Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 34
Текст из файла (страница 34)
3 а м е ч а н и я 1. Используя изоьюрфизмы коммутирования, можно вывести из а) аналогичное утверждение, получаемое заменой ролей двух аргументов в тензорном произведении. 2. В обозначениях утверждения а) предположим; что либо резольвента Я ллоская, либо резольвенты К, К', К" плоские; тогда, с одной стороны, последовательность (3) точная (с.
79, следствие 2), н можно п1именять предложение 3; с другой стороны, отображение (Ь (Б, К') биективно (теорема 1), следовательно, д(Р, (2)) = Ф($, к') ' е д((3)) н (Ь (Я, к") . 3. В обозначениях утверждения б) предположим, что либо резольвента Е иньективна, либо резольвелты К, К', К" щюективны; тогда, с одной стороны, последовательность (4) точная (с. 89, предложение 2), н можно применять предложение 3: с другой сторо.
1 б. Использование нечечони еееких реэолееент ны, отображение )е(К', Е) биективно (теорема 1); следовательно, б((2), М) = )е(К", Е) с 8((4)) с ч»(К Е) '. Рассмотрим теперь коммутативную диаграмму О- Х' -~ 1Ч вЂ” Х" — »- 0 (5) с~ с~ с~ 0 — е- Е' — Š— Е" — 0 (6) в которой первая строка (5) — точная последовательность левых А-ьюдулей, вторая строка (6) — точная последовательность комплексов левых А-модулей и вертикальные стрелки обозначают правые резольвенты.
Рассуждая, как в предложении 3, ьюжно доказать следующее предложение: П ре дл о же мне 4.Пусть М вЂ” левый А-модуль, а а: К-+М вЂ” такая левая резольвента длл М, что последовательность О НотйгА(К, Е') ' Нотйг„(К, Е) "н ' ' Нотйгь(К, Е") О (7) точная. Тогда, следующая диаграмма коммугагивна: Н(Нощбгь (К, Е")) — 'с Н(Нотйгь(К, Е')) ч)а, в")~ ~ч)а, е') ° ч~м, ч') ' ес.~м,ч ). 3 а м е ч а н и я. 4. Если резольвента К проек пена или резольвенты Е, Е', Е" инъективны, то последовательность (7) точная (с. 89,предложение 2); кроме того, отображение р(К, Е" ) биектнвно (теорема 1); следовательно, б(М,(5)) =,р(К, Е') а((7)).
р(К, Е")-'. 5. Мы предоставляем читателю сформулировать и доказать предложения, аналогич. ные предложениям 3 и 4, относительно гомоморфизмов чс' и )е . 4. Конечность модулей распиреиий н кручения Пусть М вЂ” левый А-модуль, 1 — направленное предупорядоченное множество, (М), и))) — индуктивная система левых А-модулей относительно 1, М =1ппМ) — ее индуктивный предел, и;: М; -» М,)Е 1, — канонические отображения. Тогда (Ехтл (М, М~), Ехтл(1м, ид)) — индуктивная система /с.модулей и (Ехтл(1м, и))) — индуктивная система отображений, индуктивный предел которой представляет собой гомоморфизм градуированных й-модулей 1пп Ех)л(М, М;) -+ Ехтл(М,!Вп Мс), (8) называемый каноническим.
П р е д л о же н и е 5. Если кольцо А нетерово слева и если М вЂ” А модуль конечного типа, то канонический гомоморфизм (8) биекгивен. Действительно, пусть (с. 59, предложение 6) р: 1.-+М вЂ” свободная резольвента для М, в которой ܄— модуль конечного типа для каждого л. Канонический морфизм й-комплексов и: 1пп Нощйгл(Ь, Мг)-» Нощрл(Ь, |пп Ме) биективен, следовательно, таков же гомомо рфизм 1пп Н(Нощйгл(Ь, М;)) -+ Н(Ноайгл(Ь, 1пп М~)), получаемый из гомоморфизмов Н(Нощйг(1, и))) (с. 34, предложение 1).
