Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Дать аналогичное выражение для я-модулей Н,( О,М). (Использовать упражнение 21, с. 70.) в) Предположим, что днп» (й ) =л < . Показать, что НР( й, М) =0 дгщ всякого Рв в+1 и всякого й-модуля М и что существует В.модуль Ы для которого Н "( В, Н) зе 0 (взать Н Л"й, где р действует по формуле л х (х л...лх,) г х л...лх» »л[х х»[лх»»1л...лхл1 1 показать,чтоау ОдлявсякогогоС~ ( й,н)). г) Присоединенное представление алгебры Ли й и представление й на М определяют представление Е алгебры Ли й в С ( й, М) „при котором Р (а(х)7)(х,,...,хр) х У(Х„...,ХР) — Е у(хз .
[х х(1 ХР) для г н ср( 8, м), х, х„...,хрн й . показать, что е (х) для всякого хо й представляет собой гомотопный нулю зндоморфнзм комплекса С( й, М) (определить гомотопию 1(х), положив (» (х) У) (х,,.... хр) =1 (х, Х,,..., «Р) ). ч $ "29. Сохраняем обозначения из предыдущего упрювненив; предположюч. кроме того, что /с— поле характеристики нуль и что алгебра Ли й лолулроста (Ь1Е, 1, 8 6; Группы и алгебры Ли, 1, с. 64) . Пуси М вЂ” й модуль конечной размерности иад К а) Если й .модуль М прост и нетривнален, то НР(В,М) 0 для всех Р) 0 (билинейная форма на й, ассоциированная с М, невырождена (1.1Е, 1, 6 6, и' 1, ртор.
1; Группы и алгебры Ли, 1, с. 65, предложение 1); заметить, что умножение на соответствующий элемент Казевира (Ь!Е, 1, 6 3, и' 7; ГрУппы и алгебры Ли,1, с. 47) нулевое в й и биективно в М). б) Показать,что Н' (В,М) = Одля всякого М (использовать пункта) и тот факт,что й й) й ). Обратно, 1-алгебра Ли $ (конечной рюмерности), нац которой для всякого модула М конечной размерности Н' ( 8, М) = О, полупроста.
в) наделим, я структурой й -модуля, соответствующей тривиальному представлению. показать, что лля всякого Р в 0 векторное «-пространство нР( й, М изоморфно векторному надпространству в СР( й, й) образованному теми кососнмметрнческими рлинейными формами 1", которМе инвариантны, т.е, таковы, что Р 2' у(х,,..., [х, х»[,..., хр) = 0 для всех х, х,,..., хр о й'. Г-"1 (Вывести из полупростоты представлений алгебры Ли й и из упражнения 28, г), что пространство Н» ( й, я) юоморфно НР(С,( й, В)), где С, ( й, /с) — подкомплекс в С( й, 1) аннулируемый всеми зндоморфюмами Е (х) для хо й; затем показать, что С, ( й,/с) имеет нулевой дифференциал) . г) Вывести из пункта в).
что Нз ( й, М) = 0 для всякого й -модуля М конечной размерности нвц И (Показать, что всякая янаариантнэя билинейная форма на й — симметрическая, сведя рассмотрение к случаю, когда алгебра Ли й простая и поле к алгебранчески замкнуто.) ° Ф 7. КОМПОЗИЦИОННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ Сохраняются дбн»ие соглашения из 8 4. 1.Гомоморфизм Ехт ([Ч,Р) оЕх1 (М,[Ч)- Ехт (М,Р) Пусть М и Х вЂ” двв левых А-модуля. Рассмотрим гомологизмы рм. 1.
(М) — М, е м. М ~1(М) и ем с рм. .Ь(М) -+1(М); согласно предложению 4, с. 92, отсюда получаем биективный гомоморфизм ам,н: Н(НОЕВ»л(ем рм, 1)): Н(Нояб»я(!(М),1(Х))- Ех1„(М, Н). 1 7. Композиционное произведение 122 Напомним, кроме того (с. 88), что Н"(Нотйг(1(М),1(Х)) представляет собой множество гомотопических классов морфизмов верхней степени и комплекса 1(М) в комплекс 1(Х) . Например, если 7 Е Нопэд (М, Х), то гомотопический класс морфизма 1(7) переводится отображением ам, и в 7'. Если Р— третий левый А-модуль, то согласно изложенному на с.
