Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Следовательно, имеем равенства: фн(Р К) о йв -- Н„(рр ей) о Нн(ор е 1) ~ о Нн(1р, и) о Нн+л(рр, 1) = = Нн(1р е (й о и)) о Нн+л(рр 1) = Нн+л(1р е (но о б)) о Нн+л(рр 1) = = Нн+л(рр е (чо р)) = Нн+л(1 е !в) о Нн+ (рр о й) = Нн+н(1 е р) о Фн+л(Р, Ко) откуда следует утвержцение а); доказательство утверждения б) аналогично. 3 а м е ч а н и е. С помощью изоморфизмов коммутирования из а) выводится аналогичное утверждение в случае точной порледовательности (1б) правых А-модулей. Пусть теперь о: М' -+ Е ' — правая резольвента лля М'; 'имеем, таким образом, точную последовательность ьо 0 — + М' -+ Е'е — о Е'' -+ ...
-о Екя -+ Е'"+е -+ нз которой получаем точную последовательность У !)лье ( )лво о и к К, к, к' к'' соответствующую правой резольвенте Е.для М; обозначим через а: Е'(и) -+Е морфизм, для которого он = 1, н л при й л и. Имеем, следовательно, гомоморфизм Н(Нолтягя(1н, о)): Н(Ноптягк(Н, Е ))(и) -+ Н(Ноптягк(1Ч, Е)). !Зй б 7. Композиционное ироизаеоеиие П р е дп о ж е н н е 9. Следующая диаграмма, в которой Ув(о) ( — 1) "(" !)!20 с о, коммутативпа: н'!н э..ш, ° Э '" *'"'" н'"[н, э,„ш эз вхм.
е)~ ~е~+'(Н, Е) Ех('„(Х, М') Ех(ачи (Х, М), Это доказывается аналогично предложению 8. Упражнения 1. Пусть !с — коммутативиое колько, А — Унитарная ассопнатнвная Ь-алгебра. М вЂ” (А, А)-бнмодуль. Расширеиием алгеб!иа А посредством М называется задание унитарной ассоилативной Ь-алгчбры В и точной последовательности Р (й) 0 М В А О, где р — гомоморфизм алгебр и где ((Р(Ыт) =Ь!(т) н Итр(ЬИ=!(т)Ь лля ЬоВ, то М.
р 1 Пва расширения 0 М В А 0 и О М В' А 0 называются экаиаааеигиыми, если существует гомоморфизм алгебр и В В', дпя которого Р и "- Р и и ! = и',' такой гомоморфизм и всегда биективеп. 1 а) Предположим, что точная последовательность Ь-модулей 0 М В -~ А 0 Расщепляема; пусть г: А  — Ь-линейное сечение отображмпш Р. Показать, что существует элемент у и С'(А, М) (с. 119,упражнепне2б,б)), длп которого э(а)г(а') '— з(аа') '= ((!" (а, а'.)) длп а, а', и' А. Показать, что 7' — 2-копнкл п чъг его класс в Н' (А, М) ие зависит от выбора г; ои обозначаетсн через с(й ). б) Пусть Ехэ(А, М) — множество классов эквивэлентиоспг расширений алгебры А посредством М, которые тривиальны как расширении Ь-модулей.
Показэть, что с определяет биекдию миожесгваЕхэ(А, М) на Н' (А, М). Г Р Р и' в) Пусть (й): 0 М В А О и (д'): 0 М В' А 0 — два расширения элгебрм А посредством М. Обозначим через С подэлгебру в В х В', образованную элементами (Ь, Ь'), длп которых р(Ы = Р'(Ь'); пусть С вЂ” идеал в С, образованный элементами (((т), — р (т)), где т и М, В" — алгебра С/С, и: С В" -"гомоморфнзм перехода к факторапгебре.
Пусты'": М В" к р": В" А — гомоморфизмы, при которых !"(т) и((т, 0)) для ми М и Р"иПЬ,Ь'))" Р(Ы для Ь и В, Ь'о В'. Показать, что последовательность 0 М В" А 0 представляет собой расширение алгебры А посредством М, называемое суммой расширений (й) и (д'), и что таким способом определяется закон коммутативной группы на множестве классов эквивалпгшости расширений алгебры А посредством М.
