-пэмоморфизм степени О Ч: Ех!»(М, ы) э» Ех1л (М', ы') Ехгп(М ег, М', Нэ» Н').
Показать, что Ц не зависит от выбора реэолшент Р н Р'. Если Ь ш Ехгь(М, Х) и Ь и Еху(М', Ы'), то обозначим и (Ь э Ь ) = Ь аЬ . в) Пусть А" — третья»-алгебра (ассоциативная и унитарная), М" н Ы" — левые А"-модули, О"— правый А"-модуль, Отождесп1им межцу собой»алгебры Аэг, (А'э(, А") н (Аэг, А') эг, А", так же каки» модули Мэ» (М' э» М") и (М э» М) э» М". Ыэ» (Н' э» Н") и (Х э» Н ) э» Н"). (О э»(О'э» О") и Яэ»О')э1, О". Дэказагьформулы: а Т (а'Та") =(а Та') Та" лля апТог (О,М). а'пТог (О'.М'). а" НТог Я",М"); ь г(ь' кь") (ь иь') иь" 8 7.
Комлозеиионлое произведение 141 дая Ь е Ехгд(М, Х). Ь'ы Ехгд (М, х'), Ь" е Ехгл (М '. Х'). г) Пусть Аеа А' А'е~ А о: Тот (0ег 0', Мег М') Тот (0ег 0.М'ег М) и г: Ехсде А (Ме(, М'.ХейХ') ЕХГ, А(МеаМ.Х ее1Ч) а А'еГ А — изомо рфи змы, полу чае мью из изо морфизмов коммути ровани я АеГ А' А'еГ А, МеГ М М'е М. Хес Х' Х'ееХ, 0е) 0 0 е) О. Доказать формулы: о(а Та') (-1)рса' Та для ее Тот (0, М), а'ы Тот (0'.
М'),' Р ч Г<Ь Ы Ь') (-1) Ь' Ь' Ь ДЛЯ Ь Е ЕХГА(М, Х), Ь' Ы ЕХГА,(М', Х'). д) Пусть (Д): О Мэ М, М, Π— точнал последовательность А-модУлей, длЯ котоРой после- довательность (ц е М'): О М, ея М' М, ег, М' М, ег, М' О тоже точнаи. Обозначим чеРеэ а (СООтнстетВЕННО Д) Снлэмнамшнй ГОМОМОРфнЗМ Э(0, Ц) (СООтнстетВЕННО Ь(0чэ0', да М')) Показать, что (эе) Т а' = д(е Т а ) дпл е е Тот (О, М, ), а' ы Тот (О', М ) .
Доказать аналоги вую формулу дпя произведения ч. е) если ь — поле, показать, что т представляет собой изоморфиэм градуированных»г-модулей; то же самое справедливо для '/, если, кровю топэ, алгебры А и А' нетеровы слева и если А-модуль М и А'-модуль М' имеют конечный тип. ж) Отождествив модули Тог„(0, М) с множестваьм Т„(0, М),определенныма в упражнснииб, А доказать фоРмУлУ: (Р,Р, 1) Т (Р'. Р',4') = (Рея Р',Р еР', Ч ел'). 8. Сохраняем обозначения из упражнения 7; предполагаем, что lг-модули А н А' проектнвны.
а) Про)щслоямм, что Тогг (М, М ) О пмг г > О. Показать, что отображение Ьь Ь Ч 1ээг опреде- ляет градуированный )г-гомоморфизм степени пуль из Ехгд(М, 1Ч) в Ехгй (Маг, М', Х еа М'), кото- рый индуцирует в степени пуль канонический гомоморфиэм Ь Ь е 1)4, б) Прсдполоямм, что Ь модуль М' плоский. Пусть О 1Ч й„... й, М О вЂ” точнал последовательность А модулей с классом Ь ~ Ехгл(М, Х). Показать что точная поцтедовагельно сть В" модулей О Хе„М' Весам' ... В,еам' Ме М' О имеет в качестве класса элемент Ь ж 1м и Ехгп(М еа М'. Х еа М') . в) Преплоловим, что Ь-модули М, М'. Х, Х' плоские. Показать, что ь чь'=(ь)г<„) ()„мь) =(-1)рч<<„гь') ° <ьж)„) Дпл ЬЕЕхг „,(М, Х).
Ь'ыЕхгд(М', Х ). Р ч 9. Предположим, что кольцо А коммугативно. Пусть В, С вЂ” дае унитарныс ассоциативные А-алгебры; обозначимчерезмп. 'ВеАВ В умножеииев Вн черсзтС вЂ” Умножеииев С. а) Показатаь что гомоморфизм Тог(тй, тС) Т: Тог (В. С) еА Тот (В. С) Тот (В. С). А А А (см, упражнение 7) определает на Тот (В, С) структуру унитарной ассоциативной градуированной А А-ал ге бры. б) Пусть $ — градуированная дифференциальная А-алгебра и р: 8,  — гомоморфизм А-алгебр, при юм (Б, р) представляет собой свободную резольвенту дпя В (см.
