Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Показать, что всякий А-модуль, порожденный множеством элементов мощности к(, обладает левой резольвентод из свободных А-модулей ранга Ц С (ср. Ч!П, а 1, ехещ!се 13). 13. Пусть М вЂ” А-модуль. Минимальной ииъекгвеной резольеентой для М называется такая иньек- тивная резольвента (е, 1) модуля М, что 1и есть инъективная оболочка для В в Н) прн всяком и ж О.
а) Всякий А-модуль обладает минимальными инъективными реэольвентами; цве такие резоль. веиты изоморфны. б) ПУсть 1, 1' — две ннъективные резольвенты для М, причем 1 минимальна; пусть|: 1 1' ийч 1 1 — два марфизма рсзольвент. Тогда 1' инъективен, й сюръективен и 1' есть прямая сумма под- комллексов 1т (Р) (изоморфного 1) и Кет (й) (имеющего нулевую гом плотию) . 14. Предположим, что А — иегероео локальное кольцо; обозначим через и!его максимальный идеал.
Пусть Š— комплекс А-модулей конечного типа, нулевой в степенях < О, М вЂ” А-модуль ко. нечиого типа и 4: Е М вЂ” морфизм. Сделаем слелующче прспположения: Ь 3. Резолееелгм 6) Гомоморфизм 1 ало (А/Ю) еА Ер -~ (А/В! аА М инъективеи, (П) а! (Е ) сВЕ! ! при! и 1 и отображение й!: Е!/ВЕ! ВЕ! з/В'Е! ! инъективио. Пусть. (Р, р) — проективиая реэольвента мопуля М, и: ŠР— морфием, для которого р и = ф Доказать, что и ииъективен и что и (Ь) — прямой множитель в Р, рассматриваемом как градуирован- ный А модуль (свести к случаю когда резольвента Р минимальна и использовать !/)П, Ь 8 и'3,'сог.
3) . б 15. Пуск А — нетерово локальное кольцо, Ю вЂ” его максимальный ццеал, Ь = А/Ю. Пусть Р— минимальная проективиая резольвента А-модуля Ь! длв л Ь 0 обозначим через Ьл ранг свободного А-модуля Рп. а) показать, что ь, 1 и что ь, жшл(6!/В') — минимальное число порождаюших для д!. б) Если кольцо А коммутативио, то Ь, и Ь, (Ь, — 1)/2 (рассмотреть точную последователь- ность 1' В Р, Вз 0) . в) Предположим, что кольцо А артиново (не обязательно коммутативное).
Доказать неравенст- во Ь ж Ь,'/4. (Пгсть М! — подмодгль в Р„обРазованиыд элементами х, длл котоРых из (х) Ю В!Р,; показать. что Вр,сМ„, ! и что сушествует точнаа последовательность 0 М!/М!+! В Р,/В Р, -~В /В О. Вывести еъ! !ч! !+3 отсюда, что многочлен рй) = 2' (4(шл(В/В ))! удовлетворяет соотношению (Ь,! — Ь,! + ! !+! ! 3 + 1) р(!) Ь О при 0 К! К!. Закончить, рассматривая отдельно случаи Ь, 1, Ь, Ь 2.) 16. а) Пусть 0 М' М М" 0 — точная последовательность А-модулед, (Р', р') (соответст- венно (Р", р") — проективнаа резояьвеита для М' (соответственно М"). Показать, что сушествуют проективнав резопьвекга (Р. Р) для М н коммутативнав диаграмма 0 Р' Р-ьр 0 (Р (г ~г 0 М ' М М" О, в котород горизоигальные строки точные.
б) Пусть 0 1Ч' Х Х" 0 — вторая точная последователыикть А-модулед, ((е, О) (соответст- венно (П', О'), соответственно ((2", О") — проективная резольвента дли Ы (состветственно )Ч', соответственно Н" ), причем существует коммутативнаи диаграмма с точными строками 0 ()' () - ()" 0 (4 (е ~е 0-ъ Ы' Ы-е И* 0 Пусть, с другой стороны, О-ъ.М'-~И-~ М* О "1'~М Ы' 0 — коммутативная диаграмма точных последовательностей, и пусть й! Р' ()' и й: Р" ()" — морфнзмм комплексов, для которых н' ъ р' = и' ° и' и и" ч р" = О" й".
Показать, что существует морфием комплексов й! Р (), дли которого и р = д й и диаграмма 0 Р' -~ Р Р'-~0 !и !Р !а' 0- ()' ()- (У О коммутативиа. в) Пусть й,'. Р' ()', й,: Р !2 и й,": Р" — (1" — три морфизма комплексов, для которых и' р' с' й', и р О й,, и" ч р" О" й," и диаграмма ( ) коммутативна; пусть з' (соответственно а") — гомотопия, связывающая й' с и,' (соответственно й" с й,"). Показать, что сушествует гомотопия з, связывающая йи й,, для которои диаграмма 0 Р'-~Р Р 0 0- ()'- () ()"' 0 коммутативна.
