Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Пусть а: Р(л) » Х вЂ” морфизм комплексов, представляющий элемент а; его едннствен. ной ненулевой компонентой является некоторый А-гомоморфвэм и: Р„Х, удовлет- воряющий условию и» Ыл+ т = 0 н, следовательно, разлагающийся в композицню и = = й» б„, где б„: Рн -» е.н т — отображенне, нндуцнрованное гомоморфизмом с1„(мы полагаем Ен, = 1т д»), а и — некоторый А-гомоморфнзм модуля Х„е, в Х. Соглас- но замечанию 1, с. 124, класс д Е Ехтл~ (М, Ен з) точной послецовательности О 2„, Р„, ...
Р М О равен гомотопнческему классу морфизма (-1)" (» 'лэб„. Имеем, следовательно, а — ( 1)»(»+11/та» 9, 1 7. Ком»отан»о»»ое нас»заеден»е с точными строками: о х к„к„, ... к, м о ~»~ ~г ~» , О Х Х Рез ~»~ ~г ~»., -» Є— М» 0 ~ы о х к„к„, ...' к; м о, О Х К„... К, М О ~ьо ь» 1 Π— » Х вЂ” е" Ее — ». »» Ел- ь -'»» Е» 4 0 Х К„' ... К', М О, и так же, как и выше, можно считать, что и„= и„. Тогда имеем коммутатнвную диа- грамму с точными строками: о — х к„...— к, к, м Ее»- —, Е»-з ~ М' — ~М вЂ” » 0 о х к„... к, к, м о, в которой М' = М Х.н Е" (с. 127, следствие З„б)).
Условие (111), таким образом, удовлетворяется, что завершает доказательство теоремы. 3 а м е ч а н и е 1. Если кольцо А нетерово и если модули М и Х конечного типа, то из доказательства утверждения а) следует, что всякий элемент в Ехтнл (М, Х) представляет собой класс, ассоциированный с точной последовательностью 0 Х - К„- ... ...-»К1 -+М - О, в которой К; — модули конечного типа. Г з Г,е' С л е д с т в и е. Пусть О -» Х » К ~ М ~ 0 и О » Х » К' » М » 0 — две точные последовательности, В и В' — их ассоииированные классы в Ехтд'(М, Х). Юля того чтобы В = В', необходимо и достаточно, чтобы существовал А-гомоморфизм йк К -+ К, делающий диаграмму Х,е Х ь М 7 Кк коммутативной, Всякий такой гомоморфизм непременно является изоморфизмом. 9. Н.
Бурбаки где Х вЂ” фактормодуль модуля Рн ь е Х по подмодулю,образованномупарами (бн(х), — и„(х)) для х б Р„, и где отображение и (соответственно и') определяется посредством перехода к фактормодулю отображением и„, в Дн+, (соответственно и„, ВГн,). УСЛОВИЕ (К), таКИМ ОбраЗОМ, удОВЛЕтВОрястея. Снова предположим, что выполняется условие (1), и пусть Š— инъективная резольвента для Х. Существует коммутативная диаграмма 1ЗО а 7. Композиционное произведение Условие достаточно согласно следствию 1 предложения 4. Если 0 = 0', то имеем коммутативную диаграмму с точными строками: 0 — Х вЂ” »К †.М-»0 4 4 0 — » Х вЂ” о К"-ь М вЂ” ь 0 ь"~ 0 — о. Х вЂ” ь К' — и.
М вЂ” ь- О. Гомоморфизмы й' и йп являются изоморфизмами согласно следствию 3, с. 11, и й = = й» й' ' отвечает нашему требованию. Последнее утверждение — также результат упомянутого следствия 3, с. 11. 3 а м е ч а н и е 2. Теорема 1 дает описание Ехтпя (М, Х) как множества классов эквивалентности точных последовательностей; легко описать групповой закон, который мы получаем на этом множестве переносом структуры. Действительно, пусть тп+ ь тп 0 (соответствеино 0~) — класс точной последовательности 0 -+ Х вЂ” и К„-»... -+ Кь -+ тп» ь, уп -+ М -» 0 (соответственно 0 -+ Х вЂ” + К„-+ . -+ К, -» М -+ О) .