100, имеем канонический й-гомоморфизм Н(Ною йг д (1(Х), 1(Р)) на Н(Нощйгд (1(М), 1(Х)) ~ Н(Нощйгд (1 (М), 1(Р)), из которого получаем с помощью изоморфизмов аи р, ам н ам р 7г-гомоморфизм (гомоморфизм комяозиции) см н р. Ехгд (А, Р) ва Ехтх (М, Х) -+ Ехтд (М, Р). Он соответствует 7обилинейному отображению Ехтх (Х, Р) Х Ехт д (М, Х) -+ Ехтя (М, Р), (1) которое разлагается на однородные компоненты Ехт' (Х, Р) Х Ехтэ (М, Х)-+ Цхт,~+э(М, Р). (2) Если и Е Ехтх (Х, Р), и Е Ехтд (М, Х), то образ пары (и, и) лри отображении (1) назы- вается композиционным произведением элементов и и и и обозначается через ио и.
Если й (соответственно ~) - — морфизм комплексов верхней степени ) (соответствен- но 1) из 1(М) в 1(Х) (соответственно нз 1(Х) в 1(Р)) и я (соответственно 7" ) — его гомотопический класс, то композиционное произведение ан р(Г ) о ам,н(а ) пред- ставляет собой образ при изоморфизме ам р гомотопического класса морфизма 7'о К из 1(М) в 1(Р) .
П р и м е р 1. Если и Е Нота (Х, Р), и Е Нот(М, Х), то и о о есть композиция го- моморфизмов и и о. П р и м е р 2. Если и Е Ноях (Х, Р), о Е Ехтд(М, Х), то и о и = Ехгх (1м, и) (о) Е Ехтд (М, Р). Аналогично, если и Е Ехтя (Х, Р), ц Е Нота(М, Х), то и о о = Ехэя (о, 1р)(и) Е Ехтя(М, Р). Это следует из определений и замечаний на с. 94. Если О, М, Х, Р— четыре левых А-модуля и если иЕЕхтд(Х,Р), иЕЕхтд(М,Х), и ЕЕхтд(0, М), то (ид и) о и =ио (о о ю): композиционное произведение ассоциативно; поэтому мы будем обозначать композиции нескольких элементов без скобок. В частности, согласно примеру 2: 'П ример 3.
Пусть М, Х, М',Х' — четыре левых А-модуля. Если иЕЕхтд(М,Х), 7 Е Ногах(М',М),КЕ Нопэд(Х, Х'),то Ехгх (7', л) (и) = я о и д 7 е Ехгх (М', Х '). (3) Это дает новое доказательство й-билинейности отображения КК) ~+Ехтд (У',8) (с. 94, предложение 6) . 2. Семь вычислений композиционного произведения Пусть М,М и М" — три левых А-модуля, а: Е~М, а': К'-эМ' н а": Вэ-эМ"— проективные резольвенты, с: М.+Е, с': М' — Е' и с": М"-+Е" — инъективные резольвенты. Из теоремы 1, с. 103, и предложения 2, с.
105, следует, что диаграмма: Н(Ношйгд (М, Е')) — — э Н(Нотйгд (Е, Е')) -ч — Н(Ноптйгд (Н, М')) 1 -"эоэ (ее" юз-' 1 эдц ез, ыа, хз Н(Ноэпйгд (Е, Е )) —: — ~ Ехгд(М, М')~ — -' — Н(Нопэйгд (К, В')), в которой необозначенные гомоморфизмы канонически получаются из с, а, с', а', ком- ! 7. Ком«о««чная«ое произведение мутативна и что все стрелки в ней представляют собой изоморфизмы, дающие пять описаний модуля Ехтя (М, М') . Аналогично получаем пить описаний для Ехтя (М', М ), и столько же для Ех1А (М, М«) . Рассмотрим теперь семь гомоморфнзмов композиции Н(Нотйгя(С', С«)) вч Н(Нощйгя(С, С')). Н(Нотйгя(С, С")), где в качестве (С, С', С" ) последовательно берутся семь троек (К, К', К«), (К, К,М ), (К, К ', Е" ), (К, М', Е" ), (К, Е', Е" ), (М, Е', Е" ), (Е, Е', Е" ): К вЂ” - К' — «- К" М' М" Отождествляя Н(Нотйгя(С, С')) с Ехт(М, М') посредством соответствующего изоморфизма из указанных выше, и аналогично для Н(Ношйгя (С, С ') ) и Н(Нопщгя (С, С )), получаем семь гомоморфизмов Йхья(М',М") вь Ехтя(М,М')- Ехтя(М,М«), Эти семь гомоморфизмов совпадают н не зависят от выбора резольвент.
