Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Неограниченная справа последовательность гомоморфизмов гс-модулей Π— Нот„(М", Х) -"-'-"ьи Нота (М, Х) -" — '-~)) Нощи (М', Х) — '-~~м) Ех(А (М", Х) — ." -~ — (я ~~ Ех(,", (М", Х) — а — *'-"НлО Ехт" (М, Х) — ап-(("О Ех(А (М', Х) — ь-"-~~-'~" Ех(,",+ ' (М", Х)— является точной, С л е д с т в и е. Если Ех(' (М", Х) = О, то последовательность А Π— Нот„(М", Х) -"-аи565)х Ноги„(М, Х) -"-'-"5-'-'~ Нот„(М', Х) — О точная.
П р е д л о ж е н и е 9. Пусть 8: Х -«Х, — гомоморфизм А-модулей и О- М' —" М-' -М«- Π— коммутативная диаграмма А-модулей с точными строками. Диаграмма И-модулей Ех(„(М', Х) — ' Ех(А (М", Х) йр. и) ахг. (Е,и)~ ~ ахг. (у.. и) Ех(А (М',, Х,) — '~- Ехтн(М ° Х() коммутатив на. 5 5. Модули расширение 97 5. Проектнвные модули, инъективиые модули н модули расширений Предложение 10. Пусть М вЂ” А-модуль.
Следующие условия эквивалентны: (1) Модуль М проективен. (П) Ехт~, (М, Х) = Одля всякого Амодуля Хи всякого целого / >О. (ш) Ехт' (М. Х) = О для всякого А-модуля Х. (!у) Существует точная последовательность 0 -+ К вЂ” + Р— + М -+ О, в которой модуль Р про ективен и Ех!' (М, К) = О. (!)~(й): это следствие предложения 5 (с, 93). (И) ~ (т): это тривиально. (И!) ~ (Х): это очевидно, так как М есть фактормодул~некоторого свободного модуля.
(!9) ~ (!): так как Ехт' (М, К) = О, то каноническое отображение Ногпк (М, Р) - НотА(М, М) сюръективно (с. 95, следствие); сушествует, следовательно, А-линейное сечение гомо- морфизма о, и модуль М изоморфен прямому множителю модуля Р, следовательно, проективен. Предложение 11. Пусть Х вЂ” А-модуль. Следующие условия эквивалентны: (1) Модуль Х инъективен. (И) Ехгя (М, Х) = 0 для всякого Амодулл М и всякого целого 1 > О. (И!) Ех!1 (М, Х) = О для всякого А-модуля М.
(!ч) Существует точная последовательность 0- Х'- 1- С- О, в которой модуль 1 инъективен и Ех!' (С, Х) = О. (т) Ех!' (М, Х) = 0 для всякого моногенного А-модуля М. (!) ~ (И): зто следствие предложения 5 (с. 93). (И) ~ (1И) ~ (ч): это тривиально. (ЕИ) - "(19): это очевидно, так как Х есть подмодуль некоторого инъективного А-мо- дуля (с. 22, следствие 3) . (!9) (!): так как Ех!' (С, Х) = О, то канонический гомоморфнзм А Нот А (1, Х) "+ Ногпа (Х, Х) сюръективен (с.
96, следствие); сушествует, следовательно, А.линейная ретракцня вложения и, н модуль Х нзоморфен прямому множителю модуля 1, следовательно, инъективен (с. 19, предложение 9) . (ч) ~ (!): если а — идеал в А, то Ехт' (А/ а, Х) = 0; каноническое отображение А Нгппк(А,Х) -+Нотк( а, Х), следовательно, сюръективно, и модуль Х инъектнвен (с. 19, предложение 10) . б. Формула универсальных коэффициентов В этом пункте рассматриваются два комплекса А-модулей(С,с/) и (С',с/').
Рас- смотрим канонические точные последовательности: (1) 0 - Е (С ) — + С вЂ” В(С) ( — 1) - О, (Пр) 0- Вр(С) — +Кр(С) — и Нр(С) 0; из б получаем й-гомоморфизм: Н(Нотйг(б, 1)): Н(НотагА(В(С), С')) (1) ь Н(НотбгА(С, С')); из (Пр) получаем связывающие гомоморфизмы: б(Пр, Нч(С')): Ногпя(Вр(С), Нч(С))-,Ех!' (Нр(С), Нч(С')), 7.