В частности, множество Ехэ(А, М) наделяется при этом структурой труппы, и отображение с оказывается изоморфизмом групп. 2. Предположим, что Ь-алгебра А обладает лололиеиием и: А Ь (с. 120,упражнение 27) и что, кроме того, А — проективный Ь.модуль. Обозначим через 1 ядро и.
Пусть М вЂ” левый А-модуль ! а) Пусть (д): 0 М(и) В А 0 — расширение алгебры А посредством (А, А)-бимодуля В (с. 120, упражнение 27); обозначим через в идеал в В, обраэовэниьщ элементами ь ы В, дпп которых Р(Ы ы 1. Имеем ! (т) Ь = 0 для т и М и Ь и В, так что В наделпегся структурой левого А-модуля, относительно которой Р(Р) Ь = РЬ для Е и В, Ь н В. Покшать, что существует точная последовательность А-модулей 0 М В ! 0; обозначим через в(п) класс этой точной последовательности в Ех! А(1. М).
б) Показать, что а определяет отображеяне мнохгества Еха (А, М(и) ) в Ех гА(1, М) Показать коммугативность диаграммы Ехг (А, М,е) Ехг„'(1. М) Н' (А, М...) Ехгх (Ь, М), где 6 — связывающий гомоморфизм, соответствующий точной последовательности 0 1 А Ь О, й 7.
Комназияиоииое ироизеедеиие а !из — нэоморфнэм, получаемый нз вычнспеши с помощью стандартной резопьвенты (с. 120, упражнение 27, б) ) . Вывести отсюда, что е — нзоморфнзм групп. З,ПустьС вЂ” группа,А — апгебрай,/: С А — каноннческоеввоженне. Наделим апгебру А <С) попопненнем е: А Е, определяемым условием: и(ея) ! Дпя всякого я Ц С. Пусть М вЂ” певьщ А-модупь.
< р а) Пусть 0 М<„) В А 0 — расширениеапгебрыА посредством,(А, А)-бнмодупя М< ) (с. 120, упражнение 27) . Обозначим через Г подмножество в В, образованное эпементамн Ь 0 В, дпя которых р(Ь) щ/(С). Показать, что множества Г, надепеиное умножением, нндуцнрованным умножением в В, дредставпяет собой группу, явпшощуюся расширением группы С посредством С-модуля М. б) Предыдущее построение определяетотображение групды Гхт(А, М(„)) в Ех(С, М) (ЧП1, 113). Показать, что диаграмма Еле (А.
Мо) Е" (С. М) Н'(А, М,и) Н'(С,'М) коммутатнвна, е 4. Пусть й -/с-апгебраЛи, М вЂ” й -модуль. Расширением й посредством М назьвается точная р последовательность Ь-модупей 0 . М [) й О, где [) — Ь.апгчбра Ли, р — гомоморфнзм апгебр Лнн <(р(Н)т) = [Н, <(и)] пдя Н ы[), и цМ. Два расширения.
< О М [)' й О ! р 0-М - ф- Ф-О, называются эквивзпентнымк, если существует гомоморфнзм и: р В', дпя которого р л и р, и ° / = К. Обозначим через ]йех ( Ю, М) множество классов эквивапентнастн расширений й посред. стесм М. Предпопожкм, что й — свободный й.модупь. < а) Пусь (д): 0 М [) Ю 0 — некоторое расширение й посредспюм М; выберем Иинейное сечение г; Ф б ппя отображения р. Определим элемент/'ы С'(й, М) (с. 121, упражнение 20, б) ), положив <(7(х,у)) = ]з(х).э<у)] - з([х, у)] пдя х, уы й. Показать, что 7 есть 2 коцнкп и что его класс в Н'( Ю, М) не зависит от выбора з; онобозначается через г(д).
б) Показать, что т опредепяет биекцню множества 1Лех( Ф, М) на Н*( б, М). Пать прямое описание структуры группы на 1.1ех< й, М), получаемой переносом структуры на Н'( $, М) посредством т. в) Пусть <) — обертывающая алгебра алгебры Лн Ю, /: 9 .л Б — каноническое вложение, М(„)— <О, <<)-бнмодупь, ассоциированный с М с помощью попопнення е: Е) й,опредепяелюгоусяовием: и(/(х)) 0 дпя всякого х ы й (с.
