Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 22
Текст из файла (страница 22)
комплекс Б (! С 1, А) представляет собой свободную резольвенту А -модуля А. (С) д) Пусть В(А( ), А) — стандартная резольвента А( )-модуля А; для всякого н П 0 А -мо- (С) дуль Ви(А( ), А) отождествлиетсв с (А( )) ( ). Показать, что А-линейный гомомоРфизм и: 3 (! С 1, А) В (А ), А), определяемый по формуле «(й ' ' 'йи) йе й й ° . Ейн !Фи ЛЛЯ й ° ° бнбС, представляет собой.иэоморфизм А -комплексов.
5, Н. ьурбаки й 3. Резольяеигы 66 5, а) Пусть О К Р М О, О К' Р' М О вЂ” две точных последовательности А-модулей, в которых Р и Р' проективны. Показать, что существует коммутативиая диаграмма О КЭР' РЩР' М О О РЭК'-» РЭР' М О, в которой горизонтальные строки точные, а я и и изоморфнзмы (ср. П, р.
183. ехегв!сея). б) Пусть и делос число ж О, (Р, р) и (Р'. р') — цве левых резольвеиты А-модуля М, в которых Р/ = Р/ = О при / ) и и А-модули Р; и Р/ нроективны при О </ < л — 1. Показать, что А-модули Г > О (Рз/ Рз/е!) и (Рз/е Рз/т!) изоморфны. /по в) В предположениях пункта б] показать, что существуют два проективных комплекса К, В' с нулевой гомологией. в которых КГ = К! = О прн! О [О, л !, и изоморфизм рсзольвент и: Р в К Р) е В'.
й 6. Пусть М . левый А-модуль. Представлением длины и или и.представлением модуля М называется точная последовательность Е, М О, в которой Еà — свобоцный левый А-модуль (О К/ К и). Это прелставлеиис называется конечныьь если все Еà — свободные модули конечного типа. Если Л! - левый А-модуль конечного типа. то через Л(М) обозначим верхнюю грань (конечную или равную + ) целых чисел н П О, для которых М обладает конечнтам н-представлением.
Если М не имеет конечного типа, то положим Л (М) = — 1. а) Пусть О Р Х-М вЂ” Π— точная последовательность левых А-модулей. Тогда Л(Х) ж » (пГ(Л(Р), л(М)). с[л б) Г!Усть Ен Ен ! ... Е, М О вЂ” конечное и.нрецставлеииедля М; если Л(М) > н. гопоказать, что Кет О(л) — модуль конечного типа (использовать > пражнение 5, б) ) . в) Показать.
что в прелположсниях пункта а) имеет место соотношение: Л (М) З !пГ (Л (Х), Л (Р) + 1) . (Если я к !п1(Л(Х), Л(Р)» 1), то показать индукпией по н что Л(М) > н рассуящая как на) и ис- польз>я 6).) г) Показать, ч>о в предположениях пункта а) имеет место соотношение Л (Р) П !пГ (Л [Х), Л (М) — 1). (Тот жс метод, что в с) .) Вывести отсюда, что если Л (Х) = +, то Л (Ы) = Л (Р) + 1. д) Вывести из а)~ в) и г), что если Х = М е Р, то Л (Х) = !пГ (Л (М), Л [Р)), В частности, для того чтобы модуль Х допускал конечное представление, необходимо и достаточно, чтобы этим свойством обладали М н Р.
е) Пусть Х,, Х, — два подмодуля А-модуля М. Предположим, что Х, н Х, допускают конечное пр«дставлсние. Для того чтобы модуль Х, + Х, доп>скал конечное представление, необходимо и достаточно. чтобы модуль Х, ю Х, имел конечный тип. 7, а) В обозначениях из уирахснения 6 показать, что если М вЂ” проективный модУль. то Л (М) — 1 или Л (М) =+ Если А — нетсрово слева кольцо, то для всякого А-модуля М либо Л(М) = -1, либо Л(М) = + б) ЕСЛИ 4 — ЛЕВЫИ ИДЕаЛ КОЛЬЦа А, НЕ НМЕЮЩИй КОНСЧНОГО тнла, тО Аа/а — МОНОГЕННЫй А-МО- дуль, ие допускающий конечного представления, иначе говоря, л(Аа/я) = О (ср.
с. 15, предложе- ние 6) В) Г(атЬ ПрнМер МОИОГЕННОГО ЛЕВОГО ИдЕаЛа П В НЕКОтОрОМ КОЛЬцс А, Пняч'КстОРОГО МОдуЛЬ Аз/и (ОбпацаЮЩИй КОНЕЧНЫМ ПРЕДСтаВЛЕНИЕМ) ИМЕЕТ СОПРЯжЕННЫй, КОтОРЫИ НЕ ЯВЛЯЕтеа ПРаВЫМ А-модулем конечного типа. г) Пусть К вЂ” иоле, Š— векторное пространство К ). (ен) — канонический базис Е. Т вЂ” тензор ()Ч ная алгебра пространства Е, базис которой образован всеми Вонечными произведениями е/, е[ ...
е;, ~[с (й ж О; // е Х для всякого/) . Пля заданного целого и пусть 6 — двусторонний идеал в Т, порожден- ный пРоизведениЯми е, е„е,е,,..., е„еи 1 и Енеяен Длн вСЯкоГО /С» 1; пусть А — факторколыю Т/К и ш>я всякого целого зн пусть ащ — канонический образ ем в А. Показать, что если М = Аа/Ая,, то Л(М) = и (заметить. что для т <н — 1 левый аннулятор ам равен Аащ+1, и использовать упражнение 6, 6)) 8.