Заканчиваем вьюод теперь ссылкой на предложение 2 (с. 105 ) и теорему 1 (с. 103) . П ре дл о же ни е 6. Пусть  — кольцо и М вЂ” (А, В)-бимодуль, являющийся негеровым В-модулем (соответственно, Вмодулем конечной длины) . 1 6. Иеоользоеение неканонических резольвенг 1сз а) Предположим, что кольцо А нетерово справа, и пусть М вЂ” правый А-модуль конечного гиена Тогда В-модули (с. 85) Того (М, Х) негеровы (соотвегсгвенно, конечной длины) . б) Предположим, что кольцо А негерово слева, и пусть М вЂ” левый А-модуль конечного типа. Тогда В-модУли (с. 100) Ехтлло(М, Х) негеРовы (соогветсгвенно конечной длины) . Выберем свободную резольвенту р: Ь~М, в которой каждью из А-модулей Ьо конечного типа (с. 59, предложение 6), и пусть С вЂ” комплекс В-модулей ЬелХ в случае а), Нопзйгл (Ь, Х) в случае б).
Каждый из В-модулей С„изоморфен произведению конечного числа экземпляров модуля Х, следовательно, петеров (соответствекно, конечной длины); отсюда следует, что тем же свойством обладают модули Н„(С). Но согласно теореме!,с.103, эти модулиизоморфныТог~(М,Х) в случае а),Ехтл(М,Х) в случае б). Сл е д от в н е.
Пусть Гл А -+ — гомоморфизм нетеровык коммутативных колец, М вЂ” А.модуль конечного типа, Х вЂ” В-модуль. Если Х вЂ” В-модуль конечного хива (соответственно конечной длины), го тем же свойством обладают В-модули Того (М, Х) и Ехтл (М, Х). 5. Гомоморфнзмы Тоги(Р, Х) ел 0-+ Тоги(Р, Х ел 0) н Ехгв(М, Х) ел0 ~ Ех(в(М, Х елО) Пусть  — кольцо, Х вЂ” (В, А)-бимодуль, М вЂ” левый В-модуль, Р— правый В-модуль, 0 - левый А-модуль.
Согласно сказанному на с. 71, мы имеем гомоморфизм 7~: Н(Ь(Р)эвХ)эл0 Н(Ь(Р)евХэл0)' кроме того (с. 76, предложение 5), имеем изоморфизмы Фт(Х) э!о. 'Тот (Р,Х)елОе Н(ЦР)евХ) ел0, рр(Х ел О): Тот (Р Х элО)ь Н(ЦР) эвХ эл0). Градуированный гомоморфизм степени О, называемый каноническим, Тот (Р, Х) ел0-+Тот (Р,Х элО). (9) определяется как композиция Фр(Х ел0) ' еу, е (йр(Х) е10). Точно так же из канонического морфизма комплексов ск Нопщгв(ЦМ), Х) ел0- Ноюйгв(ЦМ),Х эл0) получаем гомоморфизм Н(а); имеем канонический гомоморфизм (с.
71) Уз . 'Н(Нотйгв (Ь(М), Х)) ел 0 -+ Н(Ногпйгв (ЦМ), Х) эл О) и изоморфизмы (с. 93, предложение 5), рм (Х) э 1О. Н(Ногпйгв (ЦМ) Х)) эл 0 " Е "!в (М, Х) эл О, ем(Хэл0): Н(Нотпй в(ЦМ), Хе,,0) Е~тв(М, Х ел0). Градуированный гомоморфизм степени О, называемый каноническим, Ех1 в (М, Х) эл 0 - Ехгв (М, Х эл О) (10) определяется как композиция е (Х'л0)" Н(и)ет (ч' (Х)е10) '. П р е д л о же и и е 7. а) Если А-модуль 0 плоский, го гомоморфиэм (9) биекгивен.
б) Если А-модуль 0 проекгивен и конечного типа, го гомоморфизм (10) биекгивен. в) Если А-модуль 0 плоский, кольцо В негерово и В-модуль М конечного типа, го гомоморфизм (1 0) биективен. а) Если модуль 9 плоский, то гомоморфизм 71 5~активен (с.