г) Сформулировать и доказать результаты. соответствующие а), б), в), дяя ннъективньзх резольвеит. 1 Е Резольееигн 9 17. В этом упрюкненин, если (К, д', б" ) — бикомплекс (с. 48, упразснение 11), через Кр . будет обозначатьсЯ комплекс (е Кр и, й"). ВсЯкий комплекс бУдет РассматРиватьсЯ как бикомплекс, нУ- левой в степени (р, 4) при й Ф О. Пусть С вЂ” комплекс А-модулей. Проекгиеиой резольееигой для С наэьюается пара (Р, р), в которой Р— бикомплекс н р: Р-«С — морфизм бикамплексов, причем Рр а = 0 при 4 < Эи комплекс Рр .
(аэответатвенно Е~> . (Р), В~> . (Р), Нг, . (Р) ) определяет проективную реюлшенту для Ср (аэответственно Ер(С), Вр(С), Н (С) ) при всяком рп Е. Пня того чтобы бикомплекс (Р, р) был проектнвнай резольвентой лля С, достаточно, чтобы комплексы'Вр .(Р) н Н~р . (Р) определяли при всяком р проективные реэольвенты лля В„(С) и Н,(С).
а) Показать, что всякий А-камплекс С облапает проективнай реэольвентой (выбрать для всякога р проективиые резальвенты В э . и Нр . дпя В (С) и Нр(О; используя упражнение 16, а), построить проективные резольвенты Ер . дпя Ер(С) и Рр,. дпя С, а также точные последовательносш: О-В„.-Е . Н„.-О, 0 Е„. Р .-«В, .-0). б) Пусть С' — щзугой комплекс, (Р', р') — проектнвнюг реэолшеита для С', и: С С' — марфнзм « комплексов.
Показать, что существует морфизм бикомплексов и: Р Р'. для которого и .р = р и (ЛлЯ всикого Р ц Е выбРать моРфизмы В' .(Р) В',.(Р') и Н' .(Р) НВ,.РР'); постРоитьй как в предшествующем пункте, используя упрюкнение 16, б) ) . в) Пусть е: С С' — марфизм комплексов, гомотопный и, и пусть а: Р Р' — морфнзм бикомплексов, для которого а р = р' а. Показать, что йн а гомотопны (в смысле упражнения 11, в), а.
49; испольэовать упражнение 16, в) ). г) Пусть Š— подмножество в Е, С вЂ” А-комплекц в котором С = 0 прн р и Е. Показать, чго существует праекпгвная резальвента (Р, р) лля С,в которой Рр„г = Опля рк Е. д) предполозам, что существует такое целое «псла н, чта всякий А-модуль обладает проективной реэольвентой длины < л. Показать, что всякий А-комплекс С обладает проективной реэольвентой (Р, р),в которой Рр,г = 0 пр» а > и. е) Пусть С вЂ” А-комплекс. Ииьекгиеиой резольееигой для С называется пара (е, 0, в которой ! — бикомплекс и е: С 1 — морфием бикомплексов, причем 1р'е = 0 при 9 < 0 н комплекс 1р' (соответственно 'Е р' (О, 'Вр' (П, 'Нр' (1)) определяет инъективную резольвенту дпя Ср (соответственно Е р(С), Вр(С), Нр(С) ) прн всех р и Е.
Сформулировать и доказать аналоги результатов а) — л) для ннъективных реэольвент. 18. Предположим, что кольцо А коммугатнвно. Грудироееииой дифференниельиой А.алгеброй называется А-алгебра, градуированная по типу Е, для которой 3и = 0 прн и < О, нацеленная анэидифференцированием г( степени -1, удовлетворяющим условию г( Ы = О.
Будем обозначать по- прежнему через 3 комэщекс А-модулей (3, д) . а) Пусть С вЂ” комплекс А-модулей, нулевой в степенях < О. Показать, чта на 3 = Т(С) (соответственно 3 3(С), соответственно 3 = А(С)) существует структура градуированной дифференциальной А-алгебры, для которой каноническое вложение С в 3 является морфизмом комплексов. б) Показать, что умножение в 3 индупнрует структуру градуированной Аалгебры на Н(3). в) Пусп 3, Т вЂ” две грацуированных дифференциальных А-алгебры. Положим 0(г е г) = де а г + + (-1) г е дг длЯ е П 3р, Г и Т.