Пусть С вЂ” коммутативное кольцо, Е, р — два С-модуля. Показать. что л(Евср) ~ и !пГ (л (Е) . л (Е ) ) . 9. Пусть гл А  — гомоморфизм колец, М вЂ” А-модуль. а) Если  — плоский правый А-модуль и если М обладает конечным н-представлением, то В-мо- цуль В в,ч М облютает конечным н-представлением. б 3. Резольвеягы 62 б) Если  — строго плоский правый А-модуль (с.
26, упражнение 9) и если В-модуль В еАМ обладает конечным л-иредставленнем, то м обладает конечным и-представлением (использовать Упражнение 6, б) и упрюкнение 12, с. 26) . 1О. Пусть Š— А-модуль. Е называется исевдокогереятяым, если всякий подмодуль конечного типа в Е конечно представим; всякий подмодуль псевдокогерентного модуля псевдокогерентен.
Модуль Е называется когереятяьца, если ои псевдокогерентен и имое~ конечный тип (следователь но, конечно представим), а) Пусть 0 Е' Е Е" 0 — точная последовательность А-модулей. Ноказать, что если мо пуль Е псевдокогерентен (соответственно когерентен) и Е' конечного типа.
то модуль Е" псевдоко- герентен (соответственно когерентен). Показать, что если Е' и Е" псевдокогерентны (соотвстст. венно когереитны), то тем же свойством обладает Е. Показаты что если Е и Е" когерентны, тотем же свойством обладает Е' (использовать предложение 6, с. 15). б) Пусть Š— когерентиып А-модуль, Е' — псевдокогерентный (соответственно когерентныя) А-модуль. Показать, что для всякого гомоморфизма и: Е Е' модули )т (и) и Кет (и) когерентны, а Со(сет (и) псевдокогерентен (соответственно когерентен) (использовать а) ) . в) Показаты что всякая праман сумма (соответственно всякая конечная прямая сумма) псевдо- когерентных (соответственно когерентных) модулей представляет собой псевдокогерентный (соот- ветственно когерентныя) модуль.
г) Если Š— псевдокогерентныд модуль и если М, )( — когерентные подмодули в Е, то показать, что модули М + М и М ю Х когерентны (использовать а) и в)). д) Предположим, что кольцо А коммутативно. Показать, что если Š— когерентный А-модуль н à — когерентныд (соответственно псевдокогерентиыя) А-модуль, то Норд(Е, Т) — когереитны» (соответственно псевдокогерентныи) А-модуль. (Свести к случаю, когда Е когерентен, рассмотреть конечное представление для Е и использовать 6).) 4 ! 1. а) Пусть А — кольцо. Показать, что следующие свойства эквивалентны: о) А-модуль Аа когерентен (упрюкнение !0), й) Всякий конечно представимый А-модуль когерентен.
т) Пля всякого конечно представимого правого А-модуля М сопряжеииып А.модуль М" имеет конечныя тип. 6) Пля всякого множества 1 правый А-модуль Ай плоский. е) Всякое произведение плоских правых А-модулей является плоским. (Чтобы доказать, что из а) следует й), использовать упражнение 10, б) . Чтобы увидеть. что из 6) следует т), использовать теорему 1.
с. 10; чтобы показать, что иэ о) следует е), использовать упраж- нение 18, с. 27). Кольцо, удовлетворяющее этим свойствам, называется когереитяым слева (или просто когеренг- иаьи), и аналогичным образом определяется понятна кольца, когереигяого сираев. б) Показать, что нетерово (слева) кольцо когерентно. Пять пример артинова справа кольца, не являющегося когерентным (ср. т'П1, Е 1, ехетс1се 4; Алгебра, УИ1, с. 144, Управ!пение 4) . в) Показать, что абсолютна плоское кольцо (с. 26, упражнение 16) когерентно. г) Показать, что если А — когерентное кольцо и М вЂ” А-модуль, то Л(М) = -1 или Л(М) = 0 или л(М) = а (упражнение 6).
В частности, всякий конечно представимый А модуль обладает резоль- вентоп из свободных модулей конечного типа, д) пусть (Ао, обо) — индуктивная система колец с направленным множеством индексов, и пусть А = 1ип Ао. Предположим, что для а К й кольцо Ай является плоским правым А,„-модулем. Показать, что если кольца Ао когерентны, то таково же и кольцо А. (Заметить, что А — плоский пра. выя А„-модуль для всякого о и что для всякого левого идеала конечного типа П С А существуют та- кие индекс о и идеал ао в Ао, чуо а изоморфен А еА я„.) а е) Вывести нз д), что всякое кольцо многочленов (от произвольного конечного или бесконечно- го множества переменных) над нетеровымчсоммутативным кольцом когереитно. Вывести отсюда, что факторкольцо когерентного кольца не обязательно когерентно.
ж) 2(ля того чтобы кольцо А было когерентно слева, необходимо и достаточно, чтобы левыя ан- иулятор всякого элемента из А был конечного типа н чтобы пересечение двух левых ицеалов конеч- нога типа имело конечныя тип (использовать упражнение 6, е) ) . 12. Пусть С вЂ” бесконечное кардинальное число. Предположим, что всякий левый идеал кольца А обладает множеством порождающих мощности к Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