Пусть Ь: М -» М в М и Р: Х о Х -+ Х вЂ” А-линейные отображения, определяемые по формулам Ь(х) = (х, х) дляхЕ Ми Р(у з) =у+э дляу з Е Х Рассмотрим отображение пк Ехь А(М, Х) в Ехь„(М, Х) -+ Ехтя(М в М, Х в Х), определенное в замечании на с. 127. В обозначениях из этого замечания имеем: Р» цч= = 1н и цм» Ь = 1ы, и,' следовательно, 0 + 0' = Р» пь(0, 0')» гь.
С учетом вьппеупомяну- того замечания и следствия 3, с. 12б — 127, это дает точную последовательность класса 0+ 0~; если, например,п и 2,то можно взять последовательность »и — ь оУ» — ь а » и„" »„ , »„' , ... », »', к; м а, где К,", — фактормодуль модуля Кп в К„' по подмодулю, образованному парами (тп» ь(х) — уп+ ь(х) для х Е Х, и где Кь = К, Хи К',, 6. Композиционное произведение и связывающие гомоморфнзмы для модулей расширений П р е д л о ж е н и е 5: Пусть ,т" а (Й) О-»М'-+М-+М"-+0 точная последовательность левых А-модулей, 0 Е Ехтя(М", М') — ассоциированный класс, Х вЂ” левый А-модуль, и — целое число. а) Связывающий гомоморййизм Вп(Х, К): Ехтпя (Х, М ) » Ехф+ ь (Х, М ) представляет собой композиционное произведение и + О» а на 0.
б) Связывающий гомомор05изм Вп(К, Х): Ехтя (М', Х) -+ Ехф+ ' (М", Х) нрадставляет собой композиционное произведение и + ( — 1)п+ 'и» В на ( — 1)п+'В. а) Рассмотрим коммутативную диаграмму 0 — ~М' — ~М вЂ” «М" — »0 / а !п~ ~» ~»' 0 — ». М' - )о(М') — ь 1'(М').
По определению, 0 есть класс морфизма — и' е Нопщт' (М ', 1(М')), С другой стороны, и А п а Е Ехтя (Х, Мп) представляется некоторым элементом а из Ношпг, (Ь(Х), М ): По построению, элемент Вп(и) получается следующим образом: гомоморфизм б 7. Ком«оз«чио«иве иреимеднше !з! а" Е Коптя (Ь„(Х), М ) поднимается до гомоморфизма Ь Е Ноп! (Ь.„Х),, М), и б" (и) есть класс морфизма ем «с, где с Е Ноя!я (Ь««! (Х), М') — гомоморфизм, дпя которого У«с=$)Ь«( — 1) Ь'"а«+! ° Имеем, следовательно, коммутативную диаграмму Ь.„(Х) — ""' Ь.(Х) 1- !у".~ ~ь '~~е 0 — ~. М' — ! . М вЂ” «М" ! О У е ! 1 1~«1«' О «М' " ' 1е(М')- 1г(М') .
Но в Ноптбгя (Ь(Х), 1(М')) имеем: 9(ие «Ь) = бе «ие «Ь вЂ” ( — 1) ие «Ь «Д„«! = о «а" + е, «с. ! «+! Классы морфизмов ем «с и ( — и ) «а в Ехтя (Х, М ), следовательно, равны, откуда получаем а) . б) Рассмотрим коммутативную диаграмму Ь,(М«) ' Ьа(М") '- М" О ~~«- у е 0 — ' М' —: — «М — «М" — ' О.
По определению, В есть класс морфизма — и! Е Ноптбгя! (1.(М '), М'). С другой сторо- ны, и Е Ехтя (М', Х) представляется некоторым злементам а нз Ноптягя (М', 1(Х)) . По построению, злемент б "(и) получается следуюпгим образом: продолжаем гомомор- физм а" Е Нолт, (М', 1" (Х)) до гомоморфизма ЬЕ Нол!я(М, 1" (Х)), и б" (а) есть класс морфизма с «р „где с Е Ноп!ь (М", 1"" (М)) — гомоморфизм, для которого е«с =ПЬ=б" +! И меем, следовательно, коммутативную диаграмму: Ь,(М") ~ Ье(М«) ~ М" 0 «,~ ««~ ~!«. у е 0 — ~М' — -! М вЂ” «М" — «- 0 Ь~ «~ 1"(Х) — «1" + !(Х) . Но в Нопьбгя (Ь(М '), 1(Х)) имеем: гз(Ь«ие)=б" «Ь«ие — ( — 1) Ь«ие«!т! =с«р „— ( — 1) а" «и!. Классы морфизмов с«р„, и ( — 1) "~'а" «( — и,) в Ехт, (М', Х), следовательно, равны, откуда получаем б) .