В частности, они совпадают с гомоморфнзмом, определенным в п. 2 посредством тройки (1(М), 1(М '), 1(М «)). Действительно, это следует из интерпретации модулей Н" (Нотйгя (С,С')) как модулей гомотопических классов морфизмов комплексов из С в С и из того факта, что если в диграмме комплексов С вЂ” С' -т С" «~ «'~ «"~ морфизм о «.е гомотопен я, «а и а' «Т гомотопен Т, «а, то а «я «Т гомотопен я~ «У, «а (с. 38, предложение 4 и следствие) . В дальнейшем мы будем использовать в зависимости от обстоятельств ту нли иную нз семи предыдущих конструкций гомоморфизмов композиции. 3.
Класс, ассоциированный с точной последовательностью Предложение 1. Пусть (С, г!')и (С',Ы') — два комплекса левых А-модулей и п,р, д — три целых числа, причем р> д. Для рЭ ! > ц — 1 пусть у!. С! -'С,+„+, гомоморфизм А-модулей, для которого Та «Ы = О, Г', «Ы =д'«Тг+г при р>! > Π— 1 ид'.Г,, =О: г г г г г г Сг~, С вЂ” ~ С,— ~~.... -~ С «С,— ~ С Ср««тСг+««$С«««~С««««~«С««С« Положим а=ур, «Ы=г! «Тр б=Яч, «д=д «Тч, и пусть а (соответственно Ь)— градуированный А-гомоморфизм степени и иэ С в С', единственная ненулевая биоднородная компонента которого есть а (соответственно б) .
Тогда а Е Хя(Нощйгя (С,С )), Ь Е Х „(Нотйгя (С, С ) ) и а — (-1) !"+ ~ ! !а ч~ Ь Е В „(Нотйгя (С, С ' ) ) . Имеем:с!'«а а'«д'«Тр = О,а«д«Тр, «д«д«О, следовательно, а Е Х„(Ношйгя (С, С')); аналогично, Ь Е Е„(Нощйгя (С, С' )). Положим е = ( — 1) "+'. В комплексе Нотйгя (С, С ) а 7. Композиционное произвеаеиие 1?4 имеют место соотиошеиия: !Эу з а оу ч — еу 1»езиу э»а — еи, (зт)=с!»у! — еЯ~»11 )1 1 ас( — е/1»а (17 — 1)1)д), 1зтч = а' а з — ез' а а = !1 — аз' а д, следовательно, о — ч г е').Чп ! = ез' 1 !1 — й, 1= 1 что доказывает предложение.
Рассмотрим два левых А-модуля М и Х и точную последовательность А-модуяей 0 Х-К„В„, В, М О. (4) Согласно предложеииям 3 и 3 Ь!ь, с. 55 — 56, существует коммутативиая диаграмма 0 Х " 1о(Х) ... 1" '(Х) 1 "(Х) 1" + '(Х) .1,'"1 "- 1 Л 1 0 — з Х 7~ — и ̈́— ...— ».Н1 — э~-~М вЂ” ' 0 1 ~».„,(М) 1.„(М) 4~ 1.„,(М) ..., 1.о(М) М 0 . е. " '" А Р» Рассмотрим два элемента Ь и а из Нотйгя(Е(М), !(Х)), единственными ненуле- выми биодиородиыми компонентами которых служат Ь" = ем» и, 1,»(М)-»1 (Х) и а» = о» а рм,' (о(М)-+ 1»(Х) соответственно.
П седло же и и е 2. Имеем а, ЬЕ Х»(Ноглягл(1.(М),1(Х)). Кроме того, классы а и Ь элементов а и Ь в Н" (Нотйгя (Е(М), 1(Х)) = Ехт" (М, Х) зависят только от точной последовательности (4) и равны межд> собой. согласно предложеиию 1, примененному к двум крайним строкам диаграммы (5) и композициям вертикальных стрелок для р=н,а = О,имеем; а, Ь Е 7 "(Нотйгл (Е (М) „ 1(Х)) и а — Ь =а — ( — 1)!»")и Ь Е В" (Ногпяг„(1.(М), (1(Х))). Так как а (соотвегствеиио Ь) ие зависит от выбора и (соответствеиио и), то эле- ментаа =Ь из Ехт" (М,Х) ие зависит от выбора морфизмовиив,чтодоказываетпред- ложеиие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
