Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Определение 1. Элемеит В из Ехт"„(М,Х) опредсляемый по формуле В = = ( — !)"!"+О! а = ( — 1)»("" 1 Ь, называется классом, ассоииированным с точной последовательностью (4) . Э а м е ч а н и я. 1. Пусть (Р, р) — проективиая резольвепта для М, Согласно предчо- жеиию 3, с, 55, существует коммутативиая диаграмма 0 — Х К„Н, М 0 ЄЄ,, Р М 0. В обозначениях из й 6, В есть образ при изоморфизме чз(Р, Х) гомотопического класса морфизма Р -»Х, определяемого отображением (-1) "1" ~'1!Эй„. Аналогично, если (е, Е) — илъективиая резольвеита для Х, то существует коммутативиая диаграмма 0 — Х вЂ” Ео — е- ... Е" ' — ~Е" 0 Х Н„...
К, М О, ! 7. Козоюзичионное лроизиедеиие и д есть образ при чз(М, Е) гомотопического класса морфизма М -+Е, определяемого отображением ( — 1) л(" '1/з ил. Это следует из конструкции класса д и определений изоморфизмов р(Р,Х) и р(М,Е). 2. Когда п=О, точная последовательность (4) принимает вид О~Х вЂ” М~О, и ассоциированный с ней класс представляет собой г ' Е Ноток(М, Х) = Ехгк~(М,Х). 4. Свойства класса, ассоциированного с точной последовательностью Предложение 3. Пусть 0- Р-+Б„, — Бю 1-... -+Б,-~ Х-+О, (6) и О Х вЂ” +Кл->Кл г,-+...-+Кг-ьМ О (7) — две точные последовательности левых А-модулей, которым соответствуют классы д Е Ех1 ~~(Х,Р) и д'Е Ехгь (М,Х).
Класс в Ех1ю+л(М,Р), ассоииированный с точной последовательностью и ° л 0-+Р-+ Бы -+...оБ, — Кл-+...-+К, -+М- О, (8) равен композивионному произведению д и д. Рассмотрим коммутативные диаграммы 0 — и Р— 1о(Р) — ... — !" '(Р) 1 (Р) 4 О Р Б ... Б, Х О, Π— Х вЂ” '" 1'(Х) ... Р- '(Х) — 1(Х) 4,-1 .4 и О Х К„... К, М 0 Так как модуль !ю (Р) инъективен, существует гомоморфизм Иь: 1 (Х) -ь! (Р), для которого и = Иь о е; согласно предложениюЗ Ьгь, с.56,Иь продолжается до мори' физма комплексов И: 1(Х) ь1(Р) (-т). Тогда го~ = Ио и е и Ио и оо и и, следои вательно, 6 о н =ър ьй=/1 ло о(дол) и следующая диаграмма коммутативна: О Р 1'(Р) ...
!"-'(Р) 1 (Р) 1 "(Р) „ 1 '"(Р) 4 р Б — „,— Б,—, ʄ— и.г где гь Ио и оо Ги ( 1)юйз и ог Гз = ( — 1)юг Из а оз, Гл ( 1)озлйло ил Класс д, ассоциированный с точной последовательностью (6), — зто класс отображения ( — 1) ~~+')/з ю Е Нолйгю(Х,1(Р)), следовательно, соответствует при изоморфиэмеап р классу морфизма (-1) (л+ )/~И Е Ноту (1(Х),!(Р)); класс д', ассоциированный с точной последовательностью (7), — зто класс отображения ' ( — 1) л "+ ' / ол Е Нотйг" (М,1(Х)); класс, ассоциированный с точной последовательностью (8), — это класс отображения ( — 1) (ю+л) гю+л+ 11/з гл е Нощйг ~я~(М,1(Р)), откуда следуе~ искомый вывод, согласно определению композиционного произведения (с.
122) и формуле т(т+ 1)/2+п(п+1)/2= (т+п)(т+ и+1)/2 — тп. й 7. Композиционное произведение 126 П р е дл о ж е н и е 4. Рассмотрим коммутативную диаграмму А-модулей сточными строками: О,Х К„К„, ... К, М О ~е ~ ~ ~ ~Г о х — к„к„, ... к; — м~о. Пусть В (соответственно В ) — класс первой (соответственно второй ) строки в Ехт" (М, Х) (соответственно Ехт"„(М', Х')). В Ехт" (М,Х') справедливо соотношение:В «)'ий«В„ Действительно, рассмотрим коммутативную диаграмму 1.„(М) — "а (.„ь(М) — а ... — ! Е (М) гаь М а 0 О Х К,— — К! — М вЂ” 0 о х' к.' " к; м о О ! Х' "а ° 10(Х ) ь „1« — ь(Х )ь 1«(Х ) По определению, В' «7 есть класс морфизма ( — 1) ".("+ И~ о" «Г«р Е Попьйг" (1(М)„ 1(Х )), тогда как В «В есть класс морфизма ( — ! ) и(и+!) ьз ен «а «и„. Согласно предложению 1, примененному к крайним строкам диаграммы, эти два класса равны.
Следствие 1. Рассмотрим коммутативную диаграмму с точными строками: 0 Х К„ ." К, М О О Х К„' " К; М 0; строки этой диаграммьь имеютодин и тот же ассоциированный класс в Ехтки(М, Х). С л едетв ие 2.Пусть !и+! ьн т! О Х вЂ” — К„ †-' К„ , - ... — К, — + М вЂ” 0 — точная последовательность, В е Ехт" (М, Х) — ассоциированный с ней класс, а,,... А ..., а„а ! Е)ь обратимы. Класс, ассоциированный с точной последовательностью ад+!!и+! анти аьга аьь! о а а " " а„ , ... а, и о, равен (а,'а,'...