С л е д с т в и е 1. а) Связывающий гомоморЯизм Ноп! я (М ', М ") «Ехт' (М", М ) отображает 1 и, иа В. б) Связывающий гомомор!Визм Нолт«(М', М') - Ехтя(М ', М') отобразсает 1м аа -В. з« 132 1 7. Комноеецеонное нронзведенне Сл е д'с тв и е 2. гпссмотрим две точные лоследовательносш левых А-модулей: О»М'» М» М" » О, О» Х' -ь Х» Х" - О. Композиции связывающих гомоморфизмов Ехт (М'; Х") - Ехт, (М", Х") - Ехг, (М', Х ) Ех1е (М',Х") . Ехг (М', Х')»' Ехтл (М".
Х'). лротивололожиы друг другу. Действительно, если Вг, Вз — классы, ассоциированные с данными точными последовательностями, и если аЕ Ехт,(М',Хн), то образы а равны соответственно Вт ь (( — 1) "+ а е В, ) и (Вт е а) е ((-1) "+З В, ), Рассмотрим точную последовательность левых А-модулей ун Гн -1 д ($)о- х к„- к„,— +...-к, м О и положим Ке = М, К; = Кег ф 1 = 1,..., и — 1, К„= Х. Имеем, таким образом, точные последовательности; о к к к; , о, (9) которым для всякого левого А-модуля Р соответствуют связывающие гомоморфнз- мы: Ехг (Р, К1 1) Ехтя (Р, К1), Е1„(К,, Р) Ет (К,, Р), откуда посредством композиции получаем итерироваииые связывающие гомоморфиз- мы, ассоциированные с точной последовательностью ($): Ь (Р, $): Ехт (Р, М) Ехт (Р, Х), Ь ($, Р): Ех1я (Х, Р)» Ех1,, (М, Р1. С л е д с т в и е 3.
Если 0 Е Ехт А (М, Х) — класс точной последовательности ( $ ), то с'"(Р, $)(а)=де а, бы($,Р)(В) ( — 1) " Ве В, Если 01 й Ехт' (К,, К,) — класс, ассоциированный с точной последовательностью (9), то, согласно предложению 5, имеем: Вю(Р, $)(а) = В„. Вз В1 а, 0 ($,Р)(0)м(-1)' "' -' '"'0.0„°...
В . Кроме того, согласно предложению 3 (с. 125), имеем, что 0 = В„е ... е В,. Следствие непосредственно вытекает отсюда и нз соотношения (Е, 111, р. 44) и (и +1) (гл + 1) +... + (гл + н) = тли + 2 Следствие 4. Если каждый модуль Кв 1= 1,..., и, ииьекшвен (соответственно нроективеи), то отображение а 0 е а (соответственно а а е В) из Ехтя (Р, М) в Ехт (Р, Х) (соответственно из Ехал (Х, Р) в Ехт, (М, Р)) биективно длн всякого А-модуля Р и всякого н1 > О.
Действительно, зто вытекает из следствия 3 н из точных последовательностей Ех1А (Р,К;)» Ех1я (Р,К1 1)-ьЕхт„(Р,Кг)» Ехал+ (Р,Кг), )ЗЗ 3 7. Композиционное произ«еде«не (соответственно Ехг (Кг, Р) - Ехг (Кл Р):+ Ехг, (К,, Р) Ехг,, (кг, Р)) крайние члены которых нулевые по предположению. 3 а ме ч ание. Определения и предложения из п. 3-6 применимы к правым А-модулям, рассматриваемым как левые модули над кольцом А', противоположным А. 1. Гомоморфнзм Ех(А (Р, 0) е Тот (Р, М) .+ Тот (О, М) Пусть М вЂ” левый А-модуль, Р и 0 — два правых А-модуля. Рассмотрим гомоморфизм НопФгА(Е(Р), Ь(0)) е» (1.(Р) еА 1.(М)) о Е(0) ел Ь(М); который элементу те (х еу) сопоставляет у(х) е у. Согласно сказанному на с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