120. Упрюкненне 27). Пусть 0-л М<„) В С 0 — некоторое Р расширение алгебры С посредством М <„) (упражнение 1); обозначил! через Ь множество эпементов Ь ш В, дпя которых р(Ь) щ /(б ) . Показать, что Ь вЂ” й-апгебра Лн, являющаяся расширением й посредством М.
Эта конструкция определяет отображение Л. Ехх(О, М<е)) Е1ех(й, М). Показать, что днаграмма Егл(Е<, М„,) -~- !.!ех (й, М) Г' Н'(Е), М,а) Н'(В, М) (гпе р' — нзоморфнзм, опредепенный в упражнение 27, с. 120), коммутативнв Вывести отсюда, что х — иэоморфизм., << 5. Пусть Р, С вЂ” две группы. а) Лпя всякого расширения ц: Г Е С группы С посредством р (1, р. 62) действие Е на 1' посредством внутренних автоморфнзмов опредепяет гомоморфнзм Е Аш(Е), откуда путем перехода к факторгруппам получаем гомоморфнзм групп Ь: С Аа<(Г)/1п<(р), называемьщ гомо- морфнзмом, ассоциированным с расширением (й). Лва нзоморфных расширения С посредством Г имеют олин н тот же ассоциированный гомоморфнзм.
б) Обратнс„рассмотрим гомоморфнзм групп е; С Аж(р) /1п<(р) . Обозначим через р: Ащ (Г) Ан<(Г)/1п<(Г) отображение перехода к факторгрупце. Выберем отображение а нз С в Ащ(р), дпя которопз р л а = д, и отображение унэ С х С в!ш(р), пдя которого а(х) о(у)(а(ху)) ' = 1п<<7<х, у)) дпя (»О Ь 7.Комлозиииоллоа лроизведеииа х,упС; поло1кнм с(х,у,з) =а(х)(у(у,г)) /(х, уг). щху, г)) ' .
(у(х,у)) '. Показать, что с(х, у, е) ппанадлелжт центру 2 группы Г. в) Будем рассматпгвать группу 2 как С-модуль, положив К з = а(К) (г) Дня а Ц С, хи 2; зто определение не зависит от выбора о. Отображение с определяет элемент иэ С'(С, 2); показать, что с есть 3-копнил и что его класс в Н'(С, 2) не зависит от выбора а и /'. Он обозначается чер (С,Г 9).
г) Показать, что обращение в нуль класса иэ(С, Г, 9) представляет собой необходньюе и достаточное условие дпя сущестаоваиия расширения группы С посредством Г, имеющего 9 в качестве ассоциированного гомоморфизма (если ы(С, Г, 9) " О, то показать, что можно выбратьу так, чтобы коцикл с был нулевои, затем определить групповой закон на С х Г). д) Предполоэшм, что ш(С, Г, 9) = О.
Показап„что множество классов относительно изоморфизма расширений группы С посредством Г с ассоциированным гомоморфиэмом 9 представляет собой Пгавлае ОДНОРодное множество нед 1Руппой Н' (С, 2). е) Пусть Н вЂ” группа, М вЂ” 2 -модуль, х — элемент из Н (Н, М). Показатц что существуют (Н) Э группа Е с центром М и гомоморфизм а: Н Аи1(Е)/(пг(Е), индуцнрующнй на М заданную структуру Н-модуля, дия которых ш(Н, Е, 9) = х (взять Е э М х Е, где Š— свободная группа, построенная иа Н х Н) . 6. Пусть М вЂ” правый А-модуль, Х вЂ” левый А-модуль. Для л > О обозначим через ал(М, Н) мио1кество троек (Р, р, 9), где Р— комплекс свободных А-модулеи конечного типа, в котором Р„= О п(ж г < О и г > л, и где р: Р Хна: Р М(л) — морфиэмы Акомплексов (череэр' обозначается комплекс Ношзгл(Р, А) ) . 1(ва элемента (Р, р, а) и (Р', р', а') из Кл(М, Н) иазьююотсн свлзаииыми, если существует морфизм и: Р Р', лля которопз р = р' и и а' = а и; обозначим крез с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
