Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 26
Текст из файла (страница 26)
С другой стороны,еслиу: МьМ'ид'. Х- Х' — гомоморфизмыА модулей,то Тот~ (е, у')я о = а„,, я Тот~(Г, а). 5. Связывавицне гомоморфнзмы и точные последовательноепг Пусть М вЂ” цравый А-модуль. Напомним, что для всякого левого А.модуля Х мы определилн в предыдущем пункте (с. 7б, предложение 5) нзоморфнзм Ф (Х). Тот (М,Х)ьН(1.(М)в Х), Пусть (Й) О -+ Х вЂ” + Х вЂ” ь Х" -+ Π— точная последовательность левых А-модулей; тогда последовательность Ькомплексов ("Ю) Π— + ЦМ) Эя Х вЂ” 1.(М) ®„Х вЂ” 1-(М) (х!ь Х вЂ” + О является точной (с.
74, лемма 1); пусть д( 8): Н(ЦМ) Эя Х ) . Н(ЦМ) З„Х ) — соответствующий связывающий гомоморфкзм (с. 34) . О и р е д е л е н и,е 2.Комлозииия гомоморфизмов д(М,й)= Фм(Х) ' д(мй)чем(Х'): Тог"(М,Хк)-+Тот~(М, Х ) называется связывающим гомоморфизмом для произведений кручения относительно модуля М и точной последовательности (Е). Это градуированный 1(-гомоморфизм степени — 1, однородные компоненты которого обозначаются через д„(М, Ж ); Тот~ (М, Хк) — Тога, (М, Х' ) . 1 4.
Произведение кручения 79 Т е о р е м а 1. Неограниченная слева последовательность гомо.норфизмом й-модулей — Тот„' (М, Х') — "— '- Тогн (М, Х) — '-"'- Тот'„' (М, )ч)") гам.в~ 1 Я> и ! еч~ — - М Зн Х вЂ” - М З, Х вЂ” ч- М Зя ) )" -- О является точной. Действительно рассмотрим диаграмму те~о, и т н,н нм. ю Тог )М. )Ч') — ч- Тог )М,Ы] Тог )М,)Ч") Тог )М.Х') Тог [М. Ы) чвнч~ чин~~ чин 1~ чинч~ чвнч~ нив ~ нко нн н Н(ЦМ) Я )Ч') Н().(М) ()9 Ы) Н(1ДМ Е9 )Ч") Н(ММ) В) )Ч') Н(ММ) ф Ы) Она коммутативна согласно замечанию 3, с. 76, и определению 2. Г другой стороны, нижняя строка точная (с. 35, теорема 1),а все отображения ч)м бнективны (с.
76, предложение 5) . С л е д с т в и е 1.Если Тот~~(М, Х") = О, то последовательность О М Зн)) — ~- М Зн)) )-©--- М Зн)) О точная. С л е д с т в и е 2. Пусть О - С ' ч С -ч С "ч Π— точная последовательность комплексов левых А-модулеи и Š— комплекс правых А-модулсй. Если С" или Е плоский, то последовательность О'+ЕЗяС'+ЕЗнС'+ЕЗчСч'О точная.
Действительно, Тот~~(Е, С") = О согласно следствию предложения 5 (с. 76). П р и м е р. Пусть а — идеал в А. Точная последовательность О- «-А,-А/а-О левых А-модулей порождает точную последовательность произведений кручения, в которой члены Тося(М, А) равны нулю нри / >О.
Из нее получаем изоморфизмы Тогк (М,А/а )- Тогх(М,«). />О, и точную последовательность О ч Тот ", (М, А/» ) ~ М вя « ~ М вя А ч М вл А/» ч О; из нее следует, что Тот~~(М, А/а ) отождествляется с ядром канонического гомоморфнзма М вк «+М. Например, взяв в качестве М модуль вида Аа/Б, где Б — правый идеал в А, получаем язоморфизм ймодуля Тот~~ (А/ Б, А/ а ) на ( а г) Б) / Б « .
