Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 24
Текст из файла (страница 24)
160. гьо ч з 4. Произведение кручения В параграфах 4 — 8 через /с обозначается коммутативное кольцо и через А — унитарная ассоциативная й-алгебра Роль кольца )г вспомогательная; мы имеем в виду главным образом сведующие три частных случая: а) рассматриваем произвольное кольцо А, полагаем /с = Х и наделяем А естественной структура й ачглгебры; б) рассматриваем произвольное кольцо А и берем в качестве/г центр А; в) рассматриваем коммутативное кольцо А и полагаем й = А.
1. Тензорное произведение двух комплексов Пусть (С, Ы) комплекс правых А.модулей н (С', д') — комплекс левых А-модулей. Наделим /г-модуль С еА С грапуировкой, для которой (САС) = Х Се, С, я+а=» н обозначим через 1) однозначно определенный й-линейньш зндоморфнзм степени (-1) градуированного модуля С еА С, прн котором 1)(хех')вг/хех'+( — 1) хедх', хЕс„уБС„', р,ОЕАР. (1) Имеем 1) в П = О, так как, в обозначениях из (1), Р з(х е х') = сЫх е х' + ( — 1)р ! г/х е г/ х ' + ( — 1) рг/х е дх' + х е с/!/ х = О. а 4.
Лроизаедение кручения 71 Комплекс )с-модулей (Сед С', О) называется тензорным произведением комплексов (С, сс) и (С', сс'). За мечания. 1.Когда С' сводитсяк Со =М,то (С ел С )„=С„ея М и 0=дв1м) например, С в А, естественным образом отождествляется с С. Точно так же, когда С сводитсЯк Со =Р,то (Се„С ) =Рея С„и 0 — 1реа). 2. ДлЯ всЯкого целого т имеем (Сва С )(т) = С(т) еа С, но (Свя С )(т) и Сея С («) имеют, вообще говоря, разные Гщфференциалы. Пусть р, с7 — два целых мела, х Е Хр(С), х' Е 7 а (С'); тогда элемент х в х' из Сред С' пРинадлежит Хр,а(Сел С') согласно (1); кРоме того, если УЕ Ср,), (х + ду) е (х ' + д у ') = х е х ' + 0(у в х ' + (-1) р(х + ду) в у '); переходя к фактормодулям, получаем й-линейное отображение, называемое каноническим: 7 (С,С ): Нр(С)в~) Нч(С ) Нрчч(С~я С ); если модуль Н(Г) вя Н(С ) наделен градуировкой, при которой (Н(Г) е Н(С )) Х Нр(С) в Н (С ) рс а=я то 7 определяют градуированное й-линейное отображение степени О р,ч 7(С,Г ): Н(С)еа Н(С ).
Н(Сея С ). Предложение б из И, р. 59, может быть переформулировано следующим образом. П р е д л о жение 1. Если комплекса) Си С'нулевые справа то комплекс Сел С' нулевой справа и каноническое й-линейное отображение (Г, Г'): Но(С) ея Но(Г') -~ Но(С ея С ) биективно. Пусть и: (С, д) ~ (Г,, д с ) — морфизм комплексов правых Амодулей и и ': (С, д ) ~ - (С),дс) — морфизм комплексовлевыхА модулей; тогдаи еи': Сея С - СсеяС)— морфизм комплексов к-модулей; действительно, он градуированный степени О, и если через 0 и О, обозначены дифференциалы в Свл С' и С) ел С',, то для р, с7 Е Е, х Е Гр, х Е Гч имеет место: (и е и') (0(х е х')) = и(с)х) в и'(х') + ( — 1)"и(х) ни'(с1'х') = = с(си(х) е и'(х') +( — 1)Ри(х) ес(',и'(х') = 0,(и(х) ви'(х')).
Кроме того, следующая диаграмма коммутативна: Н(С) фя Н(С') зс=''с Н(С Эя С') ис») в нс»')~ ~нс» э»') Н(С,)сч),Н(С;) ~ ~ Н(С,®,С,). Пусть А' — К-алгебра, противоположная А, С' (соответственно С ) — комплекс С (соответственно Г ), рассматриваемый как комплекс левых (соответственно правых) А'-модулеч. Обозначим через а(С.Г ): Гея Г С ея. С однозначно опрецеленное градуированное Й-линейное отображение степени О, при котором цля х Е Гр, х Е С„', р, )1 Е Е о(Г,Г')(х ')=( — 1)" х'е .