с, 69. Уцрюхнение 18). Показать, что иэоморфизм Ь<Б.СП Тот <В.С) Н(Бе, С) явлветсл нэзморЭЭихмом А.аагебр, если Н(8 е,, С) нацелить структурой алгебры, получаемой из структуры градуированной дифференциальной алгебры на $ ед С (с. 69, управпмние 18, б) и в) ). А в) Если А-алгебры В и С коммутативны, доказать, что градуированная алгебра Тот (В, С) косокоммугашвла (ср. с. 69, упражнение 19) . !О. Пусть  — Ьбигсбра (П1, р.
148). которал рассматривается как пополненная /салгебра (с. 12О, уцражнеине 27) с помощью коединицы 7: В Ь; предположим, что /с-модульВ проективен. а) Пусть М, Х вЂ” даа левых А-модуля. Гомоморфиэм 'г нз упражнения 7 отоаществнм с градуированным гомомо рфиэмом сгецени нуль Н(В,т;М)еаН(В.т;Х) Н (Вег В.'гет;Мег Х); !42 1 8. Гомологпчсская размерность посрецсгвом композиции с гвьюморфизмом, получаемым иэ коумволиния, полу~мть отсюда гра- дуированный тмоморфиэм сгепени нуль : Н (В, Г; М) еа Н (В, т; Х) -~ Н (В, т; М е» Х).
б) Пусть С вЂ” унитарнюг ассоциативная Е.алгебра, которую наделим структурой В-модуля, получаемой нэ т. Показать, что гомоморфиэм определяет на Н (В, т; С) структуру унитарной ассоциативной градуированной /с-алгебры; если алгебра С коммутативна и если бигебра В коммугатнвна, то ачгеб. ра Н (В,т; С) косокоммутатнвна. в) Возьмем С = )с. Показать, что произведение совпадает с композиционным произведением На ЕХ1в(Д /г) .
г) Пусть С вЂ” группа М н Х вЂ” два Е( ) модуля Наделим Мех Х структурой К -модуля опре- (С) делэимой условием: 8(хе у) =гхе ту дпя 8 С С, хи м, у с Х. Показать, что отобралинне Н(С,М) е Н (С.Х)-~Н (С,ме Х) предспюляет собой пээюьюрфизм, индупируемый на пэмологни градуированным гоьюморфиэмом степени нуль ; С'(С,М)е С(С,Х) С (С,Ме Х), определяемым по формуле; и(/ е ь) (8,,...,8ре ) г (8~ .,ьр) ег~ ° грь(тре) .
'тр+ч) ЛЛЯ т С С Р(С, М), Ь и С Ч(С, Х), 8,, а, +ч Н С. (Испольэовать упражнение 5, с. 86.) 8 11. Предполозмм, что бигебра В обладает обращением (см. Н1, р. 198, ехегмсе 4). Пусть М и Х вЂ” В-модули. а-модуль М ег, Х (соответственно Нота(М, Х)) имеет естественную структуру В ег, в-модуля (соответственно В е а В' -модуля); наделим его структурой В-модуля, получаемой иэ коумнолиния с (соответсгвенно (1В е!) с) . а) Показать, что гомоморфизм (упражнение 10) определяет градуированный гомоморфизм степени нуль ; н (В. г; ноша(м, )О) ег, н'(В, т; м) -~ и'(В, у; х) б) Пусть О М К„... К, ')с О.
— точная поспедовательностьВмодулей, в которой ьюдул л ли К; проективны (1 с / с л); пусть Š— ее класс в Ехг в(Ь, М) = Н (В, т: М). показать, что ллл р > 1 отображение хе х е определяет юиэомор(бием модуля нл(в,у; ноша(м,ьо) на НР'"(в,т; х). Щоказать, что это отображение разлагается в композицию Н (В, У!Ноши(М, Х)) Ех1В(М, Х)-~ Ех1В (Ф, ЬО.) Р р е рен в) Пусть С вЂ” группа, Х вЂ” Х -модуль Пусть р — свободнее группа, р: р С вЂ” сюръективный (С) гомоморфиэм, К = нег(р), К = К/(К, К), р Р/(К, К), Расширение К р -~С определяет класс р — р+г а с Н'(С, К); доказать, что отображение х~ех е из Н (С, Ноше (К, Х) ) в Н (С, Х) является иэоморфизмом прк р В 1 (использовать упражнение 3, г), с.
65) . б 8. ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ РАЗМЕРНОСТЬ В этом параграфе сохраняются соглащения иэ 8 5. 1. Проектнвнпя размерность модуля О и р е д е л е н и е 1. Пусть М вЂ” А.модуль. Проективной размерностью модулд М называется нижняя грзнь в Х длин его проективных реэольвент (с. 54); она обозначается через дрд(М). Таким образом, сари(О) = —, дрл(М) > О, если М Ф О. Дпя того чтобы модуль М был проектнвен, необходимо н достаточно, чтобы др (М) < О, Л е м ма 1. Если дрд(М) < л<+'",тоЕх1д(М 1Ч) еОдал всякого Амодуля Хи Тот„(Р, М) = О для всякого правого А-модуля Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