Л р е д л о ж е н ие 9.Пусть,г: М -+ М, — гомоморфизм правых А-модулей и Π— )ч) ' — Х вЂ” Х" — О ч~ ч~ ч~ -коммутативная диаграмма с точными строками из гомо.норфизмов левых А-модулей. 5 4. Произведение кручения Диаграмма )г-модулей Тот" (М, Х") ~-"-'-'-) Тот" (М, Х') гогг (/, в")~ ~т (лв) , г(м,,е) То( (М1, Х'!) — ~- Тот" (М„Х',) коммутатиена. Это следует из предложения 2 (с. 36), примененного к коммутативной диаграмме 1 фи 1®г 0 — ! 1.(М) (8)я Х' — - 1.(М) (й)я Х вЂ” о- 1.(М) (8)я Х" — о- 0 ыЛ ее'~ ь(Лев~ иЛ ее"~ О 1.(М,) ®„1Ч; ~ЦМ,)(8)„Х, и ЦМ,)(8),Х; — О.
Аналогичным образом, если Х вЂ” левый А-модуль и (т) 0-+М'-Г-+М-ь-гМ"-+О' — точная последовательность правых А-модулей, то определяются связывающие гомоморфиэмы д(Я', Х): То!А(М",Х)-+ Тот~(М', Х), дн(У, Х): Тот„(М", Х)-+ Тоглн 1 (М, Х) по формуле д(Я, И) =чг)ч(М ) ' о д(У~) о Фи(М ), где д(К ) — связьюаюший гомоморфиэмиз точной последовательности (,У ") 0-+М'е„ЦХ)-+Ми„1.(Х)-+М' вАЬ(е))-+О, получаемой из г, и имеет место Теорема 1 ЪЫ. Неограниченная слева последовательность гомоморфиэмое )(- модулей тог (г,1) т „"(ин а.(р, и) Тот„"(М'.
Х) — ' Тот'„' (М, Х) — Того (М", Х) — Тот„' !(М', Х) г,(я. и) гэ 1 гв! Тот",(М, Х) — М (8) Х вЂ” М (3)я Х вЂ” М" б(), Х вЂ” 0 является точной Предоставляем читателю сформулировать и доказать свойства, аналогичные следствиям иэ теоремы 1 и предложению 9. Кроме того: Предложение 10. Обозначим через (У') точную последовательность левых А'-модулей Диаграмма Тот" (М", Х) — -"3- Тот" (М, Х) оггя~ оо,о~ е(н .
и.) Тот" (Х', Мг") ~ Тоги (Х, М") комму гигиена. Действительно, зто следует из предложения 2 (с. Зб), примененного к коммутативной диаграмме 0 М' ®„'.1.(Х) 1-т-'о М й()„1.(Х) т-'-о М" Я„$ (Х) 0 о(м', ((п))~ о(м, 34п))$ оеи", Мн))~ О 1.(Х ) ®к Мо' ~ ЦХ') Эк М' ~ЦХ') 3„. М"' О.
Мы увидим в дальнейшем другие соотношения коммугирования (с. 135, следствие 1), 1 4.Произведение кручения а! б. Плоские модули н пронэведеитя кручения Те о ре ма 2. Пусть Š— правый Амодуль. Следующие условия эквивалентны: (1) Š— плоский модуль; (й) для всякого левого А-модуля Р и всякого целого и> О Тот й(Е, Р) = О, (й1) для всякого конечно представимого моногенного левого А-модуля Р Т А(Е, Р)=О, (Ре) для всякого левого идеала конечного типа а в А каноническое отображение Е вн а -+ Е ил аективно; (ч) для всякой точной последовательности правых А-модулей, имеюигей вид О-+б Н вЂ” вЕ-иО, и всякого левого А-модуля Р последовательность Π— О З„Р -"-й ' Н Зи Р -" — ®-'~ ŠDŽР— + О точная.
(1) ~ (й): это следствие предложения 5, с. 7б. (й) (ш): зто тривиально. (ш) ' и (1ч): всякий конечно представимьй моногенный левый А-модуль изоморфен фактормодулю А/а, где а — левый идеал конечного типа; так что.условие (й1) эквивалентно (1ч) согласно примеру на с. 79. (ш) и (1): согласно предложению 3, с. 12, н теореме 1, с. 79, модуль Е плоский, если Тот, (Е, Р) = О для всякого левого А-модуля Р. Если (ш) выполняется, то это так, когда модуль Р мэногенный И конечно представимый.
