Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Упражнемне 12) . в) Пусть Н вЂ” подгруппа группы О, с: Н -сб — каноническое вложение. Для всякого Х ( )-модуля "» М и всякого рационального целого числа» определим гомоморфизмы ! Мс-Й»(0, М) Н»(Н, М) и х с: Н (Н, М) Н (С, М) (обозначаемые просто через (» и с». если нет неясности относительно М) ас' следующим образом: для» л ! положим !» = !» и с» = с» (упражнения 10 и !4); длл» < — 2 положим (» Е» ! и с» = !» с, наконец, определим!а и!' (соответственна! ' и! ') посредством перехода кбюктормадулям (соответственно подмодуллм) исходя из см и с' (соответственно с, и (,). Наказать, что с» !» = л .
14 для всякого» ц Е, где и — индекс Н в 6. Вывести отсюла, что группы Н» (С, М) аннулируются порядком группы О (ср. Упрюкнение 6, с. 114) . г) В обозначениях из пункта в) показать, что (»" ,° а»(б,й) = а» (К,й) ° !». н г»„. ° а» (Н,й) - а» (О,ц) ° с ллв всякого»ц Е. д) Пусть р — простое число и Н вЂ” сиповская рчсодгруппа (1, р. 74) группы С. Показать, что ядром гомомарфизма !»: Н»(6, М) Н»(Н, М) служитсумма(-примерна!э компонент Еччодуля Н (О, М) для ! Ф р. В частности, если для всякого простого числа р выбрана некоторая сиповская рподгрупсса Н вС, то отображение Н»(0, М) ПН»(Н, М), получаемое иэ гомомарфизмов (», ннъективно.
и и 18. Пусть С вЂ” конечмая группа и М - Е '-модуль. М называется когомолоеимскл грееыель- (6) лым,если длявслкой подгруппы Н в О и для всякого» ц Е группа Й»(Н, М) нулевая. а) Показать, что Х .модуль, праективный относительно Х (в частности, индуцированный ма!С) дунь,см.упражнение 12),иагомологически тривиален. б) Пусть и, г, й — три целых числа, причем ал — 1 делится на г; пусть С вЂ” циклическая группа порядка л, е — порождающий группы С. Наделим Е.модуль М Е/гЕ ссбп ктурой Е -модуля, (с) определяемой условием, чта ат = йш для всякого ты М, Показать, что Е .модуль М проектиаеи относительно Е, если и только если числа и и г взаимно просты.
5 6. Нслояьэоеанне неканонических реэолееенг 117 в) В обозначениях из пункта б) показать, что для того чтобы Йд (С, М) = О при всяком д б Х, необходимо и достаточно, чтобы Оч /г — 1) (г, 1+8+... +Вн ) =г. Вчастностн.еспнг =йл — 1.то показать, что модуль М когомологическн тривиален. г) Получить иэ пунктов 6) и в) пример когомологнчески тривиального Е .модуля, не явлюо- (С) щегося проективным относительно Е, н Е ( ) модуля М, для которого Йд(С, М) = 0 ири всяком д ы Е, но ие являющегося когомовогически тривиальным. % 19.
Пусть р — простое число, С вЂ” ргруппа, М вЂ” Е модуль. Положим А = Р (С) ' (С) а) Предположим, что рМ = О. Показать, что следующие условия эквивалентны: о) Существует рапиоиальное пелое число д. для которого Нд(С, М) = О. й) Модуль М когомопогнчески тривиален (упражнение 18) . т) М вЂ” индупнровэнный Е (С) .мод)'ль. Ь) А-модуль М свободен. (Чтобм доказать, что из о) следует 6), свести утверждение к случаю д = — 2; показать, что тогда Тот (Рр М) 0 и закончить доказательство с помощью упрюкненпя 4, с. 86, и упражнения 22 из ТП(, 8 8).
б) Предпожхпнм, что в М умножеяие на р ннъективно. Показать, что следующие условия экви- валентны. " д+1 а) Существует делос число,для которого группы Нд(С,М)и Нд (С,М)нулевые. й) Модуль М когомологически тривиален. т) А-модуль м/рм свободен, д 20. Пусть С вЂ” конечнав группа, М вЂ” Е( ) модуль. а) Предположим, что Е-модуль М свободен. Показать, что Х модуль 'М проективен, если и (С) только если дпя всякой сиповской подгруппы Н с С Е ( ) модуль М когомологически тривиален. Яля доказательства достаточности условия рассмотреть реэольвенту О В Х М 0 Е (С)- модуля М,в которой Х вЂ” свободный Х ( ) чеодуль; показать, что Е ( ) модуль С = НоюЕ(М, В ) когомологически тривиален, заметив, что модуль ()/рС когомологически тривиален, и используя упражнение 19.
Вывести иэ упрюкнення 17, д), что Н' (С, (3) = 0 и отсюда сделать вывод, что мо- дуль М проективен.) б) Показать, гго следующие условия эквиналентны: а) Х .модуль М когомологически тривиален. (С) л) Х -модуль М обладает конечной проекгивной резольвентой. (С) т) Х -модуль М обладает проектнвиой резольвентой длины 1.