Н. Бурбаки в 5. Модули расширение откуда посредством перехода к произведению, гомоморфизмы «-модулей: чэы: Нотйг" (В(С),Н(С'))-+ П Ехт' (Нр(С),Н (С')). р+ и=и Кроме того, мы располагаем каноническими гомоморфизмамн (с, 89) Л"(В(С), С'): Н" (Нотйгп(В(С), С') - Нотйг" (В(С), Н(С')). В этих обозначениях имеет место: Т е о р е м а 3. Предположим, что А-модули В(С) и 2(С) проектиены.
Лая каждого и существует единственный гомоморфиэм ймодулей ))": П Ехг„'(Нр(С), Нч(С )) Н" (Нотйгп(С, С')), (»+а=и-1 определяющий коммутатианую диаграмму ь - »(жс). с') н вс '(в(с», н(с»( в' '(н и (в(с», с»( ~нтнвпа (а, П) П в»((н,(с»,н(С»( ' н(в в.„(с,с»(. в+в=в-( Последовательности )с-модулей Π— П Ех),', (Н (О, Н'(С')) -й-" Нв(Нотйг,, (С, С')) в+в= -1 П Нот„(Н )С). Нв(С')) — О (11) лыллютсл точными. 3 а м е ч а н н е. Можно доказать аналогичное утверждение, предполагая модули В„(С ) н С )В„(С ) иньентивными дпя каждого и. Положим дпя простот: В = В (С), У, = г.(С), Н = Н (С) и Н = Н (С ) . Так как модуль В проектнвен, то из (1) получаем точную последовательность О-» Нотйг (В, С') (1)-" — '-~-'() (».
Нотйги(С, С') — "' зв" (~ Нотйг, (У, С') ~ О . (12) Л е м м а 2. Свлэьгеаюигий гомоморфиэм Н" (Нопщгл(Х, С')) Н" (Нопщгп(В, С')), аютеетстеуюигий точной последовательности (12), равен ( — 1)" ' Н(Нопщг(г', 1) ). 1юйствительно, пУсть а Е Е" (Нотйгя(Е, С )); это моРфизм комплексов веРхней степени и из г.
в С, значения которого содержатся, следовательно, в г.(С ). Так как точная последовательность (!) расщепляется (поскольку модуль В проектнвен), а продолжается до некоторого элемента Ь из Нотйг",(С, 2(С') ) . По определению, образ класса а прн искомом связывающем гомоморфизме есть класс в Н" (Нотйгв(В, С )) гомоморфиэма и из В в С, дпя которого при х (= С («') ыРЬ(') =«'~ -(-1)иЬ(д.) =(-1)и+(Ь(д ) =(-1)и'( («'), откуда следует утверждение леммы. Гомологическая точная последовательность, ассоциированная с (12), дает, сле)юва- тельно точную последовательность -в(н, в.(г.с»(~н(в в,.(в.с'(( ивю»в»лвн""(н в (с с(("'"' 'вв' н"'(в в \2 с»( Кроме того, так как модуль Е проективен, из (Пр) получаем точные последовательности О-+ Нотв(Нр, Н'ч).
Нотл(Ер, Н»ч)-» Нотв(Вр, Н'ч)-» Ехт~(Нр, Нч)-+ О, 1 5. Модули рааинроннй о ткуда посредством перехода к произведениям имеем точные последовательности О Нопщг А(Н, Н') Новря(Х, Н') Новря(В, Н') П Ех('(Нр, Н'ч) О. р+ч=н Наконец, мы располагаем каноническиь>и гомоморфизмами из л. 1: Лв =Л(В,С ): Н(Новрл(В,С'))- Новря(В,Н'), Лт = Л(Ун С'): Н(Нотрн(Х, С')) .+ Новря(Х, Н ), Лс = Л(С, С'): Н(Нопщгя(С, С'))-о Наври(Н, Н'), откуда получаем диаграмму с точными строками Ношас" ' И, >> '<г,п'> и рп '<н,н'> о (( аи'<м.н'> о х1 и хв н" ~(нопег И> !)) н'(ноте> <ь, !)) н (номен <л !)) нчнотес И. !)) Н ~(попам <а, С')) Н' ~(нопи <Е.