Согласно предложению 7, с. 15, всякий А-модуль (соответственно всякий моногенный А-модуль) представляется как направленный индуктивный предел конечно представимых модулей (соответственно конечно представимых моногенных модулей); мы видим, таким образом, что, согласно предложению 8, с. 77, достаточно доказать, что если ТогР (Е, Р) = О, когда модуль Р моногенный, то зто также верно и когда модуль Р конечного типа. Проводим, следовательно, индукцию по числу элементов в системе порождающих (Л,...,Ди) модуля Р; точная последовательность О-~АД -+Р— Р~АК~ -+О определяет точную последовательность Тот~(Е, АЛ ) -+ Тот(Е, Р) ~ Тот~~(Е, Р/АЛ ), так что ТогР(Е, Р) =О, поскольку Тот~1(Е, АХ1) = О и так как ТогР(Е, Р1А71) =Оно индуктивному предположению.
(1) ~(ч): это следствие 2 из теоремы 1 (с. 79). (ч) (ш): точная последовательность (с. 56) . ~Е Ря О + Хо(Е) ' Ео(Е) ~ Е + О определяет дпя всякого левого А-модуля Р точную последовательность Π— + ТогТ(Е, Р) — + Ео(Е) Зь Р "+ 1 о(Е) Зл Рл — '+ Е Зи Р— + О. 1 Если (ч) выполняется, то Тогф (Е, Р) = О, откуда слелует (ш).
С л е д с т в и е 1, Пусть О.+ Е' -и Е -+ Е" Π— точная последовательность правых А-модулей. Предположим, что Е" плоский Тогда для того чтобы модуль Е был плоским, необходимо и достаточно, чтобы плоским был Е'. Пусть Р— левый А-модуль. Так как Тот~~ (Е', Р) = О при 1 = 1, 2 (теорема 2, (1) ~ ~ ( й) ), то имеем точную последовательность О -+ Тот)ч (Е ', Р) - Тот л| (Е, Р) -+ О, откуда следует утверждение (теорема 2, (1) в и (й1)).
б, Н, Бурбаки. Ва 5 4. Пронзееденне крученая Сл е д от в и е 2. Пусть О- Е„- Е„г — ...— Е, — Π— точная последовательность правых А-модулей. Если модуль Ег плоский для 1 = 1,..., п — 1, то модуль Е„плоскии. 7. Формула Кювнетв В этом пункте мы рассматриваем комплекс (С, д) правых А-модулей и комплекс (С', е(') левых А-модулей. Рассмотрим канонические точные последовательности: (1) О -+ 2(С)-+ С вЂ” + В(С)(-1) -+ О, (П) О -+ В(С)-н 2(С)-Р+ Н(С) -+ О; из Ь получаем й-гомоморфизм Н(еэ1): Н(СэАС'). Н(В(С)э„С')( — 1); из (П) получаем связывающий гомоморфиэм д(П, Н(С')): Тот~~(Н(С), Н(С'))-+ В(С) эя Н(С'); если наделить Тог1 (Н(С), Н(С )) градуировкой, однородная компонента степени и которой представляет собой э Тот)~ (Нр(С), Нч (С')), то этот связывающий гомор+ч =н морфизм будет градуированным степени О.
Мы располагаем также каноническим гомо- морфизмом (с, 71) 7(В(С),С ): В(С)эАН(С ) Н(В(С)эАС ) ° В этих обозначениях имеем: Теорема 3. Предположим, что Амодули В(С) и 2(С) плоские. Существует единственный гомоморйзизм степени — 1 градуированных й-модулей и: Н(СэяС )- Тог1 (Н(С),Н(С )), при котором коммутативна диаграмма Н(С Я>н С') — Ч вЂ” ~ Тот~(Н(С), Н(С')) ( — 1) н<ьэ ~)~ ~а(и,н(с')) Н(В(С) З.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