(С) (Чтобы доказать, что из о) следует т), рассмотреть точную последовательность О й !. М О. в которой 1 — свободный Е -модуль, и применить утверждение а) к В. (С) в) Предположим, что Х-модуль М делимый. Показать, что ЕОО)-модуль М когомологически тривиален, если и только если он инъективен (рассмотреп точную последовательность О М ! С О, в которой 1 — инъективный Е -модуль, н показать. используя утверждение 6), что гс) Х .модуль НртХ ((), М) когомологически тривиален) . (С) г) Для того чтобы Х (С)-модуль бьщ когомологнчески тривиален, необходимо н достаточно.
чтобы он обладал инъсктивной резольиентой длины 1. д 21. Пусть С вЂ” циклическая группа конечного порадка. э) Если М вЂ” Х ° -модуль и д — четное (соответственно нечетное) рапиональное лслое число, г С) го группа Нд(С. М) нзоморфна Н'(С, М) (соответственно Н'(С, М)) (ср. Упражнение 7), 6) Обозначим через ю' множество классов Е(С)-модулей Т, для которых группы Йд(С, Т) конечны при всех д б Е; если Х ( )-модуль М имеет тип Ж, то положим Ь (М) = Сагй (Н'(С, М))/Сагб(Н ' (С, М)). Пусть 0 М' М М" Π— точная последовательность Х(С)-модулей. Показать, что если два из модулей М', М, М" имеют тип Ф, то тем же свойством обладаег третий модуль, и тогда Ь (М) = 8(Ы')д(М") .
В частности функлня й определяет гомоморфизм группы Грозендика К(б) в мультнллнкативную группу !) . а) ПУсть М вЂ” конечный Е (С! -модуль. Показать, что тогда М имеет тнп жби й (М) = 1. г) Предположим, что порядок группы С вЂ” простое число р. Обозленны через Ю' множество классов Е ( )модулей, в которых умножение па р имеет конечное ядро и коадро; если М вЂ” модуль тяпа Ю', то положим П(М) = (эгб(Со(сстрм)/Саги(Ксгрм). Локазать, как н в пункте 6), что Н определяет гомоморфнзм группы КЯ') в П'. ц) Показать, чго группа К(%") пороэопсзся классамн Х(С)-модулей Т, обладиощнх олинм нз следующих свойств: (! ) Модуль Т = Е и наделен тривиальным пействнем группы С. (й) Модуль Т койечный.
(Н!) Умножение па р в Т биекгнвно. 118 б б. Нспольэовелие лекеиоличеслих резольеелг (ст) Т =Е (0). (т) Модуль Т =()е/Хр (см. ТС, ПЬ р. 84, ехегсюе 23; Общая топология, 1П, с. 115, упразснение 23) н наделен тривиальным действием группы О. (.1) Т=Х(0) еХ((2«/Х,К (Показать сначала, что всякий Е (С)модуль типа сК' представляется в )((зе') как сумма Е (О)- модуля конечного типа над Х н Х (О)-модуля, в котором умножение иа р сюръективио. Определить затем структуру простых модулей над кольцами Я(0) и (1(0) ). Р е) Вывести нз предыдущего, что Ж' пса и что, если М вЂ” Х (О)-модуль типа Ж', то Л(М) ( (М (С,М))) /п(М).
(Проверить формулу в шести случаях, рассматриваемых в пункте д),) 22. Пусть К вЂ” поле. 1. — конечное расширение Галуа поля К, 0 — его гр> ппа Галуа. а) Показать, что точная последовательность Х )-модулей (С) Ф хь х" *л 0 «„(1.) Ь вЂ” ч Ь 0 позволяет определить иэоморфиэм /сЬ. (Ь" о К )/К "-ь Н'(С, «„(Ь)). Когда « „(К) содермшт л элементов и группа Н'(О, «„(Ь)) отомдесгвлмется с Нош(С, «„(К)), показать, что ЛЬ совпадает с гомоморфнзмом, определенным в Ч, 5 11, л'8. б) Пусть р — простое число; предположим, что К имеет характеристику р. Покаэатгь что точнав последовательность модулей (Ч, р 11, л'9) О Р, Ь Р(Ь) О в позволяет определить пзоморфнэм аЬ, ( р(Ь) О К) /р(К) ~ Н' (С, р„), который совпадает с гомо.
морфкзмом, определенным в Ч, 5 11. и'9, если группа Н'(О, р ) отомдествлена с Нот(0, Р ). 23. Пусть С вЂ” группа, М вЂ” группа с операторами из 0 (1, р. 29, бй. 2; Алгебра, 1, с. 100, определение 10). Мы будем обозначать через ят композицию элементов я ы С и т ы М. Мы будем называть М Соруллой, если (ят) гт для т ы М, у, Л ц С, иначе говоря, если отображенме а »я»г группы С в Апс(М), при котором н(8) т / йтдляяш О, те м, представлметсабойгомомарй>изм. Если М вЂ” С-группа, то обозначим через Н'(С, М) подгруппу в М, образованную элементами т ы М, для которых ьт = т при всех г ы С, н через Е'(С, М) — множество отображений» группы 0 в М, для которых Л(уя)=Л(8)~Л(8) при 8,8'ШС. а) Пва элемента Л„НзыХ'(С,М) называютсл когомологичлыми, если существует элемент те М, длЯ котоРого Лз(8) =т с»с(8)гт пРн всяком 8 Ы С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