Показать, что 0 опРеделЯет стРУктУРУ гРадУиРованной диффеРен- Р ииэльной А-алгебры на косом теизориом произведенки 3 ед Т (Ш, р. 49). 19. Предпололы м, что кольцо А коммутативно. а) Пуан (3, Ый) — градуированная дифференциальная А-алгебра (упражнение 18), М вЂ” А-модуль, и: м -«е„(3) — А гамака рфизм. показать что на Вя едт (м) существует такая структура градуированной дпфференциэльной А-алгебры, чта д(э а 1) ййе а 1 для э ы 3 н г((1е ю) = и(ю) а1 лли «як М. 6) Пусть  — А-алгебра.
Показать, что ауществуют градуированная дифференциальная А.алгебра 3 и гомоморфизм А-алгебр р: 3, В такие, что (3, р) представляет собой свободную резолшенту А-модуля В. (Построить индукцией по л с помощыа а) грацуированную дифференциальную алгебру 3(л), свободную в кюкдой степени, для которой Нг(3(л)) = 0 при О <1 < пи Н,(3(н)) = В ) в) Если алгебра В коммутативна, показать, что можно найти косокоммугигиеиую (1П, р. 53) А алгебру 3, удовлетворяющую условиям пункта б).
Если, кроме того, А нетерово и В есчъфакторкалню кольца А по некоторому идеалу, то можно выбрать 3 таким образом, что 3, = А н 3„— А-модуль конечного типа длл всякого к. 9 20. Предполозюм, что кольцо А представлнет собой алгебру нац некоторым коммутатнвным кольцом Ф.
Пусть и: й — А — гомоморфизм, при котором п(л) = л1А для л ц й, и пуап А — его коядро. Еаза е — элемент из А, то будем обозначать через е ега образ в А. Полозам М„(А)= = А аа А " ег, А прн н ь О, Ми(А) = 0 ппэ л < 0 и М(А) = й М„(А) неЕ а 4. Проиэеедеиие кручения 70 а) показать, что существует грапуированиый степени -1 (А, А)-эндоморфизм а бимодуля Х(А), п(и котором в — ! а(аеа, е...валеЬ)=аа,ва в...еалвЬ+ Х (-1)ае...эа/а!+ге...ваивЬ+ г=! +(-1)"а эа, е... вал ! эалЬ лля а, а,,...,ал. Ьв А, б) Показать, чго а а = О, так что Х(А) — комплекс (А, А)-бимодулей. Если М вЂ” левый А-мо.
дуль, то обозначим через Х(А, М) А-комплекс Х(А) эА М в) Пусть В(А, М) — стандартная резольвента дчя М (с.62), р: В(А, М) Х(А, М) — А-гомомор- физм, определяемый по формуле: р(а, е... э а„э т) = а, э а, в ... эа„э!и лля а„..., а„ы А, гл в М. Показать, что р — гомотопизм А-комплексов (построить по индукции отобраэелие, обратное с точностью ло пзмотопии) .
*21. Пусть а — коммугативное кольцо, й — Я-алгебра Ли, Π— ее обертываюшая алгебра (см. 11Е, 1, 5 2; Группы и алгебры Ли, 1, с. 20) . Предполоэмм„что й — свободный я-модуль. а) Показать, что для всякого л > 0 существует инъективный $3-гомоморбжзм /„: О „Л"(й) О (" ) при котором /„(и е(х, Л... Л ха)) = в ч(а)и эхо(!) в...
вха(,) оибл дчя ииО, х,,....хлв й. Тем самым определея градуированный О-пзмоморфизм смпени 0 /: 13 ег,Л(й ) В(1/,/г), где В(О, )1) — стандартная рсэольвента левого О-модуля /с (структура О-модуля на й получена с по- МОШЫО ЕетсотаЕННОГО ГОМОМОРфиЗМа О -+ Я) . ПОКаэатЬ, Чта О Эя Л( а ) ОтажпсетаЛЯЕтеа ЛОСРЕДСт- вом / с подкомплексом в В(О, /с), причем дифференциал на О эи Л( й ) задается по формуле: а(ив(х, л...лхл))= Х ( — 1) их(в(х, л...лхзл..лх„)+ /+! ! игал + Х (-!) ие((х(,х/)лх, л...лхгл...лх л...лх„) /+/ ! ц/</кл дяя иы (), х1,...,хие й (где знак " над буквой обозначает, что она должна быль опушена) . Обозна|им через Ч( а ) таким образом определенный О-комплекс. б) Показать, что Ч( а ) определяет свободную реэольвенту О-модуля Л (Пусть (Оп) асмо!пенизи 4мльтрацня на О, Ег Ч( й ) — )1-подмолуль в Ч( а ), порожденный элементами ир в х,! для или Ор, хч и Л ( й ), р э а и г Показать что Е„Ч( й ) — подкомплекс в Ч( й ) и что комплекс и рчЧ( йррг — гЧ( й ) изоморфен комплексу Б( й ) эЛ( а ), определенному на с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