74, следствие 2) . б) Если 0 — проективный модуль конечного типа, то он плоский, следовательно, гомоморфизм уз биективен, и, кроме того, морфизм и биективен (П, р. 75, ргор. 2, а) ) . й 6. Иеььльтование неканонических резольеечг 110 в) В предположегвгях утвержцения в) гомоморфизм ут биективен, поскольку модуль 0 плоский. Кроме того, (с. 59, предложение 6) существует резольвента Ь дпя М, в которой кахгдый модуль 1.„свободен и конечного типа; пусть и: Ь(М) - Ь вЂ” гомотопизм (с. 55, следствие предпожения 3); в коммутативной диаграмьк Н0$пйгз (ЦМ), Х) Зь 0 — Ногпйгв (Ь(М), Х З„О) 1 Нощйгз (1, Х) DŽΠ— ' Нотйгз.(Ь, Х Зь О) . вертнкаяьные стрелки, получаемые из и, представцяют собой гомотопизмы (с. 73, предпохсение З,и с 90 предложение 3) и отображение а биективна (П, р 75„ргар 2 (П)).
Следовательно, отображение Н(о) биективна и гомоморфизм (10) биективен. 6. Гомо морфизмы Тоги (Р, Х ел О) -ь Тот л (Р эв Х, О) и ЕхтлЯ, Нощи(Х, М)- Ехтв(Х ел0, М) Сохраним предыдущие обозначения и лредполозтим, что Х вЂ” плоский модуль нвд А. ! ья Тогда морфизм Хэл1:Я) — ДьХ ел0 является гомологизмам (с. 75, предложе- ние 4), откуда получаем гомоморфизмы й(Р,Хе„Ь(О)): Т (Р,Хэ„О)-Н(Р,Х „Ь(О)), Э(Х ел ЦО), М): Н(Натйгв(Хел Ь(0), М))- Ех1в(Х ел0, М).
Используя далее изоморфизмь! Фа(рэвХ): Тог (РэвХ,О)-+Н(РевХел1-(О)) !1: Нопьйгл(ЦО), Ногин(Х, М))-+ Ногпйгв(Хел ЦО), М), !ь<~(Напьв(Х, М)): Н(Нотйгл(ЬЯ), Натв(Х, М))) Ех1лЯ, Нопгв(Х, М)), мы получаем градуированные гомоморфизмы степени О, называемые каноническими: Тог (Р,Хэл0)-+Тат (РевХ,О), (11) Ехгл Я, Нагов(Х, М)) .+ Ехтв (Х эл О, М). (! 2) П р е д л о ж е н и е 8. а) Если Х вЂ” невский модуль ивд А и яад В, го гомоморфизм (1!) биекгивеи.
б) Если Х вЂ” плоский модуль под А и проекгивный над В, то гомоморфизм (12) биекгивен. Действительно, модуль Хэл1 Я) изоморфен прямой сумме копий мопуля Х, а потому является плоским (соответственно проективным) В-модулем, когда В-модуль Х плоский (соответственна проек гявный); затем применяем теорему 1 (с. 103).
7. Гомоморфизмы ВелТог (Е, Р)-+Тога(ЕэлВ, В елР) и В эл Ехгл(Е, Р) - Ехгв(Вел Е, В ел Р) В этом пункте мы предполагаем, что кольцо А коммутвгивио: считзем зацанными гомоморфизм колец р: А- В, дця которого р(А) содержится в центре В, и дза А- модуля Е и Р. Имеет место канонический изоморфизм комплексов А-модулей и: Вал(ЦЕ) эл Ь(Р)) -+ (ЦЕ) эл В) ев(В ел Ь(Р)); с другой стороны, тзк как Ь(Е) ел В и В элЬ(Р) — свободные В-комплексы, имеем канонический гамоморфизм градуированных А-модулей (с. 104) Ф '(Ь(Е) эл В, В эл ЦР)): Н(Ь(Е) ел В) эв(В эл ЦР)) -+ Тот (Е эл В, В ел Р); наконец, мы располагаем гамамзрфизмом (с.
71) 7: В элТаг (Е, Р)-'Н(ВелЬ(Е) ел1.(Р)). й б. Использование неканонических ргюаьаенг Канонический гомомо рфизм градуированных В-модулей В эн Тот (Е, Р) -+ Тогв(Е эх В, В эх Е) (13) определяется как композиция Ф '(ЦЕ) эх В, В эн ЦР)) а Н(и) а у. П р е д л о ж е н и е 9. Если  — плоский модуль пад А, то гомоморфиэм (13) биекгивен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