Предложение 2. Отображение о(С,С ): Сея С'- С" е„С' представляет собою изоморфизм комплексов )с-модулей, дал которого обратным изоморфизмом служит о(Г", Г'). а В. Произведение кручения Так как отображения о(С, С') и а(С", С') обратны одно другому, то достаточно доказать, что а(С, С ) — морфизм комплексов. Обозначая через Р дифференциал в хеС»=Ср, х ЕС =С, р,!1ЕХ, имеем: а(С, С') а Р(х ех') = о(С, С') (дх ех +( — црх ед'х') = =(-ц1"!> х'э 1х+( цр'»1ч")дх'эх= =( — црч!(х' эх +( — ц»ч+чх' ес1х =( — црч0'(х' эх) = Р а(С, С ) (х эх'); это дает, что а(С, С ) о 0 = Р а а(С, С ), откуда следует искомое утверждение.
Изоморфизм а(С, С ): С эя С ~ С э~. С называется изоморфизмом коммугирования дпя тензорного произведения комплексов С и С . Если и: С- С, и и': С - С!, — как и выше, два морфизма комплексов,то имеем коммутатнвную диаграмму: СЗ„С ~"' С-!Е!мС. а Э «'~ ~к э и Будем предполагать до копия этого пункта, что кольцо А коммугагивно (общий случай см. в и. 9) . Пусть С, С', С" — три комплекса А-молулей; канонический гомоморфнэм А.модулей (Ш, р. 64) (С ! ! )- С +Сел(Се С ) представляет собой изоморфиэм комплексов, что тотчас проверяется непосредственно из определений. Более общо, пусть (СО), с(1!1), — семейство комплексов А-модулей, где множество 1 конечно и линейно упорядочено; для упрощения обозначений мы отождествим 1 г с интервалом [1', г) в 1Ч.
Наделим А-модуль С = е С!~! грапуировкой, при которой !=1 С„= Х (С ' )р э(С )р, е... э(С ')р р, +р!+...+р =л Г и определим градуированный А-эндоморфиэм степени — 1 модуля С, положив р +,,+р. 0(х, э... ех )= Х ( — ц»' '" р!-'х, е,,эх ! е !(!х ех!+! е...ех„, у=! где х, Я(СО!)р для !'= 1,...,г, Тогда (С,Р) — комплекс А-модулей, называемый генэорным произведением семейства (Со а!,) . Дпя всякой строго возрастающей последовательности элементов г>,.,г„из [О,г[, в которой ге =О, г„=г, канонический иэоморфизм ассоциативности я — ! '!+! э ( е СО))- е СО) т=о 1=! представляет собой иэоморфиэм комплексов.
Как н выше, определяется градуированный гомоморфиэм степени О т((СО))): э Н(СО)) Н( е ССО). !в! !в! 3 а м е ч а н и я. 3. Можно определить тензорное произведение конечного семейства комплексов, не наделяя множество индексов линейным порядком (с. 86, упражнение 3) . 5 4. П»оиэвеаение к»учения 73 4.
Предположим, что каждый комплекс СП! наделен структурой градуированной алгебры, которая совместима с его градуировкой и такова, что И П! являются антидифферениированиями (Ш, р. 117). Наделим тогда э СП! структурой алгебры косого 7п! тензорного произведения заданных структур (Ш, р. 49) . Тогла 0 представляет собою антидифферениирование.
Действительно, используя ассоциативность тензорного произведения, можно предполагать, что!=(1,2); пусть тогдарэ,д«,рэ,цэ Е х,х«Е(С ' )»» у, б(СО!)ч, хэ Е(С(~!)»,, Уэ Е(С~"!)ч,, имеем (Р(хэ эхэ)) (У«э уз) +( — 1)» +»э(х, эхэ) (Р(у, э уз)) = — (с~х«эхэ +( — 1) 'хэ э«7хг)(У«эуэ)+ +(-1)"" (х, х )(ду, эу +(-1)ч«у, ду ) = ( !) ' 'Ихэ)У«эхгуэ +( — 1) ' ' «х«У«э(дхг)уг + +( — 1)» +»э+»*!ч !х«дУэ эхэУэ +( — 1)» +»э+ч +»эч'х«У«эхэдУэ= =( — 1)»'ч' !(с!х,)у, +(-1)»'х,а«у, ! эхэуэ + + ( !) « +чи»э а~х«у«э ((ахэ)уэ е ( !)»эхэдтэ)= ( 1)»э ч«и(хэу« ) эхэуэ + ( 1)~« ~«х«у« э д(хэуэ)) ( — !) э 1 0(х«у«эхэуэ) Р((х«эха) (У1 эра)). 2.