а,,ь+,)В. Действительно, достаточно применить предложение к коммуьативной диаграмме ~а!., а„,, ~а! а, ~а,а! ~а! ~! о х "" к„— " — к — к,, м — о. У.. А! Л го+ ! Уи У! С л ед от в не 3. Пусть 0 ~ Х вЂ” Ки -а... ~ К, ~ М а Π— точнач после- довательность,  — ее классе Ех1" (М,Х), и: М' о М и гс Х - Х вЂ” два гомомор- А фиэма А-модулей. а) Элемент о ВЕЕхтин(М, Х') равен классу точной последовательности ,/и+!, Уа Уй- ! о х' к„' - к„— ...- к, м о, в которой К,', есть Афактормодуль модуля Ки в Х по подмодулю, образованному пара- 127 й 7. Композиционное ззроизведеиие ми (~„о ~(х), — о(х)) для х Е Х, а отображение Г'„о з (соответственно Г'„' ) получает- ся из канонического вложения (соогветственно из отображения (Г „0)) посредст- в ом перехода к фактормодулям.
б) Элемент 0 о и кЕхти(М', Х) равен классу точной последовательности Гз, Гз О Х Ки - ... К К',— М' О, в которой К', есть расслоенное произведение К, Хы М', хе. (1, р. 44) подмодуль в К, Х М', образованный парами (х, у), для которых ~~(х) = и(у), а отображение Гзо (соответственно Гз ) получается из (Гз, 0) (соответственно из проекции на второй множитель) .
Докажем, например, а). Пусть т — элемент из К„, для которого Ги(т) = 0; если т — класс пары (х, у), где х Е Ки, у Е Х, то Ги(х) = О, так что существует эле- мент г Е Х, для которого х = Гио,(г). Тогда т = Ги+з(у +и(г)), что доказывает равенство Кег)и = 1зп Гиоы Инъективность Гиоз следует из инъектнвности ~,ь,. Пусть Г: К„- ߄— гомоморфизм, получаемый из канонического вложения; имеем коммутативную диаграмму с точными строками; О Х "' Ко ' К„, М О Г. О Х' — ~ К„' ' К„, ... М 0; утверждение а) следует теперь из предложения.
Доказательство утверждения б) аналогично. 3 а м е ча.н и е. Пусть 0 ~ Ехтх(М, Х), соответственно 0' Е Ехь~к(М'„Х'), -класс некоторой точной последовательности Ги+ 1 о х к ... к, м о, , Ги+1 , Г,' соответственнд 0 — Х' — К,', — ... -+ К„' — М' -+ О. Пусть 1н, (н — канонические вложения модулей Х и Х' в Х е Х', аы, цм проекции модуляМ ем на М и М. рассмотрим гомоморфизм т = Ехь (з1м, 1н) е Ехт (ам „зн ) модуля Ех1А(М, Х) е Ехал(М', Х') в Ех1А(М е М', Х е Х'). Элемент т(0, 0) = (н о 0 о а + 1н о 0' о ц представляет собой класс точной последовательности Ги о 1 о Ги о 1 ГзоГ1 о - ° ° — о„ о„' - ...
- о, о', и и' - о. Действительно, если обозначить этот класс через В, то из предложения 4 будет следовать, что 0 о(ы = тпоВ = т(В 0)о1м и 0 озм = 1н'оВ = т(В 0)о!и согласно предложению 7, с. 94, это влечет, что В" = т(0, В'). 5. связь между точными последовательностями и элементами из ехтя(м, х) Т е о р е м а 1., Пусть п — целое число ~о 1, М и Х вЂ” два А-модуля. а) Всякий элемент из Ех~" (М, Х) представляет собой класс некоторой точной последовательности (с. 124, определение 1). б) Пусть Г Л о х — к — ...
к — м о Г( о х — +в'- ... к', м о й 7. Компот»час»ное краи э»еде»и е — две точные последовательности, д и В~ — ассоииированные классы. Следующие условия эквивалентны: (1) В»В'; (й) существует коммутативная диаграмма с точными строками: 0 Х~ К„... К,~АМ 0 4 о х — к„» ... к; м о 0 — ~- Х -"-~ К„' — ~-... — ~- К', -'~- М вЂ” ~-0; (111) существует коммутативнвл диаграмма с точными строками: о х~к„... к,~м о А. Л 1»~ 0 — » Х вЂ” ». 4,„ К'„'-» ...-~ к'1 — » М вЂ” ~ 0 ~т» К„' ...
К', -'ч- М О. что позволяет, согласно следствию 3, с. 126, представить а как класс некоторой точной последовательности. Докажем б). Из следствия 1 (с.126) вытекает, что (П) ~ (1) н (ш)»' (1). Предположим, что выполняется условие (1), и пусть Р— проективная резольвента для М.
Существует коммугатнвная диаграмма х —" к„к„, ... к, м о Л.~ А Р» Р-1 Р-з " Рс М- 0 /'. О Х~ К„' К„', ... К', М О. Морфизмы комплекса Р(н) в Х, определяемые отображениями и„н и,'„гомотопны, так как онн принадлежат одному н тому же классу ( — 1)"(""'11 д, следовательно, Р разность и„— и„,представима в виде зч» д„, где нч Р„, — Х вЂ” некоторый А-гомо- У Ф Ф морфнзм. Заменяя и„, на и„, — 2»»1» зч и и„на и„, мы сводим доказательство к случаю, когда и„= и„. Зто позволяет построить новую коммутатнвную диаграмму Докажем а). Пусть о Е Ехт~ (М, Х), н пусть Р— проектнвная резольвента для М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