С7) Птмопи„<С, С'>) Нтнсипи„<т„С'>) Н"(помни (Н,СЪ) но>пр <Х н нопчг <с П с щ е мопед <н. и'> потоп(г. н'> нопгща, н'> Эта диаграмма коммутативна по построению гомоморфизмов Л. Кроме того, так как комплексы В и Е расщепляемы и проективны, гомоморфизмы Лв и Л г биективны (с. 91„ следствие 1), Отсюда заключаем, с одной стороны, что гомоморфизм Лнс сюръективен и имеет ядро, равное 1в Н"(Нопщг(6,1)),а сдругойстороны,что гомоморфизм р" 'о Лв ' сюрьективен и имеет ядро, равное КегН" (Новйг(6, 1)).
Отсюда непосредственно следует теорема. С л е д с т в и е 1. Предположим, что модули В(С) и Т(С) проекгивны, а модуль В" (С') иньективен для каждого п. Тогда точные последовательности (И) расщепляемы. Это вытекает из теоремы и следующей леммы: Л е м м а 3. Если модуль В(С) ироекгивен и модуль В" (С') инеекгивем при каждом и, го канонический гомоморфизм Л(С, С ): Н(Новйгя(С, С )) - Новйгя(Н(С), Н(С )) обладает )г-линейным сечением. Действительно, согласно замечаниям а) и б), с. 39 — 40, существуют гомологизмы р: С- Н(С) и р': Н(С')- длякоторьгх Н(>р) =1я(с) и Н(ч>') = 1к(с ). В коммутативной диаграмме н<н о,<н<с>,н<с>> и ' ' и' н<н о,<с,с'» цн<с>.
н<с))~ ~х<с,с> Н а (Н<Ч), Н<оз) н н. <н<с>, н<с» ' н п ° <н<с>, о<с>>. гомоморфизм Л(Н(С), Н(С')) биективен, а Нопщг(Н(р), Н(<е')) тождественный, откуда следует утверждение. С л е д с т в н е 2. Если модули В(С) и Е(С) проекгивны, го для всякого А-модулл Х и всякого цеаого и имеем расщепляемую точную последовательность О- Ех(' (Нн,(С), )х()-~-" Н"(Новаг, (С, 1х())х"+ Ноп>„(Нп(С), Х)- О. С л е д с т в и е 3 (оформула универсальных коэффициентовн) . Предположим, что А — кольцо главных идеалов и что комплекс С свободем Дая всякого Амодуля Х и всякого 'целого п имеет место расщепляемая точная последовагельносгь (13) . Действительно, модули В (с) н е(с) свободны как подмодули свободного модуля с (УП, т 3, сот.
2 ав (Ь. 1; Алгебра, Л)11, стр. 43, теорема 1) . С л е д с т в и е 4. Если комгщекс С ограничен справа и если С и Н(С) проекгивны, го гомоморфиз>и Л(С, С ): Н(Нопщгя(С, С ))- Нова(я(Н(С), Н(С )) биектив ен. 7 ° 100 й 5. Модули расшыргаий Согласно теореме, достаточно доказать, что модули В(С) и 2(С) проективны. Но мы имеем точные последовательности О В„(С) 2„(С) Н„(С) О, О-+У~(С) Сп В~-1(С).+О; следовательно, (В„,(С) проективен) (2„(С) проективен) (В„(С) проективен).
Получаем искомый вьвод, замечая, что В„(С) = О прн достаточно малом и. 7. Обобщение на комплексы мультнмодулей; канонические нзоморфнзмы Пусть В, В' — два кольца, С вЂ” комплекс (А, В)-бнмодулей, С' — комплекс (А, В').бимодулей; тогда (Нопщга(С, С'), Р) — комплекс (В, В )-бимодулей и канонический гомоморфизм Л: Н(НопщгА(С, С')) ~ Нощйгл(Н(С), Н(С')) представляет собою гомоморфизм (В, В') -бимодулей. Р Пусть й1~1 и )с(В 1 — моноидные алгебры мультипликативных моноидов колец В и В' соответственно. Если М вЂ” (А, В)-бимодуль и Х вЂ” (А, В')-бимодуль, то, согласно формуле (8), с.
57, ЦМ) представляет собой комппекс (А, й1в1)-бимодулей, а 1(Х), согласно формуле (15), с. 58, — комплекс (А, й(в1)-бимодулей и, следовательно, Нопщга(1(М), 1(Х)) — комплекс (й( 1, Рс1~ 1)-бимолулей, так что ЕхтА(М, А) естественным образом наделяется структурой градуированного (й1 ~, й в1)-бимолуля, которая посредством канонических гомоморфнзмов 81в1 - В и й(в 1 - В' индуцирует на Ехта(М, Х) структуру градуированного (В, В )-бимодуля (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