Тензориые пронзведеяия н гомотопия П р е д л о ж е ни е 3. Пусть С, С« — два комплекса правых А-модулей, С',С', — два комплекса левых А-модулей и и:С- С,, глС-С,, и';С'-С,', о':С'-С', — морфизмы комплексов, а) Если и и и гомотопны соответственно и и о', то два морфизма и эи и о э с из Сэя С в Сэ эя С1 гомотопньь б) Если и и и' — гомотопизмы, то и эи' — гомотопизм. в) Если компаекс С или С' гомотопен нулю, то комплекс С эя С гомотопен нулю. Обозначаем одной и той же буквой с! дифференциалы комплексов С, Сы С, С «и буквой Р— дифференцналыкомллексов Сэя С' и С«эя С«.
Если морфизм и (соответственно и') гомотопен е (соответственно о ), то существует градуированный гомоморфизм степени 1 э: С- С, (соответсгвенноэ: С -«Сэ), для которого и — с = дэ + эд (соответственно и — и = дэ + э «!). (2) Пусть Б: С эл С ~ С«эя С« — однозначно определенньй грапуированный гомоморфизм степени 1,при которомдля хЕС», УЕСа, р, «7ЕХ, 8(х э у) = э(х) э и '(у) + ( ! )»и(х) э э (у) . (3) Тогда в предшествующих обозначениях имеем: (РЗ + Я)) (х э у) = = 0(ах э и у) + ( — 1)»Р(их э э у) + $(«!х э у) + ( — !)»Б(х э с«у) = = «!гх э и у + ( — 1 )»+ ' ах э ди у + ( — 1)»а ох э ау + ит э Иэ у + здх э и у + + ( — 1)» ~ сдх э э у + ( — 1)"ат э и с!у + сх э з «!у = (с(э + зс!) (х) э и у + + ох э (г7э' + т с!) (У) = (их — сх) э и у + их э (и у — о у) = их э и у — их э е у.
Это дает, что 03 + Ю = и э и ' — и э о, откуда следует а) . Докажем б) . Если и и и' — гомотопизмы, то существуют морфизмы комплексов о: С« . С и а: С« - С, для которых морфизмы и «а, а« и, и а а, а~ э и гомо- ?4 5 4. Произведение кручения топим соответственно 1дс, Ыс, 1дс и 1дс . Тогда морфизм (и э и ) е (а э и ), кото- рый равен (и а) э (и'ч а'), гомотопен, согласно а), 16с, эЫс, » 1дс, с, тогда как морфизм (а э а') ч (и э и') томотопен Ыс е с, откуда следует б) . Наконец, в) следует из утверждения б), примененного к случаю, когда ко$пиекс С1 или С'~ ну- левой. Сл еде тв не 1.Пусть С вЂ” расигепллемый комплекс левых Амодулей, для кото- рого модуль Н(С') пчоский Для всякого комплекса С правых А-модулей канониче- ское отображение 7(С, С ): Н(С) эл Н(С ) Н(С эл С ) биекгив но.
Согласно определению 6, с. 39, существует гомотопизм и': С' — Н(С'). Согласно пРедложению 3, 1с э и': С эч С' -«С эя Н(С') — гомотопизм; так как Н(!с э и') 7(С, С') = 7(С, Н(С')) (1н(с> э Н(и')) и так как отображения Н(1с эи') и Н(и') биективиы, то достаточно доказать, что отображение 7(С, Н(С ) ) биективно, и мы иринин к случаю, когда комплекс С плос- кий и с нулевым дифференциалом.
В зтом случае канонические точные последователь- ности 6 (1) О 2 (С) С В(С) О, (11) О- В(С)- Х(С)- Н(С)-+О дают точные последовательности: О Л(С) ф С .' ® С бья С йЬ В(С) Э С О, О В(С) 8„ С ~ э ' Е(С) З„ С'-"-'й3 Н(С) бб, С О . Таккакд=( ч! ч Ь,то0=д э 1с кь(1 э 1) ч (1 э 1) ч (8 э 1),изтопоказывает, что канонические отображения Е(С) элС + Е(Сэл С') и В(С) эя С' -' -+ В(С эзч С') биективны, следовательно, таково же и отображение 7(С, С'), получаемое посредством перехода к фактормодулям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
